Autour de MinEQ

Nous introduisons ici le problème MinEQ dont les instances sont la donnée d’un ensembleE d’équivalencesx≡y sur un ensembleX de variables binaires, et dont l’objectif, étant donné une instance (X, E), est de trouver une affectation des va-leurs de vérité surX qui minimise le nombre d’équivalences deEsatisfaites. Pour la version pondérée, les instances sont munies d’un système de poids p ∈ N^|E| et il s’agit alors de minimiser la somme des poids des équivalences satisfaites. Pour relier étroitement les structures de voisinage des deux problèmes, on se place dans

CGLO[R]et non plus dansGLO[R]. Notons que pour MinEQ, deux affectations com-plémentairesTetT sont toujours équivalentes, et de fait considérer l’appartenance à CGLO[R]ouGLO[R]est une seule et même chose. Conventionnellement, la version pondérée du problème d’équivalences par des poids bornés paro(n)oùndésigne le nombre de variables seront notés MinW(1)EQ, la restriction à des poids au plus 2 (resp.,∆) par MinW[2]EQ (resp., MinW[∆]EQ).

PROPOSITION6.4.– MinE2-SatCG[δ](1,h+1)

∝ MinW(1)EQ.

Preuve. Nous exploitons la réduction proposée dans [BAZ 99] entre MinE2-Sat et MinEQ pour montrer qu’elle est aussi une réduction affine et LOC⁰-réduction de MinE2-Sat à MinW(1)EQ. Nombre des notations utilisées ici ont été introduites au paragraphe 5.1.1 ; aussi invitons-nous le lecteur à s’y référer.

SoitI = (X, C)une instance de MinE2-Sat àmclauses surnvariables, on lui associe l’instanceI⁰= (X⁰, E, p)de MinW(1)EQ suivante :

–X⁰=X∪ {y};

–E=∪(`1,`2)∈C{`1≡ ¬`2, `1≡ ¬y, `2≡ ¬y}; – le système de poidspest défini comme suit :

-∀l∈X∪X,p(`≡ ¬y) =|{c∈C:l∈c}|; -∀`16=`2∈X∪X,

p(`1≡ ¬`2) =

( 1 (`1, `2)W `¯1,`¯2

∈c 2 (`1, `2)V `¯1,`¯2

∈c

où les équivalences`1≡ ¬`2et¬`1≡`2étant bien entendu considérées comme une seule surI⁰.

Il s’agit bien d’une instance de MinW(1)EQ, chaque littéral pouvant apparaître dans au plus 2(n−1) 6 2|X⁰| = o(n) clauses de l’instance initiale. Pour toute affectation S des valeurs de vérité sur X,(S|0) (resp., (S|1)) désigne l’extension deSà{y}qui affecteyà 0 (resp., 1).

Considérons deux affectationsT etT⁰ = (T|0)sur les ensembles de variablesX etX⁰; on montre que les valeurs de ces deux solutions sur IetI⁰ sont liées par la relation :mEQ(I⁰, T⁰) = 2mSat(I, T). Effectivement, soit(`1, `2)une clause deC: elle peut être vérifiée avec`1=`2= 1, alors`1≡ ¬`2sera fausse tandis que`1≡ ¬y et`2≡ ¬yseront vraies ; elle peut encore être vérifiée avec`1 = 1et`2 = 0(resp.,

`1 = 0 et`2 = 1), alors`1 ≡ ¬`2 et`2 ≡ ¬y (resp., `1 ≡ ¬y) seront vérifiées au contraire de `1 ≡ ¬y (resp., `2 ≡ ¬y) ; elle peut enfin ne pas être satisfaite si

`1 = `2 = 0: comme alors les valeurs des trois littéraux `1, `2 et y coïncident, aucune des équivalences`1 ≡ ¬`2,`1 ≡ ¬y et`2 ≡ ¬y ne saurait être vérifiée.

