GLO[R] et les classes d’approximation

Comme nous venons de l’illustrer avec MaxKS(k){0,1}, un problème peut être

« facile » au sens de la résolution en temps polynomial et admettre de mauvais optima locaux :

PO * GLO PO * GLO[δ]

Tout optimum local garantit un rapport constant et par définition,GLO[R] ren-ferme des problèmes sur lesquels les algorithmes de recherche locale obtiennent un optimum local en temps polynomial : ainsi les LSA sont, sur les problèmes des classes GLO[R], des PTAA particuliers. En revanche, puisque tout problème polynomial (qui est a fortiori APX[R]) n’est pas nécessairement GLO[R], il s’agit d’une inclusion stricte :

GLO ⊂ APX

GLO[δ] ⊂ APX[δ]

Par ailleurs, nous l’avons vu avec le problème d’ordonnancement multiprocesseur ou encore le problème de Bin Packing, les classesGLO[R]intersectent la classePTAS des problèmes admettant un schéma d’approximation :∃Π∈GLOtel queΠ∈PTAS et∃Π ∈GLO[δ]tel queΠ∈PTAS[δ]. Les figures 4.3 et 4.4 offrent une illustration des relations qu’entretiennent respectivement les classes GLOet GLO[δ] avec les classes d’approximation.

PSfrag replacements

APX

PTAS GLO

APX[δ]

PTAS[δ]

GLO[δ]

PO MaxTSP(k)

MaxKS(k){0,1}

MinVC

MinMS(k) MinC

MinTSP(k) MinBP

Figure 4.3. GLO et les classes d’approximation

ConcernantGLOet APX, les auteurs montrent dans [AUS 95a] que la ferme-ture de GLOsousP-réductions coïncide avec APX:GLO^P = APX. Pour cela, ils font appel à des problèmes particuliers de satisfaisabilité variables-pondérés qui sont APX-complets pour la P-réduction. Une instance de MaxWSat (problème de satisfaisabilité maximum pondéré avec borne) est la donnée d’une instance(X, C) de MaxSat, d’un jeu de poids p1, . . . , pn sur les variablesx1, . . . , xn et d’un entier B ∈ N^? tels que la somme des poids pi est comprise dans l’intervalle [B,2B] : B 6 Pn

i=1pi 6 2B (B pouvant être arbitrairement grand). Une affectationT des valeurs de vérité, si elle satisfait toutes les clauses, sera évaluée par la somme des poids des variables mises à 1 parT; sinon,T est évaluée àB:

∀T ∈ {0,1}ⁿ, mWSat(I, T) =



 Pn i=1

pi×T(xi) siTaffectation valide

B sinon

PSfrag replacements APX PTAS GLO

APX[δ]

PTAS[δ]

GLO[δ]

PO MaxTSP(k)

MaxKS(k){0,1}

MinVC MinMS(k)

MinC MinTSP(k)

MinBP

Figure 4.4. GLO[δ] et les classes d’approximation

Ce problème a été montré dans [CRE 91] 1/2-approximable (une affectation non valide faisant B quand l’optimum ne pourra jamais excéder2B) etAPX-complet.

Sur toute instance, on sait construire en temps polynomial une affectation T⁰ non valide : il suffit de prendre la première clausec1 et d’affecter les variables interve-nant dans c1 de sorte à ce que tous ses littéraux soient faux (on rappelle que l’on suppose toujours disposer d’instances qui ne comportent pas de tautologie). Alors il est équivalent du point de vue de l’approximation classique de considérer pour les affectations valides la fonction : mWSat(I, T) = max{B,Pn

i=1pi×T(xi)}. Ef-fectivement, la valeur optimale est inchangée (βWSat(I)> B) et pour passer d’une évaluation à l’autre, il suffit de substituer à toute affectation valideT dont la somme des poids des variables mises à 1 est strictement inférieure àBla solutionT⁰. Consi-dérons donc le problème MaxWSat doté d’une telle fonction objectif, il est toujours 1/2-approximable (par toute affectation des valeurs de vérité, toute solution faisant au moinsBquandβWSatreste borné par2B) etAPX-complet [CRE 91]. Pour démon-trer l’égalitéGLO^P = APX, Ausiello et Protasi se ramènent au cadre polynomiale-ment borné avec le problème MaxWSat(k) dont l’objectif est le suivant :

∀T ∈ {0,1}ⁿ, mWSat-PB(I, T) =n+

n(mWSat(I, T)−B) B

.

Avec cette fonction objectif, on s’assure que la valeur de toute solution sera com-prise entrenet2n, la différencemWSat(I, T)−B étant toujours comprise entre 0

etB. Ainsi, le problème MaxWSat(k) est clairement dansGLO, étant polynomiale-ment borné (on est donc assuré de trouver parLSAun optimum local en temps poly-nomial), et garantissant trivialement un rapport 1/2 pour tout optimum local (comme c’est déjà le cas de toute solution). Or, il est montré dans [CRE 94] que MaxWSat est P-réductible à sa restriction MaxWSat(k) et cela suffit à conclure :

APX∝^PMaxWSat∝^PMaxWSat(k)∈GLO GLO⊂APX

)

⇒GLO^P= APX

Cette égalité induit notamment qu’un problèmeAPXqui n’est pasGLO(et nous avons vu que de tels problèmes existent) se réduit au moins parP-réduction à un pro-blème deGLO. Notons au passage que ce problème, MaxWSat(k), n’est pas approxi-mable en différentiel à moins quePn’égaleNP: nous montrons par réduction à partir de Sat que toute approximation différentielle non nulle de ce problème permettrait de décider Sat.

