Contraste fini de l’interféromètre

Comme nous l’avons expliqué au chapitre II, les déphasages inhomogènes agissant sur les différents atomes du jet peuvent être responsables d’une réduction de contraste. Les erreurs de détection atomique sont également une source d’erreur assez évidente pouvant mener à une ré-duction de contraste. Nous montrerons que ces deux sources d’erreurs sont parfaitement équiva-lentes et qu’elles peuvent être décrites par un formalisme relativement simple.

Déphasages inhomogènes Nous avons vu au chapitre II que les atomes du jet sont soumis à des déphasages inhomogènes. On peut par exemple supposer que chaque atome, suivant sa position dans le jet ou son instant d’arrivée accumule une phase supplémentaire Φ_bruitreprésentée par une variable aléatoire. Le point important est que ce bruit de phase n’a aucune corrélation avec le champ dans la cavité. On peut alors considérer que l’atome est détecté dans un interféromètre parfait suivant la phase φ + Φ_bruit. Par soucis de simplicité, nous considérerons que la variable aléatoire Φ_bruitprends ses valeurs dans un ensemble discret {φk}, la généralisation à une variable continue étant immédiate. Nous noterons w_k la loi des {φk}. Ainsi, la probabilité de mesurer l’atome selon la phase φ + φk au lieu de φ vaut wk. Nous supposerons que l’origine des phases φ a été choisie de sorte que la loi {φk} soit centrée sur 0.

Les franges de Ramsey ainsi obtenues sont alors la moyenne des franges parfaites déphasées de φ_kpour toutes les valeurs possibles de k. Le contraste résultant c se calcule aisément en passant aux notations complexes :

c =^X

k

w_keiφ_k

. (III.28)

La quantité ci-dessus est réelle et positive d’après le choix effectué sur l’origine des phases. Erreurs de détection De même, les erreurs de détection peuvent expliquer le contraste fini des franges de Ramsey. En effet, la figure II.15 montre que les signaux d’ionisation des niveaux |ei et |gi ont un certain recouvrement. Ainsi, on peut considérer que les atomes ne subissent pas de déphasages inhomogènes avant d’être détectés, mais qu’avec une probabilité ǫ, le signal qui nous parvient est l’opposé du niveau dans lequel l’atome a été détecté. En fait, on peut utiliser le même formalisme que ci-dessus pour décrire cette source d’erreur. En effet, la détection d’un atome dans |ei avec la phase φ est parfaitement équivalente à la détection d’un atome dans |gi

III.3. Imperfections expérimentales 95

(a) (b) (c)

F. III.5 – Les points eiφ_ksont représentés sur le cercle unité par un point rouge de surface propor-tionnelle à leur poids statistique wk. La flèche noire représente le contraste c de l’interféromètre (c = P_kw_keiφk). Les différentes figures correspondent à un interféromètre dont le contraste fini est dû uniquement aux fausses détections atomiques (a), à un brouillage de phase prenant trois valeurs discrètes φ₀ = 0, φ₁ = 2π/3 et φ₂ = −2π/3 (b), ou encore, à un brouillage continu de la phase de détection (c).

avec la phase φ + π. Ainsi, on peut considérer que les erreurs de détection correspondent à des erreurs de π de la phase de lecture. Le formalisme ci-dessus permet donc de décrire la situation en prenant φ₀ = 0, w₀ = 1 − ǫ et φ1 = π, w₁ = ǫ. Le contraste obtenu est alors c = 1 − 2ǫ. La figure III.5 illustre la similarité des deux sources d’erreurs.

On peut alors écrire dans le cas général la transformation ρ → L(ρ) = ρe subie par la matrice densité ρ lors de la détection d’un atome dans |ei par exemple. Cette transformation n’est pas décrite par un opérateur de Kraus puisqu’elle transforme un état pur en un mélange statistique. Ce type de transformation est appelée carte quantique, il s’agit de la transformation la plus générale pouvant décrire un processus physique quelconque ([48] p.173). En particulier, la décohérence, qui elle aussi transforme des états purs en mélanges statistiques, est décrite par une transformation de ce type. Nous allons tenter ici d’expliciter la carte quantique obtenue pour une loi {φk,w_k} donnée. L’état obtenu ρe est alors le mélange statistique des différents états obtenus pour chacune des phases de détection φ + φ_k.

