Chapitre 6. Réductions
6.1. Dans les graphes et les hypergraphes (systèmes d’ensembles)
6.1.2. Dépondération pour la couverture d’ensembles
Derrière MinWSC (pour Weighted Set Cover) se cachent les instances(C, S, p)du problème de couverture d’ensembles dont les sous-ensemblessjde la familleSsont pondérés parp:S →N?; il ne s’agit plus alors de recouvrirCpar un nombre mini-mum de sous-ensembles (équipondération), mais par une famille de sous-ensembles dont la somme des poids est minimum. On note MinWSC(k)la restriction à des poids au plusnk et MinWSC-∆la restriction à des instances telles que chaque élémentci
apparaît dans au plus∆sous-ensembles ; enfin, pour une instance donnée contenantn sous-ensemblessj,pmindésigne le plus petit des poidsp1, . . . , pn.
THÉORÈME6.1.– MinWSC(k)-∆G[δ](1,bh/pminc)
∝ MinSC-∆.
Preuve. SoitI = (C, S, p)(|C| =met|S|= n), une instance de MinWSC(k)-∆; pour tout élément à couvrirci(i= 1, . . . , m), on notedi =|{j= 1, . . . , n:ci ∈sj}|
le nombre des sous-ensembles le contenant et Γ(ci) = {sj1, . . . , sj`, . . . , sjdi} la liste de ces sous-ensembles. On associe à chaque sous-ensemble sj (pour j de 1 àn)pj sous-ensembless1j, . . . , skj, . . . , spjj et à chaque élémentci un ensembleCei
de Qdi
l=1pj` éléments ci(x1, . . . , x`, . . . , xdi) indexés par di indices x1,. . . ,xl,. . . ,xdi; l’indicex`, qui représente le`-ième sous-ensemblesj` contenantci, est à va-leur dans[1, pj`]. On noteCeil’ensemble des copies de l’élémentci.
Les caractéristiques de l’instanceIe= (C,e S)e ainsi construite sont donc les sui-vantes :Ce=∪mi=1Ceiavec :
Pour achever la construction, il reste à déterminer, étant donné un couple(ci, sj`), comment sont répartis les éléments deCei parmi lespj` copiess1j`, . . . , skj`, . . . , spj`j`
de l’ensemblesj`; cela est fait de sorte que les sous-ensembless1j`, . . . , skj`, . . . , spj`j`
induisent une partition deeci(de sorte que chaque copieci(x1, . . . , x`, . . . , xdi)deci
soit contenue dans une unique copieskj`desj`) :∀i= 1, . . . , m,∀l= 1, . . . , di,∀k= 1, . . . , pj`,Cei∩skj` =∪h6=`∪pxihh=1{ci(x1, . . . , xl−1, k, xl+1, . . . , xdi)}. Considérons par exemple une instanceI = (S, C)de MinWSC et supposons qu’il existecj ∈ C etsi, sk, sl ∈S tels quecj ∈si∩sk∩sl; notons enfin parwi,wk etwlles poids respectifs des ensemblessi,sketsl, on fixewi=wk = 2etwl = 3. Nous donnons une façon très simple de construire la partie de l’instanceI0de MinSC correspondant àcj,si,sketsl.
Imposons arbitrairement un ordre sur les éléments deSqui contiennentcj : met-tons que si est le premier ensemble de S qui contient cj, sk le deuxième etsl le troisième. Alors :
– remplaçonscjpar2×3 = 12éléments deCe(c’est le groupeCei) et exprimons chaque élément deCeipar le triplet(p, q, r),p= 1,2,q= 1,2etr= 1,2,3; ainsi :
Cei={(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1), . . . ,(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3)} ; – remplaçonssi,sk etsl par trois groupes d’ensemblesG1,G2 etG3(la numé-rotation des groupes étant faite selon l’ordre arbitraire que nous avons considéré sur les ensemblessi,sketsl) ; le groupeG1contient deux ensembles deS, le groupee G2
deux ensembles aussi et le groupeG3trois ensembles deSe(chaque groupe est ainsi constitué d’autant d’ensembles deSeque le poids de l’ensemble deS correspondant au groupe en question) :
G1 = {g11, g12} G2 = {g21, g22} G3 = {g31, g32, g33} ;
– alors, l’ensemblegab ∈ Secontient les triplets dont laae coordonnée vautb; pour notre exemple :
g11 = {(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3)}
g12 = {(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3)}
g21 = {(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3)}
g22 = {(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3)}
g31 = {(1,1,1),(1,2,1),(2,1,1),(2,2,1)}
g32 = {(1,1,2),(1,2,2),(2,1,2),(2,2,2)}
g33 = {(1,1,3),(1,2,3),(2,1,3),(2,2,3)}. Chaque copiesjk
` desj` contient donc autant de copies deci que le produit des poids dans l’instance initiale des autres sous-ensembles contenantci; autrement dit,
chaque élément ci de sj` induit pj1 ×. . .×pjl−1 ×pjl+1 ×. . . ×pjdi éléments est le même que le nombre di de sous-ensembles contenant l’élément originel ci
puisque chaque famille s1j, . . . , spjj induit une partition desci(x1, . . . , xl, . . . , xdi):
∀i= 1, . . . , n,∀l = 1, . . . , di,∀xl ∈[1, pjl],d(ci(x1, . . . , xl, . . . , xdi)) = di 6∆.
