Couverture d’ensembles

Une instanceI = (C, S)du problème de couverture d’ensembles minimum est la donnée d’un ensembleC={c1, c2, . . . , cm}d’éléments à couvrir et d’une famille S ={S1, S2, . . . , Sn} ⊆2^Cde sous-ensembles d’éléments deCd’unionC. Le but est de trouver un ensembleS˜ ⊆ S de cardinalité minimum qui recouvreC. On se restreint ici aux instancesB-bornées, c’est-à-dire aux instancesI= (C, S)dont tous les sous-ensemblesSide la familleSvérifient|Si|6B.

PROPOSITION4.1.– MinSC-B ∈GLO[δ].

Preuve. Nous allons montrer que tout optimum local pour le voisinage 1-borné réalise un rapport différentiel de1/(B+ 1).

La valeur d’une solutionS˜est donnée parmSC(I,S) =˜ |S|˜. Il s’agit d’un pro-blème polynomialement borné puisque la pire solution, qui consiste à sélectionner tout ensemble deS, est de valeurn. Le voisinage 1-borné désigne ici comme voisine d’une solutionS˜ toute sélectionS˜⁰ dont au plus un sous-ensemble diffère deS˜; les optima locaux pour ce voisinage sont simplement des solutions minimales.

Considérons une couvertureS˜ ={S1, S2, . . . , Sp}de taillep;S˜est une couver-ture minimale si elle vérifie :

1)∀i= 1, . . . , m,∃j∈ {1, . . . , p}tel quecj∈Sj;

2)∀j = 1, . . . , p,∃ij ∈ {1, . . . , m}tel quecij ∈ Sj et∀j⁰ 6= j ∈ {1, . . . , p}, cij ∈/ Sj⁰.

La condition 1 traduit la réalisabilité de la solution S, la condition 2 sa minimalité.˜ Par 2, on sait que l’on peut construire un ensembleC˜ ={ci1, . . . , ci1}depéléments

´E

Figure 4.1. Le processus qui renvoie un ensemble de sous-ensembles compris dans toute solution réalisable et une instance de MinSC-Bpour laquelle tout

élément est contenu dans au moins deux ensembles

distincts (un élément par sous-ensembleSjde la couverture) qui vérifient :∀ci⁰ ∈C,˜

∃!j∈ {1, . . . , p}tel queci⁰ ∈Sj. Si l’instance initiale est telle que tout élémentci ∈ Capparaît dans au moins deux sous-ensemblesSj, alors c’est en particulier vrai des éléments c⁰₁, . . . , c⁰_p⁰; ceux-ci ne pouvant, par construction, appartenir à un second

Si un certain élément à couvrirci n’apparaît que dans un sous-ensembleSj, ce sous-ensemble sera contenu dans toute solution. Aussi, pour se ramener au cas précédent, suffit-il d’appliquer préalablement à l’instanceIun processus qui est illustré dans la figure 4.1 et qui permet d’isoler de tels sous-ensembles.

Le traitement de la figure 4.1 renvoie un ensembleS0de sous-ensembles compris dans toute solution réalisable et une instanceI⁰ de MinSC-Bpour laquelle tout élé-mentc⁰i est contenu dans au moins deux ensemblesS⁰j. Les instancesI etI⁰ sont

étroitement liées par les relations suivantes : so-lution optimale devra prendre, pour couvrir les m éléments deC, au moinsm/B sous-ensembles. Par ailleurs, si tout élément apparaît dans au plus∆sous-ensembles, la famille S ne peut disposer de plus de ∆×msous-ensembles. En conséquence, la valeur βSC(I)d’une solution optimale sera d’au moinsm/B > n/(B∆), ce qui conduit pour tout optimal 1-local au rapport :

δSC

Par ailleurs, d’après la proposition 3.7, puisqueωSC(I)6B∆βSC(I)pour toute instanceI, il existe uneG[ρ, δ]-réduction du problème à lui-même, garantissant pour tout optimum localS˜un rapport classique :

1

La discussion ci-dessus et les expressions [4.1] et [4.2] introduisent le corollaire suivant.