ρ_e =^X

k

P(k|e) ^{Me(φ + φk)ρMe†(φ + φk)} Tr(M_e(φ + φ_k)ρM†

e(φ + φ_k))^{, (III.29)} où P(k|e) est la probabilité que la phase φ+φkait été utilisée sachant que l’atome a été détecté dans |ei. Cette probabilité s’obtient grâce à la loi de Bayes d’inversion des probabilités conditionnelles. Nous réutiliserons très prochainement cette formule :

P(k|e) = ^P(k)_P(e)P(e|k). (III.30) Ici, P(k) = wk est la probabilité que la phase φ + φk ait été utilisée, P(e) est la probabilité de détecter l’atome dans |ei à partir de l’état ρ, et P(e|k) est la probabilité de détecter l’atome dans

|ei sachant que la phase φ + φk a été utilisée. Cette probabilité est donnée par : P(e|k) = Tr(Me(φ + φ_k)ρM†

e(φ + φ_k)). (III.31)

Ainsi, l’équation (III.29) se simplifie : ρ_e = 1 P(e) X k w_kM_e(φ + φ_k)ρM† e(φ + φ_k). (III.32)

Nous allons montrer à présent que si l’on considère deux lois {φk,w_k} aboutissant au même contraste c, les cartes quantiques définies par la formule (III.32) sont identiques. Ainsi, on pourra parler d’un interféromètre de contraste c sans se soucier dans le détail de savoir si les déphasages inhomogènes ou les erreurs de détection sont à l’origine de ce contraste fini. Les différentes décompositions de la carte quantique selon la formule (III.32) sont appelées décompositions sous forme de somme de Kraus.

On suppose que le champ avant la transformation est dans un état pur |Ψi, la généralisation à un mélange statistique étant immédiate. On peut alors écrire le vecteur d’état du champ après l’interaction avec un atome dans _√1

2(|ei + |gi) : |Ψa.c.i = √¹

2(|ei ⊗ |Ψ1i + |gi ⊗ |Ψ2i), ^(III.33) où |Ψ1i (respectivement |Ψ2i) est le vecteur d’état du champ après interaction avec un atome dans |ei (respectivement |gi). L’atome subit ensuite une deuxième impulsion de ramsey de phase φ = φ + φ_kavec la probabilité w_k. Dans ce cas, le vecteur d’état du système atome-champ s’écrit :

|Ψa.c.(k)i = ¹₂h

|ei − e^i(φ+φk)

|giⁱ⊗ |Ψ1i +he−i(φ+φk)

|ei + |giⁱ⊗ |Ψ2i. ^(III.34) On peut alors exprimer l’action de Me(φ + φk) sur le vecteur d’état du champ |Ψi :

M_e(φ + φk)|Ψi =he|Ψa.c.(k)i =1

2 h

|Ψ1i + e^−i(φ+φk)

|Ψ2iⁱ. (III.35)

Finalement, la carte quantique (III.32) se réécrit en fonction de |Ψ1i et |Ψ2i : ρ_e = 1

P(e) X

k

w_kh

|Ψ1ihΨ1| + |Ψ2ihΨ2| + e^i(φ+φk)

|Ψ1ihΨ2| + e^−i(φ+φk) |Ψ2ihΨ1|ⁱ = 1 P(e)  X k w_k^|Ψ1ihΨ1| +^{ X} k w_k^|Ψ2ihΨ2| +^{ X} k w_ke^i(φ+φk)^ |Ψ1ihΨ2| +^{ X} k w_ke−i(φ+φk)^ |Ψ2ihΨ1|  = 1 P(e) 

|Ψ1ihΨ1| + |Ψ2ihΨ2| + ce^iφ|Ψ1ihΨ2| + ce^−iφ|Ψ2ihΨ1| 

. (III.36)

Ainsi, l’état final (III.36) ne dépend pas du détail des sources d’erreur, mais uniquement du contraste final dû aux déphasages inhomogènes et aux erreurs de détection. On vient dans ce

III.3. Imperfections expérimentales 97 cas particulier de démontrer qu’une même carte quantique pouvait être écrite de plusieurs façons équivalentes. En particulier, on choisira la forme la plus simple correspondant au scenario où les atomes sont détectés dans le « mauvais » état avec une probabilité ǫ = (1 − c)/2. La carte quantique correspondante s’écrit alors :

ρ_e = 1 P(e) 1 + c 2 ^Me(φ)ρMe^†(φ) + 1 − c 2 ^Mg(φ)ρMg^†(φ) !