Comment diagnostiquer la dépendance ?

Classiquement, la caractérisation de la dépendance se mesure à l'aide de co-ecients de corrélation. Le plus connu est le coecient de corrélation linéaire de Pearson R² utilisé par exemple dans une régression linéaire. Celui-ci ne caractérise que la dépendance linéaire entre deux variables. Pour une dépendance non linéaire, l'utilisation de deux autres coecients de corrélations basés sur les rangs est forte-ment recommandée [37] : le rho de Spearman et le tau de Kendall qui sont dénis comme suit :

Soient X etY deux variables aléatoires continues.

On suppose disposer un n-échantillon de réalisations de X et de Y : X= (X_i)_i=1..n et Y= (Y_i)_i=1..n.

Soit R_i (resp. S_i) le rang de X_i (resp. Y_i) parmi les n réalisations.

Le Rho de Spearman

L'idée est de calculer la dépendance entre les paires des rangs(R_i, S_i). Ceci mène alors directement au calcul du coecient de corrélation de Spearman généralement noté ρn :

ρn =

Pn

i=1(R_i−R) (S_i−S) q

Pn

i=1(Ri−R)² Pn

i=1(Si−S)²

∈ [−1,1]

oùR = 1 n

n

X

i=1

R_i = n+ 1 2 = 1

n

n

X

i=1

S_i = S

Le calcul de ce coecient est plus généralement eectué de la façon suivante :

ρ_n = 12

n(n+ 1) (n−1)

n

X

i=1

R_iS_i − 3n+ 1

n−1 (3.1)

SiX et Y sont indépendants alors ρn≈0. Plus |ρn| est proche de 1, plus la dépen-dance entre les deux variables est forte. Siρ_n>0(resp.ρ_n <0) alors la dépendance

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est dite positive (resp. négative).

On note également que sous l'hypothèse H₀ : indépendance de X et Y, la distribu-tion deρ_nest proche d'une loi normale de moyenne 0 et de variance 1/(n−1). Nous pouvons alors rejeter H₀ avec un risque α = 5% si

√n−1|ρ_n| > z_α/2 = 1.96.

Le Tau de Kendall

Une autre mesure de dépendance basée sur les rangs couramment utilisée est le tau de Kendall qui se calcule empiriquement de la façon suivante :

τ_n = Pn−Qn

C_n² = 4

n(n−1)P_n−1 (3.2)

où P_n (resp. Q_n) est le nombre de paires concordantes (resp. discordantes). Deux paires (X_i, Y_i),(X_j, Y_j) sont dites concordantes si (X_i−X_j)(Y_i−Y_j)>0 et discor-dantes si (Xi−Xj)(Yi−Yj) < 0. Notons que le cas (Xi−Xj)(Yi−Yj) = 0 a une probabilité nulle de se produire sous l'hypothèse que X et Y soient des variables aléatoires continues.

τn n'est fonction que des rangs des observations et non des valeurs de X etY elles-mêmes. En eet (X_i−X_j)(Y_i−Y_j)>0si et seulement si (R_i−R_j)×(S_i−S_j)>0. Pour donner une expression à P_n, nous introduisons∀i∈1, . . . , n:

Iij =







1 si i=j

1 si X_j < X_i, Y_j < Y_i 0 sinon

Nous avons alors Pn = 1

2

n

X

i=1

X

j6=i

Iij +Iji =

n

X

i=1

X

j6=i

Iij = −n+

n

X

i=1 n

X

j=1

Iij

puisque Iij +Iji = 1 si et seulement si (Xi, Yi) et (Xj, Yj) sont concordantes.

En notant

W_i = 1 n

n

X

j=1

I_ij = 1

n]{j :X_j ≤X_i, Y_j ≤Y_i} et W = _n¹ Pn

i=1W_i, on aP_n = −n+n²W, ce qui implique τ_n = 4 n

n−1W − n+ 3

n−1 (3.3)

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3.2 Outils mathématiques 45

Comme pour le rho de Spearman, si X etY sont indépendantes alorsτ_n ≈0. Plus

|τ_n| est proche de 1, plus la dépendance entre les deux variables est forte. Si τ_n>0 (resp. τ_n <0) alors la dépendance est dite positive (resp. négative).

On note également que sous l'hypothèseH₀ : indépendance deXetY, la distribution deτ_nest proche d'une loi normale de moyenne 0 et de variance2(2n+5)/ 9n(n+1) Nous pouvons alors rejeterH₀ avec un risque α = 5% si : .

s

9n(n+ 1)

2(2n+ 5) |τ_n| > z_α/2 = 1.96

Il existe d'autres façons de calculer et de tester la dépendance entre variables.

Mais les deux précedemment présentées ont de bonnes performances et sont facile-ment utilisables. Voir [40, 23] pour d'autres tests qui sont basés sur l'utilisation de copule empirique (voir Section 3.2.2).

Pour compléter les approches numériques basées sur les coecientsρ etτ, nous pré-sentons ci-dessous deux outils graphiques fréquemment utilisés dans la littérature : Chi-Plots et Kendall-Plots.

