Exemples simples pour voisinages 1-bornés

Nous présentons ici des problèmes dont les optima locaux pour un voisinage 1-borné ont un rapport d’approximation constant, pour les mesures classique et diffé-rentielle. Pour beaucoup, ces solutions sont les solutions maximales ou minimales selon qu’il s’agisse de problèmes de maximisation ou de minimisation. Nous avons déjà défini les notions de maximalité et de minimalité au cours de l’exemple 3.1 et montré (du moins pour le cas du stable) que la recherche de ces solutions n’était autre qu’une mise en œuvre de LSA ; nous allons un peu plus loin dans ce paragraphe, en caractérisant d’une part le voisinage considéré comme voisinageh-borné, en montrant d’autre part que les algorithmes qui permettent d’obtenir de telles solutions, bien que naïfs, sont déjà pour certains problèmes des algorithmes approchés à rapport constant.

THÉORÈME3.1.–

i) MaxCut ii) MinDS-B iii) MaxIS-B

iv) MinVC-B









∈GLO∩GLO[δ]

Tous ces problèmes se posent sur des graphes simplesG(V, E)supposés connexes et admettent comme solution des sous-ensemblesU de sommets deV. Remarquons au préalable que les problèmes de maximisation pour lesquels la pire des solutions a une performance nulle (ωΠ(G) = 0 ∀G) sont équi-approximables vis-à-vis des deux rapports d’approximation puisque les deux mesures coïncident alors ; or, c’est justement le cas des problèmes MaxCut et MaxIS-B avecU = ∅ comme pire so-lution de valeur nulle. Remarquons également que tous ces problèmes sont polyno-mialement bornés puisque la taille d’un sous-ensemble de sommets (resp., d’arêtes pour MaxCut) est bornée par la taille de l’ensemble de sommets (resp., des arêtes) : max{ωΠ(G), βΠ(G)} 6 |V| (resp.,|E|). De plus, on a pour MaxIS et MaxCut la solution trivialeU =∅de valeur nulle, pour MinVC et MinDS la solutionU =V de valeur|V|.

Une solution est donc un sous-ensemble ou plutôt, un vecteurs ∈ {0,1}^|V| re-présentant ce sous-ensemble :su = 1 ⇔ u ∈ U. Sur ces solutions, le voisinage 1-borné considère comme solutions voisines d’une solutions ∈ {0,1}^|V|toutes les solutions dont l’affectation d’au plus une composante diffère de s. Autrement dit, ce voisinage considère comme solutions voisines d’un sous-ensemble U ⊆ V tous les sous-ensembles de sommets obtenus à partir de U en lui ajoutant ou lui retirant un sommet. Ce voisinage désigne comme optima locaux pour les problèmes MaxIS, MinDS et MinVC les solutions maximales et minimales.

Considérant donc pour voisinageV le voisinage 1-borné, nous allons évaluer la performance des optima locaux de ces différents problèmes pour V. L’appartenance

de chacun de ces problèmes àGLOa été montrée dans [AUS 95b] par l’entremise de ces mêmes optima locaux.

PROPOSITION3.1.–

1) MaxCut∈GLO[δ]; 2) MinDS-B ∈GLO[δ];

3) MaxIS-B,MinVC-B∈GLO[δ].

Preuve du point 1. Pour ce problème, les mesures classique et différentielle sont une seule et même mesure ; aussi reprenons-nous ici, dans un simple but illustratif, la démonstration de [AUS 95b]. Soit G(V, E)un graphe et soit U un sous-ensemble de sommets. On rappelle que le problème MaxCut de coupe maximum consiste à déterminer un ensemble de sommetsU ⊆V qui maximise le nombre d’arêtes entre les ensemblesUetU oùUdésigne l’ensembleV\Ucomplémentaire àUdansV. On note pour tout couple(U1, U2)de sous-ensembles deV hU1, U2il’ensemble des arêtes reliant un sommet deU1à un sommet deU2et|hU1, U2i|la cardinalité de cet ensemble.

L’ensembleU est un optimum local si et seulement si le changement d’affectation d’un sommetudeUàU ou deU àU n’améliore pas la solution, soit siU vérifie :

∀u∈U , {u}, U6|h{u}, Ui|

∀u∈U, |h{u}, Ui|6{u}, U [3.1]

L’expression [3.1] implique : P

u∈U

{u}, U+ P

u∈U

|h{u}, Ui| 6 P

u∈U

|h{u}, Ui|+ P

u∈U

{u}, U

⇔ 2U , U+ 2|hU, Ui| 6 2U , U

⇔ |E| −mCut(G, U) 6 mCut(G, U)

c’est-à-direm(G, U)>|E|/2. De la relationβ(G)6|E|on déduit alors le rapport : δ(G, U) = mCut(G, U)

βCut(G) > 1 2 et ceci conclut la preuve du point 1 de la proposition.