Ainsi, à toute affectationT surXon peut associer une affectationT⁰surX⁰de valeur

2mSat(I, T), en posant simplementy = 0; réciproquement, à toute affectationT⁰ surX⁰ on peut associer une affectationg(T⁰)surX de valeurmEQ(I⁰, T⁰)/2surI en posantg(T⁰) =T_|X⁰ siT⁰ affecteyà 0,g(T⁰) =T⁰_|X sinon : comme nous l’avons déjà remarqué, deux affectations complémentaires valident les mêmes équivalences.

Toute solutionT pouvant être obtenue parg à partir, par exemple, de la solution (T|0),gest surjective ; le fait que de surcroît les valeurs de deux solutionsT⁰etg(T⁰) soient toujours liées par la relation mSat(I, g(T⁰)) = mEQ(I⁰, T⁰)/2 nous assure l’affinité de la réduction, dont on déduit la propriété de stricte monotonie. Il nous reste une fois de plus, pour établir laLOC⁰-réduction, à vérifier la propriété de surjectivité de voisinage pour les voisinages miroirsh-bornés, qui consistent, surIcomme surI⁰, à considérer comme voisines deux affectations qui diffèrent sur au plush, ou au moins n−h, variables. Pour ce faire, considérons une constantehet une solutionT⁰deI⁰: il s’agit alors de vérifier que pour tout couple de solutionsS⁰etT⁰deI⁰voisines au sens du voisinage miroirh-borné, les solutions deI g(S⁰)etg(T⁰)sont également voisines, au sens du même voisinage miroir(h+1)-borné. SiS⁰etT⁰affectent identiquementy, alorsg(S⁰) =S_|X⁰ etg(T⁰) =T_|X⁰ oug(S⁰) =S⁰_|X etg(T⁰) =T⁰_|X; dans les deux cas les distances vérifient :d(S⁰, T⁰) =d(S_|X⁰ , T_|X⁰ ) =d(S⁰_|X, T⁰_|X). De cette égalité nous déduisons :

( d(S⁰, T⁰)6h ⇔ d(g(S⁰), g(T⁰))6h d(S⁰, T⁰)>n−h ⇔ d(g(S⁰), g(T⁰))>n−h.

Sinon, supposons par exemple g(S⁰) = S_|X⁰ etg(T⁰) = T⁰_|X, alors :d(S⁰, T⁰) = (n+ 1)−d(S⁰, T⁰) =n−d(S_|X⁰ , T_|X⁰ ) =d(S_|X⁰ , T⁰_|X); il vient dans ce cas

( d(S⁰, T⁰)6h ⇔ d(g(S⁰), g(T⁰))>n−h+ 1 d(S⁰, T⁰)>n−h ⇔ d(g(S⁰), g(T⁰))6h+ 1.

La réduction proposée de MinE2-Sat à MinW(1)EQ, à la fois affine etLOC⁰ -réduction pour les voisinagesh-bornés complémentaires, préserve donc bien la garan-tie de qualité des optima locaux pour ces voisinages.

Notons que si le nombre d’occurrences d’une variable est borné par une quantité∆ (∆éventuellement dépendante de la taille de l’instance), les poids associés aux équi-valences seront également bornés par∆; c’est ce qu’exprime le corollaire suivant.

COROLLAIRE6.2.– MinE2-Sat-∆CG[δ](1,h+1)

∝ MinW[∆]EQ.

Nous envisageons à présent le problème MinPairedBisection (noté MinPB) de coupe défini comme suit : une instance I est la donnée d’un graphe G(U ∪V, E)

composé de deux ensembles de sommetsU ={u1, . . . , un}etV ={v1, . . . , vn}de même cardinalité ; une bisection est un partage deU ∪V en deux sous-ensemblesW et W de même taille ; une bisection W sera réalisable si elle sépare les couples {uj, vj}, c’est-à-dire si elle vérifie :∀j = 1, . . . , n,uj ∈ W ⇔ vj ∈ W. On rap-pelle qu’étant donnés deux ensemblesV1etV2de sommets sur un grapheG(V, E),

< V1, V2>désigne l’ensemble des arêtes deEayant une extrémité dansV1et l’autre dansV2. Le but est de trouver une bisectionW réalisable qui minimise la cardinalité de la coupe< W, W >.

