9.2 D´ecomposition de la variance du front d’onde
9.2.3 D´ecomposition de la variance front d’onde en SCAO
J’ai pr´esent´e au paragraphe 2.6 la d´ecomposition de la variance de la phase r´esiduelle en SCAO. Il s’agissait finalement de la m´ethode DTI, mais appliqu´ee au cas SCAO. Mˆeme si cette th`ese se concentre sur les r´esultats obtenus en MOAO, il est aussi int´eressant de montrer qu’on peut mod´eliser Canary dans d’autres modes de fonctionnement.
L’´equation 2.46 met en ´evidence que la variance de phase σ2
IR peut se d´ecomposer en un
terme d’erreur de bande passante, un terme de repliement, un terme de bruit et un terme d’erreur d’´etalonnage des NCPA. Je souligne que l’erreur de bande passante en SCAO discut´ee au paragraphe 2.6.1 est diff´erente de celle en MOAO (cf. ´equation 9.40). D’une part, la fonction de transfert ˜hcorqui intervient est diff´erente en SCAO qu’en MOAO, Mais d’autre part, l’erreur
temporelle comme je l’aie d´efinie en SCAO (cf. ´equation 2.46) ne porte que sur les modes parall`eles de la phase atmosph´erique, alors qu’en MOAO, j’ai inclu des modes de hauts ordres repli´es dans la mesures des ASO hors-axes.
Cette ´etape, bien qu’elle soit discutable, ´etait importante pour s´eparer la tomographie de l’erreur temporelle, mais aussi pour ´evaluer facilement ces deux erreurs. En effet, en incluant directement le repliement dans l’erreur tomographique (cf. ´equation 9.19) et l’erreur temporelle, je peux ´evaluer ces deux termes directement `a partir des mesures, comme je vais le montrer dans le paragraphe suivant.
Je propose alors de reprendre l’´equation 2.46 pour faire correspondre la m´ethode DTI en SCAO et en MOAO. Pour la SCAO, nous avions la relation entre les entr´ees et sorties du syst`eme suivante :
˜
ε||(z) = ˜a||(z) − ˜hbo(z)˜ε||(z) − ˜hbo(z)D+D∞a˜⊥(z) − ˜hsys(z)˜n(z) (9.52)
En ajoutant et retranchant la contribution du repliement D+D∞a˜⊥(z) dans le second membre
de l’´equation pr´ec´edente, j’obtiens l’expression suivante : ˜
ε||(z) = ˜a||(z) + D+D∞a˜⊥(z) − ˜hbo(z)˜ε||(z) − (1 + ˜hbo(z))D+D∞˜a⊥(z) − ˜hsys(z)˜n(z). (9.53)
En faisant ¸ca, je fais apparaitre le terme ˜a||(z) + D+D∞a˜⊥(z) qui correspond aux mesures du
TS en boucle ouverte. L’int´erˆet de cette manipulation est que l’expression de ˜ε||(z) prend alors la forme suivante : ˜ ε||(z) = ˜hcor(z) ˜ a||(z) + D+D∞a˜⊥(z) − D+D∞a˜⊥(z) − ˜hn(z)˜n(z). (9.54)
On retrouve une similitude avec l’´equation 9.20 qui donne l’expression de ˜ε||(z) en MOAO. La contribution due `a l’erreur temporelle porte sur les donn´ees en boucle ouverte du TS en
9.2 D´ecomposition de la variance du front d’onde 171 SCAO, et des pentes reconstruites sur l’axe en MOAO. De mˆeme, on retrouve aussi une erreur due au bruit, avec une fonction de transfert diff´erente due `a la r´etro-action entre l’analyseur et le MD en SCAO. Enfin, au lieu d’avoir une erreur tomographique en boucle ouverte en MOAO, on a ici une erreur de repliement en boucle ouverte en SCAO.
Finalement, je dirai qu’en SCAO, on fait aussi de la tomographie, mais `a un niveau bien moindre qu’en MOAO. On peut imager que la mesure du TS est une reconstruction tomogra- phique des pentes sur l’axe, o`u le reconstructeur serait une matrice identit´e `a appliquer au vecteur Sβ qui concat`ene les mesures du TS. `A la diff´erence de la MOAO, il n’y a aucune erreur
tomographique sur les modes parall`eles ou sur la mod´elisation de la covariance spatiale, mais il y a une erreur due au repliement des modes de hauts ordres dans la mesure du TS.
On peut mˆeme g´en´eraliser au cas o`u l’´etoile guide est s´epar´ee de la source d’int´erˆet. Il y a alors une erreur suppl´ementaire qui est l’erreur d’anisoplan´etisme ([Rigaut et al., 1998]), qui correspond `a une erreur tomographique sur les modes parall`eles, sauf que dans ce cas, il n’y a aucun processus qui permet de reconstruire la phase ou les pentes sur l’axe pour minimiser cette erreur.
