Autour de MaxNAESat

Nous avons déjà considéré au paragraphe 5.1.1 les liens qui pouvaient unir, du point de vue de l’approximation différentielle d’une part et de la conservation des op-tima locaux d’autre part, différentes versions du problème de satisfaisabilité de clauses conjonctives et disjonctives ; nous en faisons de même ici avec le problème MaxNAE-Sat, tentant par la même occasion de situer le degré d’approximabilité de ses variantes par rapport à ces derniers.

PROPOSITION6.7.–∀k>2, MaxNAEk-Sat↔^G[δ](1,h)MaxNAEEk-Sat.

Preuve. Nous construisons une réduction de MaxNAEk-Sat à MaxNAEEk-Sat qui possède les propriétés d’une réduction affine et d’uneLOC⁰-réduction.

La construction est la même que celle proposée à l’occasion du lemme 5.2 pour les versions de CCSP : si les clauses d’une instanceIne sont pas toutes de taillek, on introduit une nouvelle variabley et l’on remplace chaque clausec = (`1, . . . , `p)de taillepstrictement inférieure àkpar les deux clauses(`1, . . . , `p, y)et(`1, . . . , `p,y)¯ (transformationt) ; s’il reste encore des clauses de moins deklittéraux, on recom-mence et ainsi de suite (au plusk−1fois), jusqu’à ce que l’instance obtenueI⁰ = t^κ(I)(κ6k−1) soit une instance de MaxNAEEk-Sat. Nous avons déjà argumenté quant à la complexité d’une telle transformation, il nous reste ici à comparer les va-leurs des solutions de l’instance initialeIet de l’instance imageI⁰. Pour ce faire, on

montre que deux instancesIett(I)sont toujours intimement liées en observant sim-plement qu’une clausec = (`1, . . . , `p)est validée (resp., rejetée) pour NAESat par une affectation des valeurs de vérité si et seulement si les deux clauses (resp., exac-tement l’une des deux clauses)(`1, . . . , `p, y)et(`1, . . . , `p,y)¯ le sont (resp., l’est) également, et cela quelle que soit l’extension faite àyde l’affectation des valeurs de vérité. On voit aisément que la relation entre deux instancesIett(I)de NAESat est si étroite qu’elle permet de préserver les optima locaux :T optimumh-local surIsi et seulement si(T|0)et(T|1)¹optimah-locaux surt(I). La relation des instancesI ett(I)se transporte alors aisément par récurrence aux instancesIett^κ(I).

PROPOSITION6.8.– ∀k∈N, MaxNAEk-Sat∝^G[δ](1,h)Maxk-Sat.

Preuve. Nous exhibons une réduction de MaxNAEk-Sat à Maxk-Sat dont les qualités sont conjointement celles d’une réduction fortement affine et d’uneLOC⁰-réduction.

Une clause est validée (resp., rejetée) pour NAESat si tous ses littéraux ne sont pas identiquement affectés ; ainsi, une affectationT des valeurs vérité valide une clause c si et seulement si les deux clauses (resp., exactement l’une des deux clauses)cet

¯

cle sont pour Sat. Associons donc à une instanceI = (X, C)de NAESat l’instance I⁰ = (X, C∪C)de Maxk-Sat ; toute affectationT ∈ {0,1}ⁿ des valeurs de vérité vérifie :mSat(I⁰, T) =m+mNAE(I, T).

REMARQUE 1.– Pour NAESat, les clauses c et¯c ont la même signification, aussi supposons-nous ne jamais disposer dans une instance, et ce quel que soit l’ensemble c = (`1, `2. . . , `p)de littéraux considéré, conjointement des ensemblescet¯c(sinon on aurait seulementmSat(I⁰, T) 6 m+mNAE(I, T), il faudrait pondérerI⁰ pour retrouver une équivalence entre les mesures surIetI⁰).

Sous l’hypothèse de la remarque 1, la transformation proposée est une réduction fortement affine de coefficientsKI =|m|etkI = 1. Cette réduction fortement affine vérifie allègrement les exigences d’uneLOC⁰-réduction : les ensembles de solutions deIetI’ étant les mêmes, les voisins au plush-distants coïncident également.

PROPOSITION6.9.–∀k∈N, Maxk-Sat∝CG[δ](1,h+1)MaxNAE(k+ 1)-Sat.

Preuve. De Maxk-Sat à MaxNAE(k+ 1)-Sat, il existe une réduction bien connue que nous présentons ici comme réduction à la fois affine etLOC⁰-réduction.