COROLLAIRE4.2.–

– Si le nombre de sous-ensembles contenant un élément donné est borné par une constante∆, alors toute solution minimale garantit un rapport différentiel d’approxi-mation minoré parB∆/((B+ 1)(B∆−1)).

– Si le nombre de sous-ensembles contenant un élément donné est borné par une constante∆, alors le sous-problème de MinSC correspondant, noté MinSC-B-∆, est élément deGLO, avec un rapport classique d’approximation de toute solution mini-male de(B+ 1)/(B²∆).

Considérons à présent les instances pondérées du problème, tout en se bornant à des poids d’ordre constant : on notera MinW[K]SC les instances de MinSC pour les-quelles les sous-ensemblessj de la familleSsont pondérés par des entierspj 6K, où K est une constante. Nous montrons que les preuves faites précédemment per-mettent en réalité d’établir la qualité des optima 1-locaux, même dans ce cas plus général : cela signifie qu’un optimum local du problème non pondéré est une bonne solution du problème pondéré, la minimalité des solutions qui désigne les optima 1-locaux étant indépendante d’une quelconque pondération.

THÉORÈME4.2.– MinW[K]SC-B ∈GLO[δ].

Preuve. Le résultat vient des deux observations suivantes : la différence en valeur, dans le cas pondéré, entre une pire solution et un optimum localS, est donnée par lae somme des poids des sous-ensembles deS\Seet les poids de ces sous-ensembles étant au moins de 1, on écrit naturellement :

ωWSC(I)−mWSC

De même, la différence en valeur, toujours dans le cas pondéré, entre une pire solution et un optimum globalS^?, est donnée par la somme des poids des sous-ensembles de S\S^?et les poids de ces sous-ensembles étant d’au plusK, on déduit simplement :

ωWSC(I)−βWSC(I)6K(ωSC(I)−βSC(I)) [4.4]

Les expressions [4.3] et [4.4] permettent d’obtenir :

δWSC

ce qui conclut la preuve.

REMARQUE1.– Ce dernier résultat, on peut trivialement le généraliser en différentiel comme en classique à tout problème ensemblisteΠdont la version non pondérée éva-lue ses solutions par leur cardinalité (par exemple : MaxIS, MinVC, MinDS, MinFES).

SoitΠun tel problème, on note WΠsa version pondérée ; si l’on introduit des poids compris dans un intervalle[k, K], on a toujours :

|ωWΠ(I)−mWΠ(I, s)|>k|ωΠ(I)−mΠ(I, s)|

pour toute solution réalisables, et :

|ωWΠ(I)−βWΠ(I)|6K|ωΠ(I)−βΠ(I)|

ce qui nous assure la préservation du rapport différentiel au facteurk/Kprès. Pour le rapport classique, il suffit de considérer :

mKΠ(I, s) 6 K×mΠ(I, s) βWΠ(I) > k×βΠ(I)

siΠest un problème de minimisation, et : mWΠ(I, s) > k×mΠ(I, s)

βWΠ(I) 6 K×βΠ(I)

siΠ est un problème de maximisation, pour s’assurer de préserver le rapport d’ap-proximation, au même facteurk/Kprès.

Soient maintenantC = {c1, c2, . . . , cm} un ensemble etS = {S1, S2, . . . , Sn} une famille de sous-ensembles deCtels que tout élémentciapparaît dans au plusB sous-ensembles Sj; un ensemble transversal (Hitting Set) est alors défini comme étant une sélectionC˜ d’éléments deCqui parcourt toutS dans le sens où tout sous-ensembleSj ∈Sdoit avoir au moins un élément dansC˜:∀j= 1, . . . , n,Sj∩C˜ 6=∅. La réduction qui consiste à intervertir les rôles des éléments et des sous-ensembles est uneG-réduction dont on déduit immédiatement le corollaire suivant.

COROLLAIRE4.3.– MinHS-B ∈GLO[δ].