Identification du profil turbulent - Démonstration sur le ciel de l'optique adaptative multi-ob

7.2.1 Minimisation avec l’algorithme Levenberg-Marquardt

Je décris ici la méthode d’identification des paramètres du modèle analytique de la covariance spatiale. Cette identification est réalisée grâce à un ajustement itératif au sens des moindres carrés de la matrice de covariance des mesures CMeas_{, par la matrice de covariance}

synthétique CLearn_{. L’algorithme a été initialement con¸cu pour travailler sur l’ensemble des}

éléments de la matrice de covariance des mesures, mais généralement on se concentre seulement sur les éléments hors-diagonaux afin de désensibiliser l’identification du bruit. En partant de conditions initiales, l’algorithme doit à chaque itération faire évoluer le vecteur de paramètres

θ pour minimiser la quantit´e suivante :

χ2(θ) = n_Xaso p=1 n_Xaso q=1 ns X m=1 ns X n=1 CpqMeas(m, n) − CpqLearn(m, n, θ) 2, (7.3)

Les paramètres à ajuster sont nombreux. D’une part, il y a les déviations, soit autant de sensibilités relatives, de translations, d’homothéties et de rotations pupille qu’il y a d’ASO. L’expérience a montré que les déviations ne peuvent être ajustées simultanément avec l’altitude des couches sur le ciel ([Brangier, 2012]). Ainsi, avant d’identifier le profil turbulent sur le ciel, on s’assure que ces déviations sont bien étalonnées sur le banc à partir d’un écran de phase placé dans le plan pupille du simulateur de télescope.

Ensuite, le vecteur de s´eparation αp de chaque ASO (cf. paragraphe 6.1.2) est aussi inclu

7.2 Identification du profil turbulent 111 la covariance spatiale dépend du produit entre les séparations et les altitudes des couches (cf. équation 6.4). Il est donc nécessaire de limiter le nombre de degrés de liberté de l’algorithme pour exclure toutes les translations et homothétie du problème. Il faut donc fixer au moins trois valeurs de position angulaire. Depuis la phase A, les positions des ASO sont bien connues sur le ciel grâce à des procédures d’étalonnage menées sur le banc.

Puis, le modèle analytique de la covariance que j’ai décrit au chapitre 6 inclut trois coeffi- cients, Txx, Tyyet Txy (cf. équation 6.46), qui permettent d’évaluer la contribution des vibrations

et des d´efauts de suivi du t´elescope.

De plus, le modèle offre la possibilité d’ajuster l’échelle externe globale L0 de la turbulence.

Comme cette valeur est déjà préalablement identifiée sur les mesures (cf. paragraphe 7.1.3), il n’est pas nécessaire de l’ajuster. Cependant, le modèle analytique permet de définir une échelle externe pour chaque couche turbulente qui est identifiée. Pour des raisons de rapidité d’iden- tification, la valeur de L0 évaluée sur les mesures est attribuée à la couche au sol uniquement,

alors que je fixe une échelle externe de 100 m pour les couches en altitude. Je justifierai cette valeur avec l’étude statistique menée dans le chapitre 11, mais d’après [Dali Ali et al., 2010], une valeur de L0 de 100 m en altitude semble raisonnable.

Enfin, le cœur de l’identification des paramètres du modèle porte sur le profil turbulent, ou autrement dit, la distribution verticale de l’énergie turbulente. Pour chaque couche, l’algorithme identifie une altitude et une force donnée en r−5/30 . Puisque le modèle de la covariance spatiale

est une somme de fonction de structure de phase (cf. paragraphe 6.1.6), l’énergie d’une couche à l’altitude hl dépend de r0(hl)−5/3. Pour éviter au maximum les ajustements non-linéaires,

l’algorithme identifie directement le r0(hl)−5/3 plutˆot que la valeur de Cn2(hl) en m−2/3.

