Importance dans le choix de la copule

Nous avons choisi de modéliser la dépendance entre les volumes ordonnés via une copule de Gumbel. Ce choix a été motivé par les résultats du test d'adéquation de la fonction R (voir Fig. 3.14).

Contrairement aux copules de Clayton et Frank, celle de Gumbel est une copule de valeurs extrêmes. Elle permet de simuler des variables avec une dépendance asymp-totique et donc d'avoir une forte dépendance aux extrêmes. Le Tableau 3.14 montre les probabilités d'obtenir un couple(X, Y)donné avec diérentes copules. Même avec un paramètre faible pour la copule de Gumbel, le couple (X = 0.9999, Y = 0.9999) est 100000 plus probable avec une copule de Gumbel que sous l'indépendance et 1000 fois plus probable comparé à une copule de Frank. Le choix d'une copule de Gumbel inue donc beaucoup sur le comportement à l'inni.

Pour apprécier les conséquences du choix de la copule de Gumbel, on a illustré τ Copule (0.5,0.5) (0.9,0.9) (0.99,0.99) (0.9999,0.9999)

τ = 0 Ind 0.25 0.01 1.10⁻⁴ 1.10⁻¹⁰

τ = 0.1

Gumbel 0.55 0.024 1.4.10⁻³ 1.10⁻⁵

Frank 0.56 0.015 1.5.10⁻⁴ 1.10⁻⁸

Clayton 0.55 0.013 1.2.10⁻⁴ 1.10⁻⁸ τ = 0.5

Gumbel 0.74 0.06 6.10⁻³ 6.10⁻⁵

Frank 0.76 0.04 5.10⁻⁴ 5.10⁻⁸

Clayton 0.75 0.03 3.10⁻⁴ 3.10⁻⁸

τ = 0.8

Gumbel 0.9 0.1 9.10⁻³ 8.5.10⁻⁵

Frank 0.92 0.07 1.10⁻³ 2.10⁻⁷

Clayton 0.92 0.05 8.10⁻⁴ 9.10⁻⁸

Tab. 3.14 Probabilté d'obtenir un couple (x, y) : P(X > x, Y > y) à partir de diérentes copules et diérentes valeurs du tau de Kendall (les paramètres des couples sont estimés par inversion du tau de Kendall).

sur la Figure 3.16 les résultats de SHYPRE en prenant les 3 diérentes copules pour modéliser la dépendance entre les averses. Au vu des observations, la copule de Gumbel semble donner de meilleures estimations pour les postes 4810 et 9715. En eet, avec les copules de Frank et Clayton, le comportement des pluies extrêmes est

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3.5 Modélisation de la persistance dans SHYPRE 85

semblable à l'indépendance (loi exponentielle) qui ne parait pas justiée au vu des valeurs extrêmes observées. Pour les postes 2901 et 3810, il est dicile de choisir la modélisation la mieux adaptée aux observations. Sur ces postes, la diérence entre la copule de Gumbel et celles de Frank et Clayton se trouve pour des quantiles avec T >10ans. On retrouve le fait que, même avec des paramètres petits, la probabilité d'obtenir 2 averses extrêmes dans le même événement est beaucoup plus forte avec une copule de Gumbel qu'avec les deux autres.

1e−01 1e+00 1e+01 1e+02 1e+03

020406080100

PJMAX 2901

Période de retour (an)

Volume (mm)

●

(a) poste 2901 (Bretagne)

1e−01 1e+00 1e+01 1e+02 1e+03

050100150200

PJMAX 3810

Période de retour (an)

Volume (mm)

●

(b) poste 3810 (Isère)

1e−01 1e+00 1e+01 1e+02 1e+03

0100200300400500

PJMAX 4810

Période de retour (an)

Volume (mm)

●

(c) poste 4810 (Cévennes)

1e−01 1e+00 1e+01 1e+02 1e+03

050010001500

PJMAX 9715

Période de retour (an)

Volume (mm)

●

(d) poste 9715 (île de la Réunion)

Fig. 3.16 Quantiles de la pluie journalière maximale de 4 postes issus de climat tempéré, alpin, méditér-ranéen et tropical estimés par SHYPRE à partir de diérents choix choix de copule dans la modélisation de la persistance.

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3.6 Conclusion

Nous avons vu l'importance de la modélisation de la persistance des averses dans l'estimation de quantiles pour de fortes périodes de retour. En eet, la non prise en compte de ce phénomène conduit à une sous estimation des quantiles pour certains types de postes, en particulier les postes méditerranéens et tropicaux.

