Mesure du nombre de photons déplacé

A présent, nous allons adopter une nouvelle approche, qui nous permettra de comprendre que la méthode précédente n’extrait pas autant d’information que possible sur le système. Cette technique a été utilisée par le passé pour reconstruire les états quantiques l’état quantique du mode de vibration d’un ion piégé [7] et celui d’un résonateur linéaire à l’aide d’un quBit supra-conducteur [25]. Les données issues de notre expérience ne sont pas adaptées à cette méthode, mais son étude nous aidera à mieux comprendre comment choisir le type de mesures permettant la reconstruction la plus efficace.

(a) (b)

(c) (d)

F. IV.16 – Modules des 15 premiers éléments de la matrice densité (a) ρ₅, (b) ρ₂₀, (c) ρ₅₀et (d) ρ₁₀₀. La matrice densité converge vers le point fixe de la transformation.

IV.3. Méthode du maximum de vraisemblance 151

(a)

(b) (c)

F. IV.17 – (a) Fonction de Wigner du chat pair calculée à partir de la matrice densité ρ₁₀₀. (b) La fonction de Wigner a été obtenue en déplaçant l’état ρ₁₀₀de l’amplitude −αcentre, en tronquant la matrice obtenue à la dimension 9, en la renormalisant et en la redéplaçant de l’amplitude α_centre. (c) Fonction de wigner du chat impair, obtenue de la même manière.

Dans les deux cas, les auteurs disposent de techniques permettant de mesurer les populations d’un état quantique. Afin de reconstruire complètement la matrice densité, la méthode utilisée est similaire à la notre : l’état est déplacé par homodynage en différents points de l’espace des phases avant de réaliser une mesure portant sur les populations de l’état déplacé. La figure IV.18 illustre cette idée en montrant les différentes distributions de population obtenues pour un état chat de Schrödinger déplacé en différents points α_νde l’espace des phases.

Après avoir accumulé un certain nombre de mesures, l’expérimentateur possède un ensemble de distributions de populations {Pν(n)} correspondant à chacun des déplacements ανdans l’espace des phases. L’état du champ doit alors vérifier « au mieux » le jeu d’équations :

P_ν(n) ≈ Tr D(αν)ρD(−αν)|nihn| . (IV.50) Ce jeu d’équations forme un système linéaire sur-contraint portant sur les éléments de la matrice densité. On peut se contenter d’inverser ce système pour estimer la matrice densité qui satisfait au mieux les contraintes (IV.50) au sens des moindres carrés. Cette technique a déjà été utilisée telle quelle dans les groupes de J. Martinis [25] et D. Wineland [7].

Cette méthode est assez instructive. En effet, nous avons vu au chapitre précédent que la mesure QND du nombre de photons appliquée sur un grand nombre de réalisations permettait d’accéder à la distribution de population. On notera par exemple la similarité entre la figure III.12 du chapitre précédent et la figure IV.18 (b) de l’exemple ci-dessus. On peut alors imagi-ner reconstruire des histogrammes de ce type après avoir déplacé le champ pour appliquer une telle méthode d’inversion linéaire. La quantité d’information apportée par chaque réalisation du champgrâce à ce procédé est alors facile à comparer à celle obtenue par la mesure d’une fonction de wigner généralisée sur une seule réalisation du champ. On considérera en particulier les deux cas limites suivants :

– Si le déphasage par photon est rigoureusement donné par Φ(n) = π(n + 1/2), l’observable que nous mesurions précédemment est la parité du champ déplacé (ou encore fonction de Wigner au point α_ν). Chaque réalisation du champ donne alors une information binaire. En effet, bien que le champ soit mesuré par plusieurs atomes, ils doivent tous donner le même résultat puisqu’ils réalisent une mesure projective du champ. En réalité, l’utilité de détecter plusieurs atomes se limite à l’élimination des erreurs de l’interféromètre.

– Au contraire, avec la méthode proposée dans ce paragraphe, à la limite où le nombre d’atomes utilisés dans une fenêtre de mesure est suffisamment grand, on réalise une me-sure projective du nombre de photons. Supposons qu’on arrive à résoudre les nombres de photons de 0 à 7 comme dans le chapitre précédent. Chaque réalisation du champ apporte alors 3 bits d’information, soit 3 fois plus que la méthode précédente.

En effet, on comprend aisément que la parité moyenne du champ soit une grandeur moins intéres-sante que l’histogramme complet des populations. En réalité, compte tenu du nombre d’atomes détectés pendant le temps de mesure, la mesure n’est pas tout à fait projective. Cependant, nous avons vu au III.4.4.d une méthode de décimation itérative permettant de reconstruire les popu-lations du champ même dans le cas où la projection est incomplète. On peut donc s’attendre à obtenir, pour un nombre de répétitions de l’expérience identique, une meilleure reconstruction en utilisant la technique décrite ici.

IV.3. Méthode du maximum de vraisemblance 153

(a)

(b) (c)

(d) (e)

F. IV.18 – (a) La fonction de Wigner d’un chat de Schrödinger pair idéal |Ψpairi = (|βi + | − βi)/N+ avec β = i^√2. Les histogrammes (b) à (e) représentent les populations dans les états déplacés de l’amplitude complexe α_ν. L’histogramme (b) représente la distribution de popula-tion dans l’état non-déplacé (α₁ = 0). Seuls les nombres pairs de photons sont peuplés, ce qui implique que W|Ψpairi(0) = 2/π. La figure (c) représente la population de l’état déplacé de l’am-plitude complexe α₂ = β. L’état après déplacement s’écrit donc |Ψi = (|0i + | − 2βi)N+. La distribution de population est bien essentiellement la moyenne entre celle de l’état vide et celle d’un champ cohérent centré autour de 2^√2 (donc autour de ¯n = 8). Les deux dernières valeurs de α_ν sont quelconques

En réalité, cette méthode d’inversion linéaire n’est pas pleinement satisfaisante. A cause du bruit statistique, la matrice densité obtenue en inversant le système peut être non-physique. En outre, puisqu’on commence par reconstruire les populations à l’aide de la méthode du maximum de vraisemblance, il semble bien naturel de mener cette méthode jusqu’au bout. On va donc adapter la méthode du maximum de vraisemblance au cas d’une mesure atomique similaire à celle décrite au chapitre précédent.

IV.3.3 Choix des paramètres pour la méthode du maximum de