Le point délicat réside dans le nombre de couches à ajuster. Malheureusement, il n’y a aucune information a priori qui nous permet de savoir combien de couches turbulentes l’algorithme peut identifier. On peut identifier beaucoup de couches au prix d’un temps de calcul couteux et parfois pour pas grand chose, puisque je montrerai au chapitre 11 que la turbulence est dominée par la couche au sol. Généralement, dans le cas de Canary, on peut identifier assez clairement de trois à cinq couches selon les nuits (cf. chapitre 11). `A défaut d’information a

priori, je propose dans le chapitre 8 une ´evaluation de la qualit´e de l’identification qui pourra

nous aider `a rectifier l’ajustement a posteriori.

Enfin, l’ajustement au sens des moindres carrés est réalisé grâce à un algorithme de Levenberg- Marquardt qui est plus performant qu’une descente de gradient ou qu’un algorithme de Gauss- Newton, et permet une identification de paramètres d’un modèle non-linéaire. À chaque itération, l’algorithme va calculer un pas à appliquer à chacun des paramètres à ajuster. Ce pas est évalué à partir d’une équation amortie des gradients de notre modèle par rapport à tous les paramètres. Sans rentrer dans le détail, on a grossièrement autant de matrices de taille ns×nasopar ns×naso

que de paramètres à ajuster, ce qui peut devenir conséquent lorsqu’il y a beaucoup de couches turbulentes à identifier.

7.2.2 Diff´erences entre le L&A et les profileurs externes

Je profite de ce paragraphe pour souligner les différences entre l’algorithme L&A et les profileurs externes. Comme je le discutais précédemment, le L&A ajuste les paramètres du modèle de la covariance spatiale (cf. chapitre 6), pour minimiser la distance entre la matrice de covariance synthétique, la CLearn directement issue de mon modèle, et la matrice de covariance empirique calculée à partir des mesures en boucle ouverte.

Ce procédé est très voisin des méthodes utilisées sur les instruments dit SLODAR (SLOpes Dectection And Ranging) ([Wilson, 2002],[Butterley et al., 2006]), qui travaillent sur la fonction de covariance spatiales des pentes, et non sur la matrice de covariance. Généralement, ces instruments observent une étoile binaire dont la séparation donne à la fois la résolution tomo-

112 CHAPITRE 7. IDENTIFICATION DU PROFIL TURBULENT SUR DES DONN´EES CIEL

graphique ∆h (cf. ´Eq. 5.10) et l’altitude maximale hmax (cf. 5.11). On pourrait dire finalement

que le L&A est un SLODAR multi-bases, ce qui permet aussi d’étalonner des paramètres géométriques à l’instrument. La différence assez notable réside dans les calculs supplémentaires opérés avec le L&A : on calcule la matrice de covariance totale des pentes, qui tient compte de l’inter-corrélation des pentes en x et y.

Il existe aussi d’autres types de profileurs externes, comme le SCIDAR (SCItillation Detec- tion And Ranging) ([Rocca et al., 1974],[Osborn et al., 2010]), qui se basent sur le phénomène de scintillation. Pour les méthodes conventionnelles, ce type de méthode ne permet que d’identifier les couches turbulentes en altitude. Mais, en conjuguant les ASO à une altitude autre que le plan pupille du télescope, il devient possible aussi de sonder la couche au sol, c’est ce qu’on appelle une technique de SLIDAR généralisée ([Fuchs et al., 1998]).

Pour aller encore plus loin, je cite les travaux de J. Voyez sur la méthode de CO-SLIDAR qui mixte la corrélation des pentes et de la scintillation ([Voyez et al., 2012],[Voyez et al., 2014]) mesurées sur un SH et sur une binaire. Ses travaux ont montré la fiabilité sur le ciel de ce type d’approche, ce qui laisse confiant pour préparer l’E-ELT.

Pour une configuration Canary, la matrice de covariance des pentes sur laquelle on travaille reste de taille raisonnable (quelques Mo), ce qui ne sera pas le cas pour une configuration Eagle ([Rousset et al., 2010]). C’est pourquoi il est aussi important de consid´erer ces techniques de profileurs externes, comme des outils prometteurs pour l’identification du profil turbulent sur l’E-ELT.