La mise en évidence de la dépendance entre les volumes grâce aux outils mathé-matiques présentés dans la Section 3.2.1 nous a permis de trouver un modèle pour traduire au mieux cette dépendance. Nous avons choisi de modéliser la persistance en prenant en compte la dépendance entre les averses de volumes successifs. An de modéliser celle-ci nous avons utilisé la notion de copule.

Les copules traditionnelles n'étant pas adaptées à notre problème, nous avons mis en place une méthode pour estimer et générer des copules triangles. Une procédure de validation par simulations a donc été mise en oeuvre.

L'application des copules triangles sur les données a montré que la persistance augmente avec le nombre d'averses principales d'un événement. On retrouve alors intrinsèquement le fait que la persistance d'un poste est liée à sonN AV P_P [4]. L'esti-mation de quantiles via SHYPRE en appliquant cette modélisation de la persistance avec la copule de Gumbel montre des résultats satisfaisants au vu des observations.

De plus les incertitudes liées à l'estimation du paramètre de la copule n'ont que peu d'inuence sur les quantiles, ce qui montre que cet objet reste robuste.

Le choix de la copule de Gumbel pour modéliser la dépendance entre les volumes triés a été motivé par un test d'adéquation. Ce choix inue beaucoup sur le compor-tement à l'inni du générateur. Le fait que cette copule modélise une dépendance asymptotique permet de générer des événements extrêmes qui ne seraient que très rarement obtenus avec les copules de Clayton ou de Frank. Á l'inverse, pour certains postes, la copule de Gumbel semble provoquer une légère sur-estimation des quan-tiles pourT = 1000ans sur les postes où la persistance semble très faible comme par exemple le poste 2901. Ce problème est peut être lié au fait que l'on mélange tous les postes et que la copule de Gumbel n'est pas adaptée à tous les postes. Un futur tra-vail va nous amener à tratra-vailler avec les types de temps proposés par le SCHADEX.

Il est possible que pour 2 types de temps on ait aaire à deux types de dépendances et donc à deux copules diérentes. Par exemple pour un ux océanique, on aurait plutôt une dépendance type Clayton et pour un ux retour d'est, on en aurait une du type de Gumbel. Ce genre de classication permettrait de ne pas modéliser une dépendance trop forte pour les postes soumis à des types de temps particulier.

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Chapitre 4

Incertitudes/Robustesse du générateur de pluies

Sommaire

4.1 Incertitudes dues au mode de dépouillement . . . 89 4.1.1 La méthode de lissage . . . 89 4.1.2 Conséquences de la méthode de lissage . . . 90 4.1.3 Étude sur les postes du Réal Collobrières . . . 98 4.1.4 Conclusion . . . 99 4.2 Robustesse de SHYPRE par rapport à l'échantillonnage

des valeurs records . . . 102 4.2.1 Conséquences sur la persistance . . . 102 4.2.2 Conséquences sur les paramètres locaux . . . 103 4.2.3 Conséquences sur les quantiles de SHYPRE . . . 104 4.2.4 Conséquences sur les quantiles estimés par un ajustement

GPD . . . 104 4.3 Incertitudes de la modélisation de la persistance . . . 107 4.3.1 Une autre modélisation de la persistance . . . 108 4.3.2 Comparaison des 2 modélisations de la persistance . . . . 109 4.4 Validation des quantiles de SHYPRE et SHYREG . . . 112 4.4.1 Restitution des quantiles observés . . . 112 4.4.2 Conséquences de la journalisation de SHYPRE . . . 113 4.4.3 Comportement à l'inni de SHYREG . . . 116 4.5 Conclusion . . . 122

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Ce chapitre a pour but de conforter l'utilisation du générateur de pluies dans l'étude de stationnarité des précipitations extrêmes. Dans le contexte du change-ment climatique, on s'attend à un décalage en fréquence : une pluie centennale peut devenir une pluie décennale (ou millénnale) au cours des années. Il faut alors ap-précier les incertitudes des estimations des quantiles de pluies extrêmes estimés par SHYPRE. L'évolution climatique sera prise en compte uniquement par l'évolution des paramètres de SHYREG au cours des années. Il faut donc également regarder la pertinence des paramètres de SHYREG pour caractériser les pluies extrêmes.

