Les problèmes τ-radiaux



πI(S⁰) = S⁰∪ Sσ(n−q)

φI(S⁰) = S

j>σ(n−q):S_j∈S⁰

{T =S⁰\ {Sj}:Tcouverture}.

Dans les deux cas, il s’agit bien de problèmes radiaux puisque les fonctionsφI

etπI proposées sont de complexité polynomiale :πIconstruit en parcourant les som-mets deV (resp., les sous-ensembles deS) au plusnpères, de taille au plusn; de son côté,φI parcourt l’ensemble des sommets (resp., des sous-ensembles) et vérifie la réalisabilité d’au pirensolutions constructibles à partir deU (resp.,S⁰). Autrement, les propriétés 2 et 3 sont trivialement vérifiées : par l’ajout d’un sommet (resp., la suppression d’un sous-ensemble), on améliore strictement la valeur de la solution 3 ; enfin, tout ensemble de sommetsUpeut être vu comme l’union de ses éléments, toute sous-familleS⁰ comme la résultante de suppressions successives des éléments de la familleS2.

La notion de problème radial a été introduite dans [DEM 98] pour répondre à deux motivations : tout d’abord, établir l’équivalence entre l’approximation au sens usuel et l’approximation asymptotique de problèmes radiaux sous le rapport différentiel ; en-suite, on remarque que pour tout problème radial, si la profondeur de l’arbre qui borne la longueur du plus long chemin dewI à une solution optimale est d’ordre constant, alors ce problème est polynomial ! Parallèlement à ces travaux, Monnot exploite la radialité dans [MON 98] pour isoler une famille de problèmes∆-simples à diamètre traitable : un problèmeΠest∆-simple si pour toute constantek, on sait résoudre en temps polynomial les instancesIde diamètre borné park(c’est-à-dire les instances telles que|βΠ(I)−ωΠ(I)|6k) ;Πest à diamètre traitable si pour toute constantek, on sait décider en temps polynomial si, oui ou non, on a la relation diam_Π(I) 6 k.

Cela est utile car si un problème est à la fois∆-simple et à diamètre traitable, alors pour toute constanteket tout algorithmeAapproché pour Π, le rapport de perfor-mance pour la mesure différentielle établi parAsurIΠest donné par la performance deAsur la famille d’instancesI^k ={I ∈IΠ: diam_Π(I)> k}(notion d’instances critiques définie par [MON 98]). C’est cependant dans un tout autre cadre d’étude que nous souhaitons exploiter la formulation radiale des problèmes, celui de la garantie de performance par les optima locaux.

7.2.2. Les problèmesτ-radiaux

L’idée du problème radial est l’exhibition d’une fonction qui permette à la fois de générer tout l’ensembleSolπ(I)à partir dewI et d’ordonner ses solutions. Nous avons déjà remarqué que les optima d’une instance d’un problème radial se situaient sur les feuilles de l’arbreAI, mais quelles feuilles ? Sur la figure 7.2, les ensembles

stables{1,3},{1,4,5},{1,5},{2,5},{3},{4,5}et{5}correspondant aux feuilles de l’arbreAIsont de statuts bien contrastés : par exemple,{1,3}est un stable maxi-mal,{1,4,5}un stable maximum, tandis que{5}n’est pas même maximal ! Ainsi, la structure d’arbre découlant des fonctionsπI etφIn’est pas si lisible que l’on pourrait le souhaiter si l’on s’intéresse en réalité à la description non pas d’une façon de géné-rer une solution quelconque à partir de la pire solutionwI, mais de toutes les façons de le faire. Pour cela, nous allons prendre explicitement en considération la transfor-mation sous-jacente aux fonctions père et fils et considérer pour chaque solution non pas une dégradation possible, mais toutes les dégradations pouvant mener à une pire solution par cette transformation. Dans le grapheG, le stable{1,4,5}est autant la ré-sultante de l’ajout du sommet 1 au stable{4,5}que la conséquence de l’intégration du sommet 5 au stable{1,4}. Déclarer la radialité d’un problème, c’est établir la possibi-lité de déduction de toute solution d’une pire solution par améliorations successives ; une fois cette structure mise à jour commence son exploitation par la représentation exhaustive de la constitution des solutions.