7.2.3 Pistes pour calculer les gradients

Je propose ici quelques pistes pour déterminer les gradients du modèle analytique de la covariance spatiale en fonction des différents paramètres. L’implémentation numérique des calculs suivants n’est pas nécessaire, mais permettrait d’accélérer le temps de calcul requis pour l’identification avec l’algorithme Learn & Apply . D’après les équations données dans le chapitre précédent, la matrice de covariance spatiale des pentes s’exprime avec la fonction de structure de phase D_φV −K(ρ) de l’équation 6.24. Je vais me concentrer ici sur les dérivées partielles de cette fonction de structure de phase en fonction des trois paramètres dont elle dépend, à savoir le r0, l’échelle externe L0 et la séparation |∆pqijl|.

On peut pour cela utiliser la propriété intéressante des fonctions de Bessel modifiée de seconde espèce :

∂ ∂x[x

ν_K

ν(mx)] = −mxνKν−1(mx) (7.4)

D´eriv´ee partielle par rapport `a r−5/30

Pour éviter au maximum les ajustements non-linéaires, l’algorithme Learn & Apply ajuste la valeur r₀−5/3 plutôt que celle de r0. En reprenant l’équation 6.24, la dérivée partielle à calculer

est imm´ediate :

∂DV −K_φ (∆pqijl, r0, k0)

∂r₀−5/3 = r

5/3

0 DV −Kφ (∆pqijl, r0, k0) (7.5)

Par la suite, je noterai c1 = 2

1/6_Γ(11/6) π8/3 h 24 5Γ(6/5) i5/6 .

D´eriv´ee partielle par rapport `a k0

Toujours en partant de l’équation 6.24, puis en s’appuyant sur la propriété donnée par l’équation 7.4, on peut montrer que la dérivée partielle de la fonction de structure de phase de

7.2 Identification du profil turbulent 113 Von-Karmann par rapport `a la fr´equence k0 = 1/L0 prend la forme suivante :

∂DV −K_φ (∆pqijl, r0, k0) ∂k0 =c1r0−5/3k −5/6 0 (2π |∆pqijl|)11/6K−1/6(2πk0|∆pqijl|) − 5/3k0−1DφV −K(∆pqijl, r0, k0). (7.6)

D´eriv´ee partielle par rapport `a hl

Enfin, le vecteur de séparation dépend de plusieurs paramètres comme l’altitude des couches, la séparation des ASO et les déviations géométriques. Pour déterminer la dérivée partielle de la fonction de structure de phase par rapport à tous ces paramètres, je vais me concentrer sur l’altitude hl, il faut partir de l’égalité suivante :

∂DV −K_φ (∆pqijl, r0, k0) ∂hl = ∂D V −K φ (∆pqijl) ∂ |∆pqijl| × ∂ |∆pqijl| ∂hl . (7.7)

Toujours en s’aidant de l’´equation 7.4, on montre alors que :

∂DV −K_φ (∆pqijl, r0, k0)

∂ |∆pqijl|

= c1r0−5/3k −5/3

0 (2πk0)11/6|∆pqijl|5/6K−1/6(2πk0|∆pqijl|). (7.8)

Les calculs que j’ai présentés ici sont des préliminaires à l’implémentation complète de la détermination des gradients. Il faut aussi prendre en compte la sommation des couches, les déviations géométriques et les vibrations. Je laisse le soin à mes successeurs de compléter ce travail et d’implémenter le calcul des gradients requis par l’algorithme Learn & Apply .

7.2.4 Algorithme de minimisation directe

Je rappelle que le but de la reconstruction MMSE est de déterminer une matrice, le recons- tructeur R, qui, à partir des mesures hors-axes, va donner la meilleure estimation possible des pentes sur l’axe dans notre cas. Théoriquement, on démontre que ce reconstructeur dépend de la matrice de covariance spatiale des pentes par la relation donnée à l’équation 6.49. Le but est alors d’estimer cette matrice et c’est le rôle de l’algorithme Learn & Apply. Cependant, cer- taines approximations sont faites dans le calcul de la covariance théorique. De plus, l’algorithme de minimisation ne converge pas forcément totalement, puisqu’on impose un nombre maximal d’itération de 100, ainsi qu’un seuil de tolérance sur la différence relative du χ2 _{d’une itération}

`a l’autre de 10−6_{. De plus, il peut aussi dans certains cas y avoir plusieurs solutions `a partir de}

conditions initiales diff´erentes, ou plusieurs solutions selon le nombre de couches choisi.

