La notion de copules - Outils mathématiques

3.2 Outils mathématiques

3.2.2 La notion de copules

L'utilisation de copules pour les distributions multidimensionnelles est un outil puissant dans l'analyse de la structure de dépendance entre variables. Le terme co-pula a été introduit par [90] bien que certaines idées remontent à [50]. L'utilisation de copules est répandue car elles permettent de mettre en évidence la dépendance entre variables indépendamment de leurs lois marginales. On peut citer [70, 55]

comme ouvrages de référence et [84] pour une application dans les extrêmes. Ici on s'intéressera plus particulièrement à la famille des copules archimédiennes.

Généralités

Pour simplier la compréhension, on parlera seulement du cas bi-dimensionnel (n = 2). Mais les notations peuvent être généralisées au cas multidimensionnel

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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.20.40.60.81.0

Chi−Plot

W(i:n)

H(i)

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w−w.log(w) y=x H(i) triés

(a)X etY indépendants

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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.20.40.60.81.0

Chi−Plot

W(i:n)

H(i)

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w−w.log(w) y=x H(i) triés

(b) X etY dépendantsτ= 0.45

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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.20.40.60.81.0

Chi−Plot

W(i:n)

H(i)

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w−w.log(w) y=x H(i) triés

Fig. 3.5 Exemple de K-Plots.

(n >2).

Dénition 3.2.1 (Copules) Une copule bidimensionnelle, appelée couramment 2-copules, est une fonction bivariée de [0,1]×[0,1] → [0,1] telle que :

1. ∀u, v ∈[0,1],

C(u,0) = 0, C(u,1) =u, C(0, v) = 0, C(1, v) =v;

2. ∀u1, u2, v1, v2 ∈[0,1]tels que u1 ≤u2 et v1 ≤v2,

C(u₂, v₂)−C(u₂, v₁)−C(u₁, v₂) +C(u₁, v₁)≥0 De plus, d'après le théorème de Sklar [90], nous avons :

Théorème 3.2.2 (Théorème de Sklar) Soient F_XY une fonction de distribution jointe avec les marginales F_X et F_Y. Alors il existe une 2-copule C telle que :

F_XY(x, y) = C F_X(x), F_Y(y)

, ∀x, y ∈R

Si FX et FY sont continues alors C est unique, sinon C est dénie uniquement sur ImF_X ×ImF_Y.

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L'avantage de l'approche copule est que la sélection du modèle de dépendance entre X et Y ne dépend pas des lois marginales de X etY.

Par exemple siF_XY est la loi normale de dimension 2, d'espérancem= (m₁, m₂)et de matrice de variance-covariance

σ²₁ 0 0 σ₂²

, alors F_X et F_Y sont des lois normales de paramètres (m₁, σ²₁) et (m₂, σ₂²); et C est la copule d'indépendance de la forme C(u, v) = u.v.

Dénition 3.2.3 (Copule empirique) La copule empirique C_n, pour un échan-tillon (X_i, Y_i)_i=1..n du couple (X,Y), est dénie par :

C_n(u, v) = ]{(X_i, Y_i) :F_X(X_i)≤u et F_Y(Y_i)≤v}

n . (3.5)

Copules archimédiennes

Parmi les copules paramétriques, les copules archimédiennes sont les plus utilisées du fait de la facilité à les construire/générer et à leurs propriétés intéressantes. Une copule archimédienne bivariée est construite de la façon suivante

C(u, v) = ψ ψ⁻¹(u) +ψ⁻¹(v) ,

où ψ : [0,∞) → [0,1] est une fonction continue, décroissante et convexe satis-faisant ψ(0) = 1 et ψ(∞) := limt→∞ψ(t) = 0. La fonction ψ est appelée la fonction génératrice de la copule et ψ⁻¹ son inverse, dénie généralement comme ψ⁻¹(u) = inf{t : ψ(t)≤u}. On peut noter qu'une copule archimédienne est symé-trique : C(u, v) = C(v, u). Pour plus d'informations, on peut citer [70]. Dans le Tableau 3.1, on donne 3 copules archimédiennes que l'on utilisera dans notre étude : la copule de Frank [34], celle de Gumbel [47] et celle de Clayon [18]. Il existe d'autres copules archimédiennes comme la copule gaussienne. Celle-ci a été abandonnée car elle possède deux paramètres qui rend son utilisation dicile dans notre cas.

