F. I.11 – La sphère de Bloch permet de représenter l’état d’un système à deux niveaux cependant la méthode d’estimation par le maximum de vraisemblance lorsque les observables mesurées possèdent plus de deux valeurs propres distinctes.
I.2 Atomes à deux niveaux
I.2.1 La sphère de Bloch
Nous utilisons des atomes assimilés à des systèmes à deux niveaux. Ils sont donc formelle-ment analogues à n’importe quel spin 1/2. On définit les matrices de Pauli dans la base {|ei, |gi} :
σx = 0 1 1 0 ! , σy = 0 −i i 0 ! , σz = 1 0 0 −1 ! . (I.139)
L’état d’un atome est décrit sans ambiguïté par la donnée des valeurs moyennes de ces trois observables :
S = hσi. (I.140)
Le vecteur à trois dimensions S est appelé pseudo-spin atomique. Lorsque l’atome est dans un état pur décrit par le vecteur d’état |Ψa.i :
|Ψa.i = cos(θ/2)|ei + eiφsin(θ/2)|gi, (I.141) l’extrémité du pseudo-spin atomique se trouve sur la surface d’une sphère de rayon unité appelée sphère de Bloch, au point de coordonnées polaires (θ, φ). Le pseudo-spin atomique des mélanges statistiques pointe quant à lui, à l’intérieur de la sphère de Bloch.
Il est très important de noter que les observables σx, σy et σz ne commutent pas entre elles. Ainsi, il est impossible de mesurer simultanément les différentes composantes du pseudo-spin atomique sur une seule copie du système.
I.2.2 Evolution du spin atomique libre dans un champ classique
L’intérêt de la sphère de Bloch est de permettre de représenter aisément toute évolution uni-taire à l’aide d’une rotation5. Nous allons voir que l’analogie avec un spin 1/2 peut être poussée plus loin. En effet, l’évolution sous l’effet d’un champ oscillant extérieur est équivalente à l’évo-lution d’un spin 1/2 dans un champ magnétique bien choisi : le vecteur de Bloch précesse autour de la direction du pseudo-champ magnétique. Nous allons tout d’abord considérer le cas simple où l’évolution n’est pas perturbée par l’application d’un champ extérieur avant d’étudier l’évo-lution en présence d’un champ extérieur.
Le hamiltonien Hatdécrivant l’évolution libre est donné par : Hat = ~ωat
2 (|eihe| − |gihg|) = ~ω2atσz, (I.142) en choisissant l’origine des énergies entre les deux niveaux atomiques. On vérifie alors aisément (à l’aide de la formule (I.141) par exemple) que le vecteur de Bloch précesse autour de l’axe Oz à la fréquence Ωat.
Lorsque l’on couple l’atome à un champ classique E(t) = E sin(ωrt + φr), l’évolution du champ est indépendante de celle de l’atome, et on peut prendre en compte la présence du champ par un terme supplémentaire Hr dans le Hamiltonien atomique. Si le champ est suffisamment faible et que la dimension de l’atome reste petite devant la longueur d’onde, on peut écrire ce terme :
Hr= −d · E(t), (I.143)
où d est l’opérateur dipôle électrique de l’atome (supposé réel) :
d =deg(σ−+σ+) σ+=|eihg| σ− =|gihe|, (I.144) d’où
Hr =−deg· E(σ++σ−) sin(ωrt + φr). (I.145) Nous noterons δ = ωat− ωr le désaccord entre fréquence atomique et champ Ramsey. On peut alors réécrire le Hamiltonien total sous la forme :
H = ~ωr 2 σz+
~δ
2 σz+Hr. (I.146)
On va ensuite se placer en représentation d’interaction par rapport au premier terme du Hamilto-nien, ce qui revient à se placer dans le référentiel tournant à la fréquence ωr:
˜ H = ~δ 2 σz+i ~Ω 2 σ−eiφr − σ+e−iφr, (I.147)
où on a noté Ω = deg· E/~. On a appliqué ici l’approximation séculaire consistant à éliminer tout les termes oscillants à la fréquence 2ωr. On peut réécrire cette expression :
˜ H = ~δ 2 σz+ ~Ω 2 σycos(φr) − σxsin(φr) (I.148)
5On parle ici d’opérateur unitaire de l’espace des fonctions d’ondes et non de❘3. Ainsi, par exemple, les vecteurs d’état orthogonaux sont représentés par des vecteurs opposés sur la sphère de Bloch
I.2. Atomes à deux niveaux 45
F. I.12 – Effet d’une impulsion de micro-onde classique sur le vecteur de Bloch d’un atome initialement préparé dans l’état |ei. Le vecteur unitaire n autour duquel s’effectue la rotation se trouve dans le plan équatorial. La phase de l’impulsion micro-onde détermine son angle azimutal. Ici, on a choisi φ = π/2.