La question qu’on se pose est alors la suivante : peut-on atteindre la meilleure performance tomographique, à partir du modèle analytique de la covariance, des identifications des pa- ramètres globaux sur les mesures, et des contraintes imposées à l’algorithme de minimisation ? En d’autres termes, on cherche à vérifier que le reconstructeur permet effectivement de minimiser la quantité donnée en équation 5.1. Pour le vérifier, j’ai mis en œuvre un algorithme calqué sur le L&A, que je baptise AMD pour Algorithme de Minimisation Directe. Contraire- ment au L&A, cet algorithme minimise directement la distance entre les mesures du TS et la reconstruction tomographique. Le χ2 _{à minimiser prend alors la forme suivante :}

χ2(θ) = ns X m=1 |Sβ(m) − (R(θ)Sα)(m)|2. (7.9) `

A chaque itération, l’AMD calcule la matrice de covariance synthétique à partir du jeu de paramètres θ, y ajoute la matrice de covariance du bruit, puis détermine le reconstructeur selon

114 CHAPITRE 7. IDENTIFICATION DU PROFIL TURBULENT SUR DES DONN´EES CIEL

l’équation 6.49. Ce reconstructeur est ensuite appliqué aux mesures hors-axes, puis l’estimation des pentes sur l’axe qui en résulte est elle comparée aux mesures du TS. J’ai synthétisé le principe de fonctionnement de cet algorithme en figure 7.2.

L-M fitting _{of covariance}Model

Optimal parameters On-axis Measurements MMSE Reconstructor R mmse Off-axis Measurements Estimated on-axis measurements Noise estimation

Calibrations Optimal algorithm

Figure 7.2: Sch´ematisation du fonctionnement de l’algorithme de minimisation directe.

Contrairement au Learn&Apply, l’AMD travaille sur toute la matrice de covariance, y com- pris la diagonale. Ainsi, l’algorithme a pour but de trouver le meilleur compromis entre la reconstruction des pentes sur l’axe et le filtrage du bruit des ASO hors-axes. L’identification du profil turbulent sera donc ici sensible à l’estimation de la covariance du bruit. Ensuite, il faut, à chaque itération, filtrer les valeurs singulières les plus faibles de CLearn

αα + CααNoise pour atteindre

un conditionnement donné. En particulier, la pente moyenne des ASO LGS doit être filtrée (cf. paragraphe 6.2.1.5).

Il apparaˆıt deux bémols. Premièrement, le temps de calcul est excessivement long comparati- vement au Learn & Apply , en particulier à cause du calcul du reconstructeur à chaque itération. En effet, pour chaque paramètre, l’algorithme doit calculer les gradients du modèle analytique par rapport à ce paramètre, ce qui nécessite le calcul d’un reconstructeur par gradient. Ce- pendant, avec des librairies optimisées pour l’inversion de matrice (http://www.netlib.org/ lapack/), on peut réduire considérablement le temps de calcul et le rendre du même ordre de grandeur que celui requis pour le Learn & Apply.

Deuxièmement, cet algorithme requiert les mesures du TS. Il n’est donc pas prévu pour être utilisé sur le ciel, puisqu’il n’est pas représentatif de notre capacité à reconstruire les pentes sur l’axe à partir des mesures hors-axes uniquement. Le but ici est de démontrer que les deux algorithmes sont équivalents sur la plupart des cas, et de tirer parti des meilleurs performances de l’AMD sur certains cas pour comprendre ce qui a péché avec le L&A. Je propose dans la section 7.4, une comparaison entre les différentes méthodes d’identification.

Dans le document Démonstration sur le ciel de l'optique adaptative multi-objet avec étoiles lasers par CANARY (Page 111-115)