Nous nous concentrons donc sur les propriétés sous-jacentes à la radialité : d’une part, la possibilité de construire en temps polynomial l’unique pire solution de toute instance, d’autre part, la possibilité de déduction de toute solution par un chemin amé-liorant à partir de cette pire solution.

7.2.2.1. Définition et exemples

Rares sont les problèmes dont le graphe de transition prend naturellement la forme d’un arbre et comme nous l’avons vu pour les quelques exemples proposés, la repré-sentation sous la forme d’arbre force à restreindre arbitrairement la reprérepré-sentation des arcs entre solutions voisines (ce qui revient à faire des coupes dans le voisinage), en-gendrant éventuellement des feuilles non optimales : c’est ce que nous voulons éviter maintenant. Nous travaillerons donc sur le graphe de transition complet de problèmes radiaux particuliers dits τ-radiaux qui nous intéressent plus précisément pour l’ap-procheGLO.

DÉFINITION 7.5.– Un problème Πde NPO est ditτ-radial s’il existe deux poly-nômespetqet une famille de fonctions multivoques :

(τI : SolΠ(I)→ P(SolΠ(I)))_I∈IΠ

polynomiales en |I|tels queΠet(τI)_I∈IΠ vérifient pour toute instanceI deIΠles propriétés :

1) la pire solutionwI est unique et constructible en tempsp(|I|); 2)∀s∈SolΠ(I),

a)∃k6q(|I|)∈Ntel queτ_I^k(s) ={wI}; b)∀k∈N, siwI ∈τ_I^k(s), alorsτ_I^k(s) ={wI}; 3)∀s6=wI ∈SolΠ(I),∀t∈τI(s),mΠ(I, s)mΠ(I, t);

4) la fonction θI : s ∈ SolΠ(I) 7→ θI(s) = {t ∈ SolΠ(I) : s ∈ τI(t)} est polynomiale en|I|.

Le graphe de transition d’un problèmeτ-radial permet de se déplacer facilement de solution en solution voisine à la recherche d’optima locaux : une solutionsa par exemple pour voisins directs (ou 1-locaux vis-à-vis d’une certaine transformation) les ensemblesτI(s)de solutions qui sont toutes strictement pires quesetθI(s)de solu-tions qui lui sont toutes strictement meilleures. Cette fois, optima locaux et sommets absorbants coïncident.

PSfrag replacements 1

2,5

2 3 4 5

∅

1,2

1,5 2,5

4,5

GΠ(I) 1,4,5

1,4

Figure 7.3. Le graphe de transition pour un problème de stable

Le problème de stable, par exemple, est bienτ-radial avec pour transformation élémentaire le retrait unitaire de sommet (voir figure 7.3) : ∀s ∈ {0,1}ⁿ,τI(s) =

∪i:si=1{t∈ {0,1}ⁿ: (∀j6=i, tj=sj)∧(ti= 0)}.

A l’évidence, il en est de même du problème de couverture d’ensembles, en consi-dérant naturellement comme transformation élémentaire le retrait unitaire de sous-ensemble.

Nous avons déjà parlé de hauteur dans le graphe de transition, nous parlerons maintenant de niveau : si pour l’estimation de la complexité d’un LSA, on s’intéresse

à la longueur d’un chemin améliorant de toute solution à un sommet absorbant, pour l’estimation de la qualité des optima locaux en différentiel, on s’intéresse à la longueur d’un chemin améliorant de la pire solution à toute solution, et en particulier à un sommet absorbant. La propriété 2b permet, en imposant pour toute solutionsque les chemins dewI àssoient de longueur unique, de définir une telle notion de niveau.

Effectivement, considérons une solution set deux chemins C1 etC2 dewI àsde longueur respectivek1etk2; cela signifie quewI ∈τ_I^k1(s)etwI ∈τ_I^k2(s), ce dont on déduit par la propriété 2b, τ_I^k1(s) = τ_I^k2(s) = {wI}. Si jamais C2 était plus long que C1, lek1ième sommet rencontré en remontantC2 à partir desserait une solutiontdifférente dewI, contredisant ainsi la propriété 2b. Appelons donc niveau d’un sommet sdans T GΠ(I) et notons n(s)la longueur d’un chemin de wI às; de plus, nous désignerons par NI la longueur d’un plus long chemin de la racine à un sommet absorbant et par LI le plus grand demi-degré extérieur (le demi-degré extérieur d’un sommetscompte le nombre se sommetstextrémité terminale d’un arc d’extrémité initiales) :∀s∈SolΠ(I),

n(s) = min

k∈N:τ_I^k(s) ={wI}

NI = max

s∈SolΠ(I){n(s)}

LI = max

s∈SolΠ(I){|θI(s)|}.