Pour illustrer les dépendances générées, nous avons simulé des couples de données selon ces 3 copules à l'aide de la fonction rcopula du package copula² du langage R [100]. Les scatterplots des couples sont illustrés sur la Figure 3.6 avec des dépendances plus ou moins fortes (selon le τ de Kendall).

2disponible sur http://cran.r-project.org/web/packages/copula/index.html

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Copules Fonction génératrice ψ(t) Paramètre C(u, v)

Indépendance −lnt aucun uv

Frank −ln ^e_e^θtθ−1⁻¹

R^∗ ¹_θln 1 + ^(e^θu^−1)(e_(eθ−1)^θv⁻¹⁾

Gumbel −lntθ

θ≥1 exp

−

(−lnu)^θ+ (−lnv)^θ1/θ

Clayton (t^θ−1)/θ θ≥ −1 u^−1/θ+v^−1/θ−1−θ

Tab. 3.1 Trois copules archimédiennes et leurs fonctions génératrices.

Le concept de dépendance asymptotique

Dans l'étude de dépendance entre les valeurs extrêmes, il est important de pouvoir modéliser une possible dépendance dans les extrêmes, appelée dépendance asymp-totique. Cette quantité est fondamentale pour l'étude de la persistance pour bien prendre en compte la dépendance entre les fortes averses d'un même événement.

Comme nous allons le montrer ultérieurement, la dépendance asymptotique est es-sentiellement une caractéristique de la copule. Elle est invariante par rapport aux lois marginales. Clairement, la notion de dépendance asymptotique peut donner une indication dans le choix des copules pour modéliser un phénomène donné [75].

La notion de dépendance asymptotique [54] pour les distributions bivariées concerne la dépendance dans le quadrant supérieur droit (valeurs fortes) ou le quadrant in-férieur gauche (valeurs faibles). Elle est usuellement mesurée par les coecients de dépendance asymptotique introduits par [89]. Ici nous nous intéressons seulement au coecient de dépendance asymptotique droit appelé le upper tail dependence car la persistance concerne les fortes averses.

Dénition 3.2.4 (Coecient de upper tail dependence) Soient deux variables aléatoires continuesX etY ayant pour fonction de distribution respectivesF_X etF_Y. Le coecient de upper tail dependence, noté λ_U, de X et Y est alors déni par :

λ_U = lim

u→1⁻P Y > F_Y⁻¹(u)|X > F_X⁻¹(u)

(3.6) si toutefois cette limite existe.

Si λ_U ∈]0,1], il existe alors une dépendance asymptotique entre X et Y.

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Si λ_U = 0, on dit qu'il y a indépendance asymptotique.

Dans le cas où C est la copule associée à la distribution jointe de (X, Y), on peut noter que [55] :

λ_U = lim

u→1⁻

C(u, u)−2u+ 1 1−u

La quantité λU est fonction de la copule et est donc invariante par transformation croissante.

Dans le cas de copules archimédiennes, [29] montre que l'on a :

λ_U = 2 − 2 lim

u→0

ψ⁻¹⁰(2u) ψ⁻¹⁰(u)

A titre d'exemple, pour les copules de Clayton, Frank et Gumbel, le coecient d'up-per tail dependenceλ_U sera respectivement de0, 0et2−2^1/θ. Les copules de Frank et Clayton génèrent donc des variables asymptotiquement indépendantes, elles se comportent alors, asymptotiquement, comme la copule indépendante C(u, v) = u.v. Par contre la copule de Gumbel peut générer des variables possédant une dépen-dance asymtotique qui grandit avec son paramètre θ. Contrairement aux copules de Frank et de Clayton, la copule de Gumbel est une copule extrême, c'est à dire que, toute loi construite au travers de cette copule est une loi bivariée extrême. La seule copule bivariée extrême correspondant à une indépendance asymptotique est la copule d'indépendance.

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Fig. 3.6 Allure des copules de Clayton, Frank et Gumbel en fonction du τ de Kendall.

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