PROPOSITION6.5.– MinEQ^G[δ](1,h)∝ MinPB.

Preuve. Nous montrons que la L-réduction proposée dans [BAZ 99] entre les deux problèmes possède également les qualités d’une réduction fortement affine et d’une LOC⁰-réduction.

SoitI= (X, E)une instance de MinEQ ànvariables, nous associons à chacune de ses variablesxj les sommets uj (représentantxj dansI) etvj (représentant x¯j

dansI) ; l’instanceI⁰ =G(U∪V, F)que l’on construit pour le problème MinPB est ainsi munie des ensembles de sommetsU ={u1, . . . , un}etV ={v1, . . . , vn}et de l’ensemble d’arêtesFdéfini comme suit :

(xi≡x¯j)∈E ⇒ {uiuj, vivj} ⊆F (xi≡xj)∈E ⇒ {uivj, viuj} ⊆F.

SoitW une bisection réalisable surI⁰, on lui fait correspondre l’affectationg(W) des variables deX qui place à 1 les variablesxj dont le représentantujest élément deW, à 0 les autres (variablesxjdont le représentantujest élément deW) ; la réali-sabilité deW assure la cohérence de l’affectationg(W). Cette affectation valide une équivalence «xi≡xj» (xietxjont même valeur) si et seulement si les sommetsui

etujsont tous deux dansW ou tous deux dansW, soit quand les arêtesuivj etviuj

sont dans la coupe ; elle valide une équivalence «xi ≡ x¯j » (xi etxj ont valeurs opposées) si et seulement si les sommets ui et uj se situent, l’un dans W, l’autre dans W, soit quand les arêtes uiuj etvivj sont dans la coupe. Ainsi,g(W)vérifie mEQ(I, g(W)) = mPB(I⁰, W)/2équivalences. Inversement, soitT une affectation des valeurs de vérité surI, la bisectiong⁻¹(T)constituée des variables mises à 1 parT est non seulement réalisable, mais aussi de valeurmPB(I⁰, g⁻¹(T)) = 2mEQ(I, T).

Ainsi, il s’agit bien là d’une réduction fortement affine (donc surjective et strictement monotone) de paramètreskI = 1/2etKI = 0. Cette réduction préserve clairement les optimah-locaux parLOC⁰-réduction, les distances étant les mêmes sur les deux instances : deux solutionsW etW⁰sont au plush-distantes surI⁰(différant d’au plus

hsommets) si et seulement si les affectationsg(W)etg(W⁰)le sont également surI (différant d’au plushcomposantes). L’affinité et la localité maintenant établies nous assurent qu’elle est uneG-réduction.

PROPOSITION6.6.– MinPB∝^G[δ](1,h)MinW[2]EQ.

Preuve. Une fois de plus, en étudiant sous l’angle qui nous intéresse laL-réduction proposée dans [BAZ 99] de MinPB à MinEQ, nous montrons qu’elle est une réduction simultanément fortement affine etLOC⁰-réduction de MinPB à MinW[2]EQ.

SoitI=G(V, E)une instance de MinPB sur un graphe à2nsommets et considé-rons l’instanceI⁰ de MinW[2]EQ constituée d’un ensembleX ={x1, . . . , xn}den variables, d’un ensembleFd’équivalences «xi≡xj» (resp., «xi≡x¯j») pour toute arêteuivjouujvi(resp.,uiujouvivj) deE, et d’une pondérationpde ces équiva-lences qui place un poids 2 sur une équivalence «xi≡xj» (resp., «xi ≡x¯j») quand les arêtesuivjetujvi(resp.,uiujetvivj) sont toutes deux élément deE, un poids 1 sur toute autre équivalence. Les mêmes transformations que celles proposées lors de la précédente preuve, par les mêmes arguments, assurent la forte affinité et la localité de la réduction.