THÉORÈME4.8.– Tout algorithme polynomialAapproché pour MaxWSat(k) établit, siP6= NP, un rapport différentiel de performance nulle (exactement égal à 0) ! Preuve. Considérons une instanceI = (X, C)de Sat constituée denvariables boo-léennesx1, . . . , xnetmclausesc1, . . . , cm; on introduit un ensemble denvariables de MaxWSat donnée par l’ensemble de variablesX∪Y, l’ensemble de clausesC⁰∪D, les jeux de poidsp^X etp^Y et la constanteB. Effectivement, les poids vérifient bien comme il se doit :

Une affectationT⁰non satisfaisable réalisera une performance deB; par ailleurs, pour satisfaire l’ensemble D de clauses, une affectation T⁰ devra mettre au moins

n−1variablesyj à 1 (sinon une clause(yj1, yj2)ne sera pas vérifiée) et ainsi, sera évaluée par la somme des poids des variables mises à 1, cette somme valant au moins 3(n−1)>B. Cela signifie aussi qu’une affectationT⁰, pour être satisfaisable surI⁰, devra impérativement l’être tout autant pourI : pour une variableyjaffectée à 1 (et l’on vient de voir que c’était le cas d’au moinsn−1variables), la clausec⁰_i,j=ci∨y¯j

ne sera avérée qu’à condition que la clause initiale ci le soit elle-même. Ainsi, une affectation satisfaisable sera toujours à valeur dans[3(n−1),4n]quand toute autre solution fera, nous l’avons dit,B = 2n. Si un algorithme approché pour MaxWSat assure un rapport différentiel non nul il permettra, sur I⁰, de renvoyer une solution satisfaisable s’il en existe, et donc de reconnaître si oui ou nonI est satisfaisable. Il en est de même pour MaxWSat(k) où toute affectation non satisfaisable sera évaluée ànet toute solution satisfaisable à au moinsn+ 1(on peut supposern>5et ainsi, n(mWSat(I, T)−B)/B>n(3(n−1)−2n)/2n= (n−3)/2>1).

La construction que nous venons de proposer produit des clauses de taille 2 (en-semble D) et des clauses de même taille, à un littéral près, que celles de l’instance initiale (ensembleC⁰) ; aussi la réduction proposée transforme-t-elle plus précisément une instance dek-Sat pourk > 3en une instance de MaxWk+ 1-Sat(k), induisant sur ce dernier problème le même résultat négatif d’approximabilité différentielle que sur le problème général.

COROLLAIRE 4.9.– Tout algorithme polynomial Aapproché pour MaxWk-Sat(k) établit, siP6= NP, un rapport différentiel de performance nul, et ce quelle que soit la constantek>4considérée :∀k>4,δ_MaxWk-Sat(k)= 0.

Le résultat annoncé par le théorème 4.8 est d’ordre crucial pour la théorie de l’ap-proximation puisqu’il met en évidence, à l’intérieur de la classe des problèmes NP-difficiles, l’existence d’une famille de problèmes qui sont de la plus grande difficulté intrinsèque pour l’approximation différentielle : ceux dont la garantie différentielle de performance est, au pire des cas³, égale à 0. Bien sûr, comme l’on peut pour tout pro-blème déterminer une solution non nulle, un rapport classique égal à 0 ne peut exister.

En revanche en différentiel, on supposait l’existence de tels problèmes (nous l’avons dit : les plus difficiles intrinsèquement) sans être en mesure de la démontrer. Le théo-rème 4.8 lève donc une question ouverte, traçant la voie vers une structuration plus fine des classes d’approximation différentielle. Un autre problème ayant un rapport différentiel nul, l’ensemble stable dominant minimum (MinIDS, voir annexe A, est donné dans [BAZ b]. Ces deux résultats ont été obtenus presque simultanément.

3. C’est le cadre de travail le plus commun en algorithmique et complexité.

PSfrag replacements

MaxNP0

MaxSNP0

GLO

APX GLO[δ]

MaxTSP(k)

MinMS(k) MinC MinTSP(k)

MaxCut Maxk-Sat

Max2-CCSP

MaxSat

Max-W-Sat(k)

MaxIS-B

Figure 4.5. GLO et les classes logiques

? PSfrag replacements

MaxNP0

MaxSNP0

GLO APX

GLO[δ]

MaxTSP(k) MinMS(k)

MinC

MinTSP(k) MaxCut Maxk-Sat

Max2-CCSP

MaxSat

Max-W-Sat(k) MaxIS-B

Figure 4.6. GLO[δ] et les classes logiques