Choix des paramètres pour la méthode du maximum de vraisemblance

On va donc considérer la séquence expérimentale suivante : 1. Le champ est réinitialisé et préparé dans l’état ρ à déterminer. 2. Le champ subit un déplacement D(α_ν).

3. Une série d’atomes réalise une mesure QND du nombre de photons.

4. Les étapes précédentes sont recommencées avec le même déplacement αν pour accumuler suffisamment de statistique avant de passer au point suivant.

Au fond, la seule différence avec la méthode présentée au paragraphe IV.3.1 est la nature de la mesure atomique à l’étape 3 (voir figure IV.19). Les données que nous avons prises lors de la der-nière série d’expériences étaient destinées à être traitées par l’algorithme d’Entropie maximum. Nous avons donc réalisé une mesure atomique aussi proche que possible d’une mesure de parité (voir III.4.2). Nous comprenons à présent qu’il aurait été plus judicieux de réaliser une mesure QND permettant de distinguer un grand nombre d’états de Fock comme au paragraphe III.4.4. Il aurait donc fallu utiliser un grand désaccord correspondant à un déphasage par photon faible et plusieurs phases de mesure permettant de décimer correctement les nombres de photons.

Nous allons tout de même inclure la possibilité d’utiliser plus d’une phase de mesure par réa-lisation du champ dans le formalisme de la méthode du maximum de vraisemblance présentée un peu plus haut. En effet, pour décimer au mieux les populations dans l’état déplacé, les atomes interagissant successivement avec le champ doivent être détectés suivant des phases différentes. Afin de simplifier au maximum la procédure de reconstruction, on supposera que les atomes sont détectés suivant deux phases de mesure orthogonales φ₁ et φ₂ = φ₁ +π/2. De plus, nous n’utiliserons que les N_at/2 premiers atomes détectés suivant chaque phase. Puisque l’ordre dans lequel sont détectés les atomes n’a pas d’importance, la partie atomique du POVM est parfaite-ment définie par la donnée du nombre d’atomes n_e1 détectés dans |ei suivant la phase φ1 et du nombre d’atomes n_e2détectés dans |ei suivant la phase φ2. Il existe donc au total (N_at/2)2

· Npoints opérateurs différents : E_Nat.(n_e1,n_e2) = Ene1 1at.(|ei, φ1) · ENat/2−ne1 1at. (|gi, φ1) · Ene2 1at.(|ei, φ2) · ENat/2−ne2

1at. (|gi, φ2), (IV.51) et l’opérateur total s’écrit :

IV.3. Méthode du maximum de vraisemblance 155 Im(α) Re (α) Im(α) Re (α) D(α_ν)

1. Préparation 2. Déplacement ^{3. Mesure de parité}

(généralisée) déplacée (a) Im(α) Re (α) Im(α) Re (α) D(α_ν)

1. Préparation ^{3. Mesure du « nombre}

de photons déplacé » 2. Déplacement

(b)

F. IV.19 – Schéma de principe de la procédure de reconstruction. La mesure a lieu en 3 étapes successives. La dernière étape consiste à mesurer le champ déplacé par interférométrie atomique. (a) Les données expérimentales dont nous disposons ont été prises avec un réglage voisin de celui de la mesure de parité (voir III.4.2). (b) Il est plus avantageux d’utiliser un réglage permettant de distinguer parmi un grand nombre d’états de Fock (voir III.4.4).

On utilise ensuite toujours la même méthode itérative pour maximiser la vraisemblance. Re-marquons à présent que dans le cas où α_ν = 0, le POVM obtenu est le même que celui de la mesure QND à plusieurs atomes (III.74). La méthode proposée ici n’est donc rien d’autre que l’extension de la méthode présentée au paragraphe III.4.4.d au cas où la mesure QND est pré-cédée d’un déplacement. Nous allons d’ailleurs étudier comme précédemment ce que devient le POVM à la limite où le nombre d’atomes utilisés est grand.

Limite des opérateurs du POVM Nous avons vu au chapitre précédent que la mesure ato-mique se simplifiait en une mesure de von Neumann du nombre de photons dans la limite des grands nombres d’atomes. Afin de mieux comprendre l’observable mesurée dans le cas général d’un déplacement non-nul, on peut réécrire les opérateurs (IV.52) à la limite des grands nombres d’atomes :

E_∞(n, α_ν) = D(−αν)|nihn|D(αν). (IV.53) Ces opérateurs sont des projecteurs sur les états de Fock déplacés |ni−αν :

|ni−αν =D(−αν)|ni. (IV.54)

En particulier, on voit que pour effectuer une mesure de von Neumann de cette quantité, il faudrait que la mesure soit décrite par un opérateur de Kraus correspondant à ce même projecteur. Il conviendrait donc d’abord de déplacer le champ de −αν, mesurer projectivement le nombre de photons et finalement redéplacer le champ de α_ν. Dans notre protocole, cette dernière étape est absente, nous ne réalisons donc pas une mesure non-destructive du « nombre de photons déplacé », nous reviendrons sur ce point au chapitre suivant. Néanmoins, les probabilités de détection ne sont pas affectées par l’absence de la dernière étape, postérieure aux détections atomiques.

Analyse des expériences réalisées Nous venons de voir que les données expérimentales n’ont pas été prises dans les conditions optimales pour la méthode du maximum de vraisemblance. Tou-tefois, en prenant en compte l’ensemble des corrélations entre atomes, la méthode du maximum de vraisemblance devrait donner de meilleurs résultats que la méthode d’entropie maximum. En effet, le déphasage par photon étant différent de Φ(n) = π(n + 1/2), la partie réelle de la fonction de Wigner généralisée est une observable à plus de deux valeurs propres. On perd donc de l’in-formation en prenant la valeur moyenne de cette observable dans la méthode du maximum de l’entropie. Toutefois, les résultats expérimentaux semblent montrer que cette dernière méthode est plus efficace. Il est vraisemblable que la reconstruction par maximum de vraisemblance soit affectée par une mauvaise calibration des opérateurs du POVM. En effet, nous avions noté sur les fonction de Wigner des états reconstruits par le maximum de vraisemblance (voir figure IV.17) des distorsions globales qui ne s’expliquent vraisemblablement pas par du bruit statistique.

La reconstruction expérimentale a été faite à l’aide des opérateurs E_1at.(|ei, φ) et E1at.(|gi, φ) de l’équation (III.43) dans laquelle on a injecté le déphasage par photon Φ(n) donné par la formule théorique. Cette dernière est sujette à diverses sources d’imprécision comme la connaissance imparfaite de la fréquence de Rabi, le désaccord imprécis entre cavité et atome, la forme du

IV.4. Comparaison entre les deux méthodes 157