Vers le 1/4 différentiel

Malheureusement, nous n’avons pas encore de résultat établi pour le problème gé-néral en différentiel ; aussi le rapport d’approximation que nous proposons ici n’est valable que si l’on s’intéresse uniquement à des instances « faciles » dans le sens où elles admettent une mauvaise pire solution, dont il peut, en conséquence, être plus aisé de s’éloigner. Effectivement, nous nous limitons à la famille des problèmes Max2-CCSP-`qui désignent, pour une constante universelle`donnée, la restriction de Max2-CCSP aux familles de 2-clauses pour lesquelles une pire affectation des valeurs de vérité réalise au plus`clauses :

I2-CCSP-`={I∈I2-CCSP:ωCCSP(I)6`}

Avant toute chose, assurons-nous que ce nouveau problème est bien dans NPO : il faut pour cela pouvoir déterminer en temps polynomial s’il existe une affectation des valeurs de vérité qui valide au plus`clauses pour CCSP, ce qui est équivalent à décider l’existence d’une affectation qui place un littéral faux dans au moinsm−`clauses.

TransformantI en I, puisque par l’expression [5.1],¯ ωCCSP(I) = m−βSat( ¯I), il s’agit donc de savoir décider en temps polynomial siβSat( ¯I)>m−`. Pour cela, il suffit de générer toutes les sous-familles deI¯de taillem−`et de décider pour chacune d’entre elles, puisque2−Satest polynomial, si la sous-famille est satisfaisable. Une pire solution valide au plus` clauses du problème initial si et seulement s’il existe, parmi ces C<sub>`</sub>^m−` instances de2−Sat, au moins une formule satisfaisable et nous savons décider cela en temps polynomial !

THÉORÈME5.10.–∀`constante, Max2-CCSP-`∈CGLO[δ]et le rapport différentiel déduit est minoré par 1/4.

Preuve. Soit ` une constante etI une instance de Max2-CCSP-`; par définition, la valeur d’une pire solution satisfait la conditionωCCSP−`(I)6`. Nous étudions alors deux cas selon la valeurβCCSP-`(I)d’une solution optimale.

CasβCCSP-`(I)6m−3`

On déduit alors la relation :

βCCSP-`(I) + 3ωCCSP-`(I)6m [5.10]

Exploitons la solutionT; si pour toutide 1 àn,Tⁱdésigne la solution qui ne diffère deT que sur lai^e variable et∆ⁱ =mCCSP(I, Tⁱ)−mCCSP(I, T)la différence des performances réalisées par ces deux affectations, l’optimalité 1-locale deT se traduit alors,∀i, de la sorte :

De plus, la considération de la solution complémentaire nous amène à : m2=mCCSP(I, T)>mCCSP I, T

=m0⇔m06m2 [5.12]

Il reste à composer les expressions [5.10], [5.11] et [5.12] pour conclure : m=m0+m1+m26(1 + 2 + 1)m2⇔

m2>m/4>1

4βCCSP(I) +3

4ωCCSP(I) [5.13]

CasβCCSP-`(I)>m−3`

Si la valeur optimale vérifie cette relation, alors on sait résoudre le problème à l’opti-mum ! Effectivement, soitI¯^C = f^C◦f¯(I) l’équivalence affine unissant les deux instances :

βCCSP(I) =m−K+βSat I¯^C

⇒ βCCSP(I)>m−3`⇔βSat I¯^C

>K−3`

Ceci nous apprend qu’il est équivalent de savoir résoudre à l’optimum les ins-tances I¯^C et I des problèmes MaxSat et MaxCCSP. Or, nous savons trouver une solution optimale de I¯^C, parce que Max2-Sat est décidable en temps polynomial et qu’une solution optimale deI¯^Csatisfait au moinsK−3`clauses. Effectivement, on teste d’abord si I¯<sup>C</sup> est satisfaisable ; si oui, on a l’optimum, et sinon, on teste toute sous-famille deK−1clauses et ainsi de suite, jusqu’à trouver une sous-famille satis-faisable. Il aura fallu au pire tester toutes les sous-familles deK−hclauses pourh de 0 à3`, soit un nombreµd’instances à considérer d’au plus :

µ=

j=3`X

j=0

K K−j

6K^3`+1

Ainsi, le casβCCSP-`(I)>m−3`est bien résolu à l’optimum en temps polynomial.

Par conséquent, c’est l’expression [5.13] qui permet d’évaluer le rapport d’ap-proximation au pire des cas pour Max2-CCSP-`, ce qui conclut la preuve du théo-rème.

Remarquons que, d’après la preuve précédente, tout optimum local du cas géné-ral Max2-CCSP vérifie m2 > m/4; cela nous conduit à la proposition suivante de [ALI 97].

PROPOSITION5.4.– Max2-CCSP∈CGLOet le rapport d’approximation déduit est minoré par 1/4.

En toute rigueur, nous aurions dû parler du problème MaxE2-CCSP puisque les instances considérées étaient composées exclusivement de 2-clauses, et non de clauses de taille au plus 2 ; cependant, on voit facilement que les arguments utilisés à l’établis-sement du précédent résultat sont valides pour le cas plus général Max2-CCSP. Si l’on notem−1(resp.,m−1(¯i)) le nombre des clauses qui, pour l’affectationT, comportent exactement 1 littéral faux (resp., l’unique littéral fauxx¯i) etm2⁻ (resp.,m2⁻(i)) le nombre des clauses dont tous les littéraux sont vrais pourT (resp., dont tous les litté-raux sont vrais pourT et qui comportent le littéralxi), l’optimalité locale deT induit alors pour toutila relationm2⁻(i) >m−1(¯i), et en sommant ces inégalités suri: 2m2⁻ >Pn

i=1m2⁻(i)>Pn

i=1m−1(¯i) =m−1. Ainsi, avecmCCSP(I, T) =m2⁻, mCCSP(I, T) =m0etmCCSP(I, T)>mCCSP(I, T)on obtient bien :

4mCCSP(I, T) > mCCSP(I, T) + 2mCCSP(I, T) +mCCSP I, T

> m2⁻+m−1+m0 = m

Les résultats obtenus par réductions, tant pour l’appartenance de Max2-CCSP-`à NPOque pour la résolution polynomiale à l’optimum du casβCCSP−`(I)>m−3`,

restent tout aussi valables : la première ne fait aucunement mention de l’exactitude de la taille des clauses ; pour la seconde, siI est constituée deM11-clauses etM2

2-clauses, l’instance de Max2-Sat construite fera apparaître un ensemble complémen-taire de (2n−M1) + (2n(n−1)−M2) = 2n² −m clauses, quantité toujours polynomiale de même ordreO(n²), et la constanteKqui relie les valeurs optimales des deux instances ne sera plus2^k×Cn²−Cn²mais2n²−(n+Cn²)(la différence entre le nombre de2-clauses et de 1-clauses, hors tautologies, que l’on peut construire surn variables, et le nombre de ces clauses qui sont fausses pour une affectation donnée des valeurs de vérité).

Nous avons déjà mentionné dans l’énoncé de la proposition 5.4 que cette qualité, à moins d’un quart de l’optimum, des optima locaux de Max2-CCSP a déjà été montrée (pour le rapport classique) dans [ALI 97] ; cependant, nous allons voir que les optima 1-locaux sont encore meilleurs que cela, puisqu’ils garantissent, toujours en classique, un rapport de 1/3.