Pour la suite, mais en particulier pour mieux comprendre les r´esultats du chapitre 12, j’´evaluerai le terme ε˜||(z) 2 en une somme d’erreurs temporelle, de bruit et tomographique, o`u l’erreur tomographique d´esigne l’erreur de repliement en boucle ouverte :
˜ε||(z) 2 = ˜hcor(z) ˜ a||(z) + D+D∞a˜⊥(z) 2 | {z } Erreur temporelle + D+D∞a˜⊥(z) 2 | {z } Erreur de repliement + ˜hn(z)˜n(z) 2 | {z } Erreur de bruit . (9.55) Pour obtenir l’expression pr´ec´edente, il faut supposer qu’il n’y a pas de corr´elation entre l’er- reur temporelle et l’erreur de repliement, comme en MOAO. Je montrerai au chapitre 11 que le spectre temporel du repliement en boucle ouverte est domin´e par les basses fr´equences tem- porelles, alors que l’erreur de bande passante porte sur les hautes fr´equences temporelles grˆace au filtrage passe-haut dˆu `a la fonction de transfert ˜hcor.
Je fais cette hypoth`ese pour unifier la d´etermination des postes d’erreur e MOAO et SCAO, tout en sachant que cette hypoth`ese est fausse, en particulier lorsque les gains sont faibles. Si g = 0, alors on a ˜hcor(z) = 1∀z et on comptabilise deux fois l’erreur de repliement. Dans
le cas de Canary, on travaille g´en´eralement avec des gains suffisamment ´elev´es pour que l’impact de cette hypoth`ese de d´ecorr´elation reste mineure. Je montrerai au paragraphe 12 que ce budget d’erreur permet de bien pr´edire la mesure du TS sur un ´echantillon statistique de jeux de donn´ees cons´equent. Dans mon cas, je supposerai alors que l’erreur de bande passante et l’erreur de repliement (voire de tomographie pour ´elargir au cas MOAO) sont d´ecorr´el´ees, en particulier pour gagner en visibilit´e sur les points qui limitent la performance de la MOAO. Il est cependant possible de s’en affranchir, en d´eterminant le spectre temporel de la contri- bution du repliement et des modes parall`eles dans la mesure du TS. Avec la m´ethode pr´esent´ee au chapitre 11 (cf. paragraphe 11.2), cette d´etermination est possible et on pourrait reformuler l’expression des diff´erents postes d’erreur dans l’´equation 9.55.
Au final, la m´ethode DTI appliqu´e au cas SCAO permet d’´evaluer plusieurs postes d’erreurs qui contribuent `a la variance de phase. `A partir des ´equations 9.5 et 9.55, la variance de phase
σ2
IR dans un cas SCAO peut alors s’´ecrire de la fa¸con suivante :
σIR2 = σTomoIR2 + σ2BW+ σNoiseIR2 + σ2Fit+ σ2NCPA, (9.56) avec en SCAO σ2
TomoIR = σAliasIR2 l’erreur de repliement vue par la cam´era IR :
172 CHAPITRE 9. D´ECOMPOSITION DE L’ERREUR DE FRONT D’ONDE
Par analogie au terme ∆˜a||β de l’´equation 9.19 en MOAO, cette erreur σ2
AliasIR en SCAO joue le
rˆole d’une erreur tomographique comme je le discutais pr´ec´edemment. Par la suite, je d´esignerai
σ2
TomoIR l’erreur tomographique en MOAO, et cette erreur de repliement en SCAO.
Identiquement `a la MOAO, σ2
BW est l’erreur de bande passante qui porte sur les mesures du
TS cette fois-ci, et la fonction ˜hcor (cf. ´equation 2.42) :
σBW2 = ˜hcor(z)
˜
a||(z) + D+D∞˜a⊥(z) 2, (9.58) et σ2
NoiseIR l’erreur du bruit de mesure du TS qui s’est propag´e `a travers la boucle de SCAO :
σNoiseIR2 = ˜hn(z)˜n(z) 2. (9.59)
Les erreurs de sous mod´elisation et d’´etalonnage des NCPA sont respectivement donn´ees par les ´equations 2.51 et 9.29. L’avantage de cette approche est que la mise en œuvre num´erique de la d´etermination du budget d’erreur sera exactement la mˆeme en MOAO ou GLAO. Il suffira de faire correspondre les fonctions de transfert au mode d’observation consid´er´e, et de travailler directement avec les mesures du TS en SCAO, alors qu’on utilisera la reconstruction des pentes sur l’axe en MOAO.
De plus, on peut aussi, `a partir de la m´ethode DMTS, ´evaluer la variance de phase σ2 IR
`a partir de la variance de phase σ2
TS en SCAO. Il n’y a en fait aucune diff´erence avec la
MOAO, except´e que l’expression de σ2
IR contient plus de termes en MOAO qu’en SCAO. La
m´ethode DMTS en SCAO est alors aussi donn´ee par l’´equation 9.50, mais il faut cependant expliciter les termes de repliement. L’hypoth`ese qui est usuellement faite et qui permet d’´evaluer rapidement le budget d’erreur en SCAO, est de consid´erer que le TS ne mesure finalement plus la contribution du repliement qui est compens´e par le miroir d´eformable. Dans notre cas, la m´ethode DMTS en SCAO se r´esume alors `a l’´equation suivante :
σIR2 = σ2TS+ σAliasIR2 − σ2NoiseTS+ σFitting2 + σNCPA2 . (9.60) Je peux maintenant ´evaluer la variance de phase `a l’aide de la m´ethode DTI et DMTS en mode MOAO, GLAO mais aussi SCAO. Je vais maintenant expliciter comment ´evaluer tous les termes n´ecessaires pour d´eterminer σ2
IR dans ces trois modes de fonctionnement.