Chi-Plots

Les Chi-Plots ont été proposés par [31] et approfondis dans [32]. Leurs construc-tions sont basées sur la statistique du χ² qui est utilisée pour tester l'indépendence dans un tableau de contingence. Nous introduisons alors les variables suivantes :

H_i = 1

n−1]{j 6=i:X_j ≤X_i, Y_j ≤Y_i} = nW_i−1

n−1 (3.4)

F_i = 1

n−1]{j 6=i:X_j ≤X_i} G_i = 1

n−1]{j 6=i:Y_j ≤Y_i}

Ces quantités ne dépendent que des rangs des observations. [32] proposent de tracer les paires (χ_i, λ_i) qui sont dénies comme suit :

χ_i = H_i−F_iG_i

pF_i(1−F_i)G_i(1−G_i) et

λ_i = 4.sign(Fe_iGf_i) max(Fe_i²,fG_i²)

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où Fei = Fi −1/2 et Gfi = Gi−1/2 pour i ∈ {1, . . . , n}. λi représente la distance du couple (X_i, Y_i) par rapport au centre du nuage de points, et √

nχ_i est la racine carrée de la statistique du χ². Pour tester l'indépendance entre les deux variables, une bande de contrôle est alors dénie :0±cp/√

n oùcp est égale à 1.54, 1.78 et 2.18 pour p = 0.9, 0.95, 0.99 respectivement (valeurs estimées à l'aide d'une méthode de Monte-Carlo [32]). L'hypothèse d'indépendance est alors rejetée au risque p s'il y a plus de 100(1− p)% paires (χi, λi) hors de la bande contrôle. De plus, [31]

recommande d'exclure les observations douteuses et de ne considérer dans l'analyse que les couples tels queλ_i <4 1/(n−1)−0.52

. La Figure 3.4 illustre les Chi-Plots pour des données indépendantes et dépendantes avec unτ = 0.45(n= 500) générées à l'aide d'une copule de Frank (voir Sec. 3.2.5).

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−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0−0.50.00.51.0

Chi−plot

lambda

Chi

Bande de controle avec p = 0.9 avec p = 0.95 avec p = 0.99

% de couples en dehors des bandes contrôles

IC 90%: 0 % IC 95%: 0 % IC 99%: 0 %

(a) X etY indépendants

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−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0−0.50.00.51.0

Chi−plot

lambda

Chi

Bande de controle avec p = 0.9 avec p = 0.95 avec p = 0.99

% de couples en dehors des bandes contrôles

IC 90%: 96 % IC 95%: 95 % IC 99%: 94 %

(b) X et Y dépendantsτ= 0.45

Fig. 3.4 Exemples de Chi-Plots.

Kendall-Plots ou K-Plots

Un autre outil graphique basé sur les rangs a été proposé par [36] pour la visua-lisation de la dépendance. Cette méthode a été inspirée par la notion du QQ-plot.

Cette technique consiste à tracer les paires (W_i:n, H_(i)) pouri∈ {1, . . . , n} où H₍₁₎ < . . . < H_(n)

sont les statistiques d'ordre associées aux quantités H1, . . . , Hn (voir Éq. 3.4). La quantité W_i:n représente l'espérance de la ième statistique d'ordre associé à

l'échan-CemOA : archive ouverte d'Irstea / Cemagref

3.2 Outils mathématiques 47

tillonH de taillen sous l'hypothèse d'indépendance entreX etY. Par dénition, la ième statistique d'ordre s'exprime par :

Wi:n = nC_n−1ⁱ⁻¹ Z 1

0

wk0(w) K0(w)i−1

1−K0(w)n−i

dw

oùk₀ est la densité associée à la distribution K₀. [36] proposent alors de prendre la distribution asymptotique K0 dénie par :

K₀(w) = P(U V ≤w) = Z 1

0

P(U ≤ w v)dv =

Z w 0

1dv+ Z 1

w

w

vdv = w−lnw oùU etV sont des variables uniformes indépendantes sur [0,1].

L'interprétation des K-plots est semblable à celle d'un QQ-plot. Si les couples(W_i:n, H_(i)) se situent sur la bissectrice, on est dans le cas de l'indépendance. Toute déviation par rapport à la bissectrice est signe d'une dépendance entre les variables. Fami-lièrement on peut dire : plus on s'éloigne de la bissectrice, plus la dépendance est grande. La dépendance est positive (resp. négative) si la courbe est au dessus (resp.

en dessous) de la droite y = x. Dans cette construction, la dépendance négative parfaite est représentée par des (W_i:n, H_(i)) sur l'axe des abscisses. Au contraire, une dépendance positive parfaite est représentée par un alignement sur la courbe deK₀(w). La dénomination Kendall-Plot provient de la relation entre lesH_(i) et leτ de Kendall [36]. La Figure 3.5 illustre les K-Plots pour des données indépendantes, dépendantes avec unτ = 0.45et quasi parfaitement dépendantes avec unτ = 0.96 (n= 500), générées à l'aide d'une copule de Frank (voir Sec. 3.2.5).

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