grâce aux identités :
σ± = 1
2(σx± iσy). (I.149)
On reconnaît alors le Hamiltonien d’un spin 1/2 plongé dans un champ magnétique extérieur : ˜ H = ~ 2Ωeff· σ, (I.150) avec Ωeff = −Ω sin φr Ωcos φr δ . (I.151)
En particulier, lorsqu’on applique une impulsion micro-onde à résonance avec la fréquence ato-mique, le champ effectif se trouve dans le plan équatorial de la sphère de Bloch. En jouant sur la durée de l’interaction (ou sur l’intensité du champ micro-onde), on peut, en partant d’un atome préparé dans l’état |ei ou |gi, préparer n’importe quelle superposition atomique :
|ei → cos(α/2)|ei − eiφr sin(α/2)|gi |gi → e−iφrsin(α/2)|ei + cos(α/2)|gi,
I.2.3 Interférométrie de Ramsey
L’interférométrie atomique est très similaire à l’interférométrie réalisée avec un faisceau lu-mineux : au lieu d’utiliser des lames séparatrices pour séparer la fonction d’onde de photons
suivant deux modes spatiaux différents, on applique des impulsions π/2 de Ramsey pour séparer la fonction d’onde atomique suivant les deux états internes de l’atome |ei et |gi.
Une séquence de frange de Ramsey se déroule suivant les étapes suivantes :
1. L’atome initialement préparé dans l’état |gi est soumis à une impulsion π/2 classique6. La fonction d’onde atomique subit donc la transformation unitaire suivante :
|gi → √1
2(|ei + |gi). (I.152)
2. L’atome poursuit sa route à travers l’interféromètre où nous supposerons pour l’instant qu’il évolue librement. L’évolution de la fonction d’onde atomique est donc, dans le réfé-rentiel tournant à la pulsation ωr:
|Ψa.(t)i = √1 2(e
−iδt/2
|ei + eiδt/2|gi). (I.153) Cette évolution correspond à une rotation du vecteur de Bloch suivant le plan équatorial de la sphère de Bloch à la pulsation δ.
3. L’atome subit ensuite une deuxième impulsion π/2 dans la seconde zone de Ramsey à l’instant T . La phase φrde cette impulsion est contrôlée précisément par rapport à la phase de la première. Le choix de cette phase correspond au choix d’une direction particulière n dans l’équateur de la sphère de Bloch. Le vecteur de Bloch effectue alors une rotation d’angle π/2 autour du vecteur n.
|Ψa.i → e−iφr/2cos(φr− T δ
2 )|ei + ieiφr/2sin(φr− T δ
2 )|gi, (I.154)
4. L’état atomique est finalement détecté dans le détecteur à ionisation. Ainsi, la probabilité de détecter l’atome dans |ei dépend sinusoïdalement de la phase accumulée Tδ/2. En fait, cette probabilité est proportionnelle à la composante Oz du vecteur de Bloch juste avant la seconde impulsion de Ramsey.
Les deux dernières étapes permettent ainsi de mesurer une direction arbitraire du pseudo-spin atomique au moment de la deuxième impulsion de Ramsey. En particulier, si la fréquence Ram-sey est parfaitement à résonance avec la fréquence atomique, l’effet des deux impulsions π/2 s’ajoute (on suppose qu’elles sont effectuées toutes les deux avec la même phase φ = 0) et l’atome est détecté dans l’état |ei avec probabilité 1. Au contraire, si la fréquence de Ramsey est très légèrement désaccordée de façon à ce que la superposition atomique acquiert une phase T δ/2 = π au moment de la seconde impulsion de Ramsey, la seconde impulsion annule parfaite-ment l’effet de la première, et l’atome est détecté dans l’état |gi de façon certaine. La figure I.13 montre la probabilité de détecter l’atome dans |gi en fonction du désaccord δ pour une séparation de T = 360,3 µs entre les deux impulsions. Ces oscillations sont appelées franges de Ramsey [79] et elles sont à la base du fonctionnement des horloges atomiques [80].