SoitI = (X, C)une instance dek-Sat àmclauses surnvariables, on construit l’instanceI⁰ = (X ∪ {y}, C × {y})de NAE(k+ 1)-Sat. Pour toute affectationT des variables deX, la solution(T|0)deI⁰satisfait au sens de NAESat exactement les

1. On rappelle que siTdésigne une affectation des valeurs de vérité surX,(T|0)(resp.,(T|1)) désigne l’extension deTàX∪ {y}qui affecteyà 0 (resp., 1).

mêmes clauses queT²: seules ne seront pas vérifiées dansI⁰ les clauses contenant des littéraux (dont y) tous nuls. SoitT⁰ une affectation des variablesX ∩ {y}, on peut lui associer une solutiong(T⁰)deI de valeurmSat(I, g(T⁰)) = mNAE(I⁰, T⁰) en posantg(T⁰) = T_|X⁰ siT⁰ affectey à 0,g(T⁰) = T⁰_|X sinon.g est évidemment surjective, toute affectationT surX pouvant être déduite, notamment, de l’affecta-tion(T|0)sur X∪ {y}; de plus, les couples de solutions(T⁰, g(T⁰))sont toujours liés en valeur par une relation affine de paramètreskI = 1etKI = 0: la réduction proposée est bien une réduction affine de Maxk-Sat à MaxNAE(k+ 1)-Sat. Possède-t-elle également les propriétés d’uneLOC⁰-réduction pour la structure de voisinage miroirh-borné ? SoientS⁰etT⁰deux affectations au plush-, au moinsn−h-distantes sur X∪ {y}, nous voulons vérifier pour assurer la surjectivité de voisinage que les solutions g(S⁰) et g(T⁰) sont au plus (h+ 1)-, au moins [n−(h+ 1)]-distantes sur I. Si S⁰ et T⁰ coïncident sury, alors les distances d(g(S⁰), g(T⁰))etd(S⁰, T⁰) sont identiques ; sinon, supposons queT⁰ affectey à 1, alors les distances vérifient d(g(S⁰), g(T⁰)) =|X| −d(g(S⁰), g(T⁰))etd(S⁰, T⁰) =d(g(S⁰), g(T⁰)) + 1, ce dont on déduit : sid(S⁰, T⁰)6halorsd(g(S⁰), g(T⁰))>n−h+ 1et sid(S⁰, T⁰)>n−h alorsd(g(S⁰), g(T⁰))6h+ 1.

Une fois de plus, la combinaison des avantages d’une réduction affine et d’une LOC⁰-réductions mènent à laG-réduction.

PROPOSITION6.10.– MaxCut∝^G[δ](1,h)MaxNAEE2-Sat.

Preuve. On montre que la relation qui lie ces deux problèmes est simultanément for-tement affine etLOC⁰-réduction, entre les deux problèmes.

SoitG(V, E)une instance de MaxCut, on peut très bien l’interpréter comme une instance de MaxNAEE2-Sat en considérant les sommets comme des variables et les arêtes comme des clauses : une arête (resp., une clause) est dans la coupe (resp., valide au sens de NAESat) si l’une de ses extrémités (resp., l’un de ses littéraux) est dans la coupe (resp., vrai) et l’autre dans le complémentaire (resp., faux). Il ne s’agit ici que de la façon de le regarder, la réalité que l’on préfère prêter au modèle mathématique formulé. On notera que les instances de MaxNAEE2-Sat que l’on obtient sont remar-quables, puisqu’elles sont un cas particulier de pire solution nulle. La restriction de NAESat à des clauses composées exclusivement de littéraux positifs est notée Pos-NAESat ; si l’on considère cette restriction, les problèmes MaxCut et MaxPosNAE2-Sat sont affinement identiques. Cette forme particulière des instances images ne per-met pas, a priori, de revenir en arrière et d’interpréter une instance quelconque du problème MaxNAEE2-Sat comme une instance de MaxCut ; cependant, il est possible de l’exprimer comme une instance d’un problème de coupe plus sophistiqué, MaxPB.

2.(T|0),(T|1) ∈ {0,1}ⁿ⁺¹ sont définis par(T|0)|X = (T|1)|X = T et(T|0)|{y} = 0, (T|1)_|{y}= 1

Effectivement, la transformation proposée il y a de cela quelques propositions de Mi-nEQ à MinPB permet tout aussi bien de transformer des instances de MaxNAEE2-Sat en des instances affinement liées de MaxPB : il suffit d’associer à chaque variablexi

un couple de sommets (ui, vj)qui devront être séparés par une bisection valide, et à chaque clause ci = (xj, xk)(resp., (xj,x¯k),(¯xj,x¯k)) l’arête ei = ujuk (resp., ujvk,vjvk) ; une affectationT des valeurs de vérité surIest une bisection surI⁰, et chaque clause validée parTau sens de NAESat est une arête de la coupe. Dans l’autre sens, pour se ramener facilement d’une instance de MaxPB à MaxNAEE2-Sat de fa-çon similaire à ce qui a été fait pour les versions minimisation de 2-EQ et PB, il faut pondérer les clauses associées aux arêtes du graphe initial, NAESat ne différenciant pas deux clauses(`1, `2)et(¯`1,`¯2).

PROPOSITION6.11.–

MaxCut ^G[δ](1,h)↔ MaxPosNAEE2-Sat

MaxCut ^G[δ](1,h)∝ MaxNAEE2-Sat ^G[δ](1,h)∝ MaxPB

G[δ](1,h)

∝ MaxW[2]NAE2-Sat.