Preuve du point 2. Le grapheGest à degré borné parB (tout sommet a au plusB voisins). Un ensemble dominant est un sous-ensemble de sommetsU ⊆V qui vérifie :

∀x∈U , |h{x}, Ui|>1 [3.2]

L’objectif est de déterminer un ensemble dominantU de taille minimum. La suite de la preuve repose sur les remarques suivantes.

REMARQUE 2.– U dominant ⇒ |U| > |V|/(B + 1). En effet, l’expression [3.2]

implique|U|6|hU, Ui|=P

u∈U|h{u}, Ui|6B|U|. L’expression précédente avec

|U|=|V| − |U|conclut la preuve de la remarque.

REMARQUE 3.– SiU est un ensemble dominant minimal, alorsU est un ensemble dominant. En effet, le grapheGétant supposé connexe, tout sommety∈U est relié à l’ensembleU ou son complémentaireU; or, siyn’est relié qu’à des sommets deU, U\{y}est toujours dominant, ce qui contredirait la minimalité deU:yest donc relié à au moins un sommet deU, autrement dit «∀u∈U,|h{u}, Ui|>1».

REMARQUE4.– U dominant minimal ⇒ |U|6B|V|/(B+ 1). En effet par la re-marque 3,Uest dominant, et d’après la remarque 2 :|U|>|V|/(B+ 1)qui implique

|U|6B|V|/(B+ 1).

AvecβDS > |V|/(B+ 1)(l’optimum est lui-même dominant),ωDS =|V|(la pire solution consiste à prendre tous les sommets) et|U|6B|V|/(B+ 1), on obtient le rapportδDS(G, U) = (ωDS− |U|)/(ωDS−βDS) = (n− |U|)/(n−βDS) > 1/B.

Ceci termine la preuve du point 2 de la proposition.

Preuve du point 3. Le grapheGest toujours à degré borné parB. Un stable est un ensemble de sommets deux à deux non adjacents, une couverture est un ensembleU de sommets tel que l’une au moins des deux extrémités de toute arête deEse trouve dans U. Pour MaxIS, il s’agit de déterminer un stable de taille maximum ; d’autre part, pour MinVC, une couverture de taille minimum. Ces deux problèmes sont deux expressions d’un seul puisque le complémentaire de tout stable est une couverture et le complémentaire de toute couverture est un stable :

U stable ⇔ hU, Ui =∅ ⇔ E= hU , Vi ⇔ Ucouverture

Encore une fois, ces deux problèmes étant liés par une transformation affine de leur fonction objectif, ils sont totalement équivalents sous l’angle du rapport différentiel : MaxIS^AF⇔MinVC et MaxIS-B^AF⇔MinVC-B.

Or, l’appartenance de MaxIS-B à la classe GLOa été montrée par dominance d’un stable maximal dans [AUS 95b], avec un rapport d’approximation de1/B+ 1: on déduit de ce résultat l’appartenance des deux problèmes MaxIS-Bet MinVC-Bà la classeGLO[δ], par les voisinages 1-bornés, pour un rapport différentiel de1/B+ 1.

L’argument de ce rapport classique s’appuie sur la remarque suivante.

REMARQUE 5.– Ustable maximal ⇒ U dominant. En effet, tout sommetudeU est relié à un sommet deU, sinonupourrait être intégré au stableU, contredisant sa maximalité.

De fait, on obtient de la remarque 2 la relationU dominant ⇒ |U|>|V|/(B+1) qui permet de conclure|U|>n/(B+ 1)>βIS/(B+ 1). Ceci termine la preuve du point 3 et de la proposition.

Ce rapport peut être amélioré à1/Ben considérant un stable optimalU^∗. Notons U+=U\U^∗etU₊^∗ =U^∗\U; tout sommetudeU₊^∗ est relié à un sommet deU+: on sait déjà queuest relié à un sommetvdeU, et par stabilité deU^∗, ce sommetv ne peut être dansU ∩U^∗! En rapportant ainsi la relation deU àU à une relation de U\U^∗àU^∗\U, on obtient :

|U+|> |U∗+|

B ⇒B|U|>B|U+|+|U∩U^∗|>U₊^∗+|U∩U^∗|=βIS

Enfin siB n’est plus seulement une borne mais le nombre exacte de sommets adjacents à tout sommet, soit dans le cas de graphesB-réguliers, le rapport d’approxi-mation différentiel de tout optimum 1-local des problème de Stable et de Couverture de sommets est porté, pour des graphes connexes, à2/(B+ 1). Effectivement, on re-marque alors que, pour la couverture de sommets, toute solution d’une instanceIdoit intégrer au moinsm/Bsommets pour couvrir toutE, chaque sommet permettant de couvrir au plusBarêtes ; or, dans le cadre de graphesB-réguliers, les nombresmetn d’arêtes et de sommets sont liés par la relation :2×m= 2|E|=Pn

j=1d(vj) =B×n.

Ainsi, deβVC(I)>m/Bon déduitβVC(I)>n/2, et une couverture minimaleU, qui est toujours de taille au plusn×B/(B+1)par dominance deU, réalise un rapport différentiel de :δVC(I, U) = (n− |U|)/(n−βVC(I))>2/(B+ 1).