7.4 Comparaison des m´ethodes d’identification
8.1.3 D´ecomposition de l’erreur tomographique vue par la cam´era IR
L’erreur tomographique σ2
TomoTS est l’erreur mesur´ee par le TS, mais il ne faut pas la
confondre avec celle per¸cue par la cam´era IR. En effet, la mesure du front d’onde sur l’axe par le TS apporte une contribution de bruit et de repliement suppl´ementaire. Le repliement mesur´e par le TS est tomographiquement corr´el´e au repliement mesur´e par les hors-axes, donc d’apr`es l’´equation 8.9, cette corr´elation diminue l’impact du repliement dans l’erreur tomogra- phique mesur´ee par le TS. La cam´era IR ne mesure elle que la contribution du repliement et du bruit des ASO hors-axes propag´e `a travers le reconstructeur.
Pour d´eterminer l’erreur tomographique qui affecte r´eellement le front d’onde vu par la cam´era IR, je propose de commencer par d´ecomposer l’erreur de bruit σ2
Noise en deux contribu-
tions, σ2
NoiseTS qui est la variance du bruit de mesure du TS, et σ2NoiseTomo la variance du bruit
des ASO hors-axes propag´e `a travers le reconstructeur R. D’apr`es les ´equations 8.9 et 8.18, en consid´erant que le bruit n’est pas corr´el´e entre ASO, le terme CNoise
βα Rt est nul et j’obtiens la
relation :
σNoise2 = WFECββNoise
| {z } σ2 + WFERCααNoiseR | {z } σ2 . (8.18)
8.1 D´ecomposition de l’erreur tomographique 133 Je note σ2NoiseTS la variance du bruit de mesure du TS qui peut s’´evaluer de la fa¸con suivante :
σNoiseTS2 = WFECββNoise. (8.19)
Je note ensuite σ2
NoiseTomo la variance du bruit des ASO hors-axes apr`es propagation `a travers
le reconstructeur :
σNoiseTomo2 = WFERCααNoiseR. (8.20)
La contribution du bruit dans l’erreur tomographique mesur´ee par le TS peut alors se ramener `a la somme suivante :
σNoise2 = σ2NoiseTS+ σNoiseTomo2 . (8.21)
La variance du bruit de mesure du TS σ2
NoiseTS ne rel`eve pas des performances tomographiques
du reconstructeur. Par contre, le terme de propagation σ2
NoiseTomo du bruit des ASO hors-axes
permet de quantifier la capacit´e de notre reconstructeur `a att´enuer le bruit des ASO sur lesquels s’appuie la reconstruction tomographique.
Ensuite, il faut maintenant consid´erer que la cam´era IR ne per¸coit que la contribution du repliement provenant des ASO hors-axes seulement, apr`es propagation `a travers le recons- tructeur. Je note σ2
AliasIR le terme au repliement des hors-axes dans l’erreur tomographique de
la cam´era IR. D’apr`es l’´equation 8.9, la contribution du repliement des ASO hors-axes dans l’erreur tomographique de la cam´era IR peut s’´evaluer par :
σAliasIR2 = WFERCααAliasR. (8.22)
Je fais n´eanmoins l’hypoth`ese ici que les modes de hauts ordres qui se sont repli´es dans la mesure des ASO hors-axes, puis propag´es `a travers le reconstructeur, ne sont plus corr´el´es aux modes de hauts ordres sur l’axe, qui conduisent eux `a l’erreur de sous-mod´elisation du MD (cf. paragraphe 2.6.4).
Enfin, l’erreur tomographique est ´evalu´ee sur un jeu de donn´ees en boucle ouverte acquis sur un nombre fini de trames, qui sont donc affect´es par un bruit de convergence des mesures. Le mod`ele analytique de la covariance spatiale d´ecrit au chapitre 6 ne permet pas de prendre en compte ces fluctuations statistiques, qui se r´epercutent sur l’erreur ∆χ. Or, ces fluctuations
statistiques de la mesure du TS ne sont pas per¸cues par la cam´era IR. Il faut donc s´eparer l’erreur ∆χen deux contributions, l’une due `a la convergence des mesures σ2w, et l’autre due `a un
d´efaut de mod´elisation de la covariance spatiale ∆model. Ces d´efauts de mod´elisation proviennent
des approximations faites dans le calcul de la covariance spatiale (cf. paragraphe 6.1.6), d’une mauvaise strat´egie d’identification (nombre de couches ajust´ees trop faible) et de la convergence de l’algorithme de minimisation.
Pour estimer la contribution de la convergence des mesures dans l’erreur tomographique, j’utilise la matrice de poids que j’ai introduite en section 7.3. Une fa¸con tr`es basique d’avoir un bon ordre de grandeur de σ2
w est de la calculer de la fa¸con suivante :
σw2 = MSE (W, R) = WFE (Wββ) − 2WFE WβαRt + WFERWααRt . (8.23) L’erreur σ2
w peut ˆetre nulle d’apr`es l’´equation 8.23. Dans le cas d’une couche au sol, les mesures
des ASO sont parfaitement corr´el´ees et chacun d’entre eux mesure les mˆemes fluctuations statistiques. Si R est un reconstructeur GLAO, alors pour une couche unique au sol, on a WFE (Wββ) = WFE (WβαRt) = WFE (RWααRt), ce qui conduit bien `a une erreur σ2w nulle
134 CHAPITRE 8. ´EVALUATION DES PERFORMANCES TOMOGRAPHIQUES
Ainsi, l’erreur de mod´elisation de la covariance spatiale peut se calculer par la diff´erence suivante :
∆model = ∆χ− σ2w, (8.24)
Or, cette erreur de convergence impacte seulement l’erreur tomographique vue par le TS qui est ´evalu´ee `a partir des mesures des ASO. Finalement, je d´efinis l’erreur tomographique de la cam´era IR par la somme suivante :
σTomoIR2 = σ2||+ σAliasIR2 + ∆model. (8.25)
Je souligne que j’ai retir´e la contribution du bruit dans l’expression de l’erreur tomographique. En faisant cela, je pr´epare le terrain pour le chapitre suivant dans lequel je vais expliciter les autres termes d’erreur qui composent la variance du front d’onde apr`es compensation par le syst`eme. Le bruit des ASO hors-axes sera alors filtr´e par la boucle, donc je ne le mets pas dans l’expression σ2
TomoIR pour ´eviter de le compter deux fois dans la variance de phase finale.
Enfin, la s´eparation entre les modes de bas ordres et les modes de hauts ordres, repli´es dans la mesure de l’ASO, est n´ecessaire pour ´evaluer correctement l’erreur tomographique vue par la cam´era IR. Dans les calculs qui sont faits dans la suite du manuscrit, il y a une hypoth`ese implicite que cette s´eparation est la mˆeme pour le MD et l’ASO, ce qui n’est pas la d´emarche la plus rigoureuse, mais sera suffisante pour d´emontrer notre compr´ehension des observations sur le ciel. Une approche plus aboutie consiste `a consid´erer un repliement dit g´en´eralis´e ([Quir´os-Pacheco et al., 2010]), que je ne consid´ererai [as dans la suite.