Les incertitudes fournies par la méthode SHYPRE et sa version journalisée SHY-REG sont diciles à estimer. Elles dépendent de quelle façon on étudie le signal pluie : choix des variables à simuler, modélisation de la dépendance entre certaines variables, ... SHYPRE a été construit de façon régionale, c'est à dire que la façon de modéliser le signal pluie est la même pour tous les postes. Seuls les diérents paramètres du modèle dièrent d'un poste à l'autre permettant de reproduire des chroniques de pluies pour n'importe quel climat. Une telle structure permet d'avoir un outil robuste. En eet [69] a étudié la sensibilité de SHYPRE dans sa version journalisée, appelée SHYREG, par rapport aux données d'entrée.

Tout d'abord [69] a montré que l'incertitude des quantiles liée à l'estimation des 3 paramètres saisonniers implique des intervalles de conance étroits même pour de grandes périodes de retour (T = 1000 ans). En eet une comparaison avec un ajustement d'une loi des extrêmes (GPD) montre que les intervalles de conance de SHYREG sont beaucoup plus étroits que les intervalles de conance dus à l'incer-titude de l'estimation des paramètres de cette loi. Ceci s'explique par le caractère moyen des paramètres de SHYREG alors que pour la loi GPD, les paramètres sont liés aux moments d'ordre ≥ 2. L'estimation des quantiles est donc peu sensible à l'échantillonnage. De plus SHYREG reproduit bien les observations en fournissant des intervalles de conance à l'intérieur de ceux proposés par la loi GPD.

Une telle étude ne prend pas en compte l'incertitude due à la modélisation, no-tamment celle de la persistance qui inue beaucoup sur le comportement à l'inni. Il faut également évaluer la robustesse de la modélisation choisie par rapport aux don-nées comme par exemple la valeur des paramètres de la copule dans la modélisation de la persistance.

Nous allons montrer dans ce chapitre la robustesse des relations internes du modèle de pluie ainsi que celle des quantiles estimés par rapport aux données dis-ponibles. Dans un premier temps, nous proposerons une procédure de lissage des pluies horaires pour, entre autres, avoir des données plus homogènes au sein d'une chronique indépendamment du mode de dépouillement. Nous en regarderons les conséquences sur la structure du modèle et sur les estimations des quantiles. Puis

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4.1 Incertitudes dues au mode de dépouillement 89

nous allons évaluer les conséquences de ne pas prendre en compte les valeurs records observées sur le modèle lui-même et sur l'estimation des quantiles de SHYPRE.

Nous comparerons alors la robustesse de SHYPRE à celle d'un ajustement d'une loi des extrêmes. Ensuite on s'intéressera à la validation du modèle de persistance en comparant les résultats obtenus via les copules (voir Chap. 3) à une modélisation proposée par [4]. Puis nous évaluerons l'impact de la journalisation des paramètres en comparant les quantiles de SHYPRE à ceux estimés par sa version journalisée, SHYREG. Enn nous proposerons une méthode de validation des quantiles de SHY-REG basée sur l'ensemble des chroniques disponibles.

4.1 Incertitudes dues au mode de dépouillement

Dans SHYPRE, le signal pluie est décomposé en événements à partir d'informa-tion journalière. Puis les évenements sont découpés en averses qui sont dénies à partir des pluies horaires : la n d'une averse est caractérisée par l'apparition d'une pluie horaire entourée par deux pluies horaires plus volumineuses ou nulles.

Globalement avant 1990, le dépouillement se faisait de façon manuelle ce qui implique un dépouillement des pluies horaires plus ou moins précis notamment dû à l'observation dicile des changements d'intensité. L'apparition du dépouillement au-tomatique a amélioré le dépouillement du signal de pluie. Cette amélioration permet une meilleure décomposition des pluies horaires (voir Fig. 4.1) : 2 averses successives (avec un minimum local proche des pluies horaires voisines) peuvent apparaitre avec un dépouillement automatique alors qu'avec un dépouillement manuel, on aurait eu qu'une seule averse. Le lissage des pluies horaires a alors pour but d'éliminer ces minimums locaux an d'agglomérer certaines averses et d'avoir une diérence minimale entre un dépouillement manuel et automatique.

Á partir de la mise en place de cette procédure de lissage, nous avons alors regardé, dans un premier temps, l'eet de ce lissage sur les résultats du modèle an de juger la sensibilité de SHYPRE au mode de dépouillement. Puis nous avons également regardé l'inuence du lissage sur les diérences entre un dépouillement manuel et un dépouillement automatique.