Ainsi, pour des poids bornés parnket des degrés (nombre de sous-ensembles conte-nant un même sommet) bornés par une constante∆, la construction proposée se fait bien en temps polynomial en la taillemax{m, n}de l’instance initiale. D’une solution S0 ={sj1, . . . , sjp}de valeurPp
de même valeur surI. Réciproquement, nous allons montrer que toute solution mi-e nimale surIecontient, pour toute famille {s1j, . . . , spjj}, soit tout soit aucun élément de la famille : alors de toute solution Se0 surIede valeur mSC(I,eSe0)on saurait dé-duire une solutiong(Se0)de valeur inférieure ou égale surI, en plaçant simplement dansg(Se0)tous les sous-ensemblessj dont la famille associée{s1j, . . . , spjj} est to-talement incorporée à la solutionSe0. En effet, la répartition desci(x1, . . . , xdi)entre les sous-ensemblesskj` d’une famille nous assure que toute solution réalisable surIe doit prendre au moins une famille complète par élément. Supposons, par exemple, quec1ne soit couvert que par des familles incomplètes ; supposons, par exemple, qu’il manque le premier élément de chaque famille, soit que la solutionSene contient au-cun des sous-ensembless1j1, . . . , s1j`, . . . , s1jd
1 pour couvrir les éléments deIeassociés àc1; mais alors, nul de ces ensembles ne couvrirait l’élémentc1(1, . . . ,1, . . . ,1)! Toute solution réalisable devant associer à chaque élément une famille complète, et cela suffisant à l’obtention d’une solution réalisable, toute famille incomplète serait superflue. On vérifie aisément les relations :∀Se0∈SolSC(I),e ∀S0∈SolSC(I),
Le rapport d’approximation est préservé par réduction continue, qu’en est-il des optima locaux ? Nous montrons qu’il s’agit bien là d’uneLOC-réduction, en posant SSC(I) =e g0(SolWSC(I))(pour se limiter sur Ieaux solutions constituées de fa-milles complètes), avec une expansion de voisinage de l’ordre depmin= minnj=1{pj}, puisque changer l’appartenance d’un seul sous-ensemblesjà la solution surIrevient à considérer l’appartenance despjsous-ensembless1j, . . . , spjj à la solution surI0. La fonctiong◦g0 étant l’identité surSolWS(I), la condition de surjectivité (voir défi-nition 3.9) est vérifiée ; encore sur SSC(I), toute solutione Se0est liée à sa projection par g sur SolW S(I)par la relation affine « mSC(eI,Se0) = mWSC(I, g(eS0))», qui mène directement à la vérification de la condition de monotonie partielle de la défini-tion 3.9. Soithune constante, on considère respectivement surIeetI les voisinages h- etbh/pminc-bornés ; si deux solutionsSe0etTe0deSSC(I)e sont au plush-distantes (moins de (h+ 1)sous-ensembles les séparent), alors les solutions g(Se0)etg(Te0) sont au plush/pmin-distantes surI, le retrait ou l’ajout d’un sous-ensemble surI cor-respondant au retrait ou à l’ajout d’au moinspminsous-ensembles constitutifs d’une famille surIe: c’est la condition de localité (définition 3.9) ; reste à vérifier la condi-tion de dominance, mais nous l’avons déjà dit, les solucondi-tions minimales ne comportent pas de famille partielle et ainsi, un optimumh-local surSSC(I)e est a fortiori optimum h-local surSolSC(eI). Nous avons prouvé que la réduction continue proposée ci-dessus préservait simultanément le rapport d’approximation différentiel et l’optimalité locale, elle est donc uneG[δ]-réduction.
La réduction du théorème 6.1 permet de déduire du rapport garanti par les optima 1-locaux de MinSC surI0un rapport constant des optima 1-locaux de MinWSC surI, pour autant que la taille des sous-ensemblessj de l’instance initiale et leur poidspi
soient bornés par deux constantesB etK; toutefois, ce rapport obtenu par réduc-tion est dominé par celui donné par le théorème 4.2 : les soluréduc-tions minimales deI0 garantissent alors d’après le même théorème un rapport différentiel de :
δMinSC(I0)> BK∆−1
(BK∆−1+ 1) (BK∆−1∆−1) quand ceux deInous assurent déjà un rapport de :
δMinWSC(I)> B∆ K(B+ 1)(B∆−1)