Notons que, par définition des problèmesτ-radiaux, les quantitésNI(condition 2a de la définition 7.5) etLI (condition 4) sont bornées par des polynômes en la taille de l’instance.

7.2.2.2. Problèmesτ-radiaux et optima locaux

Pour une transformationτIadéquate (par exemple : ajout/supression unitaire d’élé-ments d’une structure considérée), les ensembles de solutionsτI(s)etθI(s)forment les voisinages 1-bornés qui nous ont permis d’établir l’appartenance des problèmes à la classe GLO[R], et les solutions qui se situent sur les sommets absorbants de T GΠ(I) ne sont autres que les optima 1-locaux relativement à ces voisinages. Le nombre de solutions de niveau k est borné par la quantité L^k_I; ainsi, il y a dans T GΠ(I)au pireL^N_I^I sommets absorbants, optima 1-locaux relativement à la trans-formationτI : sisest absorbant, c’est qu’il n’est pas de solutiont meilleure ques telle ques=τI(t); parmi ces solutions se trouvent des optima globaux. Combien de temps faut-il, partant dewI, pour atteindre un sommet absorbant ? Au plusC(θI)×NI

siC(θI)désigne la complexité deθI, soit une quantité bornée par un polynôme en la taille de l’instance, C(θI)étant supposée polynomiale, NI étant bornée par q(|I|) (condition 2a de la définition 7.5). La pire solutionwI étant elle-même constructible en temps polynomial, elle permet de garantir l’obtention d’une solutionτ-maximale

ouτ-minimale, selon qu’il s’agisse d’un problème de maximisation ou de minimisa-tion, en temps polynomial.

PROPRIÉTÉ7.1.– Si un problèmeΠdeNPOestτ-radial, alors on sait déterminer des solutionsτ-maximales si Πproblème de maximisation,τ-minimales siΠproblème de minimisation en temps polynomial.

Au-delà des solutions maximales et minimales, saurait-t-on déterminer des optima locauxh-bornés sur le grapheT GΠ(I)? On définit comme voisinsh-distants d’une solutionsl’ensemble des solutions que l’on peut atteindre à partir desen appliquant au plushfois alternativement les fonctionsτI etθI, désignant ainsi pour tout entier naturelhle voisinageh-bornéV^hsuivant :∀h∈N,

( V⁰(I, s) ={s} h= 0

V^h(I, s) =V^h−1(I, s)S

τ V^h−1(I, s) S

θ V^h−1(I, s)

∀h>1.

La détermination d’un optimum local relativement au voisinageV^hn’est pas po-lynomiale dans le cas général pourh >2: les retours en arrière (dégradation de la solution) étant autorisés par l’utilisation de la transformationτI, il est possible que la recherche d’un optimum local mène au parcours « en largeur » du grapheT GΠ(I); or, le déroulement d’un tel parcours n’a aucune raison d’être polynomial puisque l’ex-ploration de toutes les solutions de niveaukpourrait revenir à considérer de l’ordre deL^k_I solutions,kpouvant être une puissance den. Par la suite, nous nous restrein-drons à une famille de problèmes au support polynomialement borné, ce qui, nous l’avons vu au paragraphe 3.1.1.3, assure le déroulement polynomial des algorithmes de recherche locale : il s’agit des problèmesτ-radiaux dont la transformationτI en-gendre entre une solution et l’une de ses images un saut constant de la fonction objec-tif. Cette classe renferme les familles remarquables des problèmes héréditaires (resp., anti-héréditaires) tels MaxIS (resp., MinSC) et des problèmes de partitionnement hé-réditaires tels MinC et MinBP.

7.2.3. Une sous-famille remarquable