L’analyse de front d’onde

2.2

L’analyse de front d’onde

2.2.1

Principe du Shack-Hartmann

Int´eressons-nous maintenant au principe de l’analyse de front d’onde. Il existe plusieurs types d’ASO qui mesurent g´en´eralement une grandeur proportionnelle `a la d´eformation du front d’onde. L’analyseur le plus connu et le plus r´epandu est sans aucun doute l’analy- seur Shack-Hartmann (SH). D’autres types d’analyseurs existent comme l’analyseur `a cour- bure ([Roddier and Roddier, 1988]), `a pyramide ([Ragazzoni, 1996]) ou bien l’analyseur haute r´esolution YAW ([Gendron et al., 2009],[Brangier, 2012]) mais je ne rentrerai pas dans les d´etails ici.

Le principe de l’analyseur du SH consiste `a r´ealiser un ´echantillonnage spatial du front d’onde dans le plan pupille grˆace `a une matrice de micro-lentilles comme illustr´e en figure 2.3. Chacune de ces lentilles d´ecoupe la pupille en plusieurs sous-pupilles, zone sur laquelle l’ASO va mesurer l’angle d’arriv´ee local du front d’onde. Les faisceaux incidents vont ainsi converger au plan focal des micro-lentilles, pour former un spot lumineux. Sa position est fixe si le front d’onde est compl`etement invariant. Le principe est de mesurer le vecteur de s´eparation entre les spots ainsi form´es et cette r´ef´erence, on parle alors de vecteur de pentes. La r´ef´erence est ´etablie en ´etalonnant la position des spots qui correspondent `a un front d’onde plan pour la cam´era IR.

34 CHAPITRE 2. L’OPTIQUE ADAPTATIVE Pixel Obstruction centrale x y pente x y

Figure 2.3: Principe de l’analyseur de front d’onde de type Shack-Hartmann. Le front d’onde est spatialement ´echantillonn´e par la matrice de micro-lentilles. Les faisceaux sous-tendus par les sous- pupilles convergent ainsi dans le plan focal des micro-lentilles, pour former un spot. La position du spot par rapport `a la mesure ´etalonn´ee donne le gradient local du front d’onde, ou encore la pente moyenne locale.

2.2 L’analyse de front d’onde 35

2.2.2

Expression de la mesure

J’explicite en figure 2.4 que la position des spots est une grandeur proportionnelle `a l’angle d’arriv´ee local du front d’onde. Si fml est la focale des micro-lentilles et αi l’angle moyen du

front d’onde dans la ii`eme _{sous-pupille, la pente S}

i vaut alors :

Si = fml× αi+ Srefi , (2.1)

avec Sref

i le vecteur de r´ef´erence donn´ee pour la ii`eme sous-pupille. De plus, cet angle moyen

peut ˆetre exprim´e en fonction du chemin optique et de la taille de la sous-pupille d par :

αi = δi/d. (2.2)

La position du spot donne donc une mesure lin´eaire du gradient local de la phase sur la sous- pupille ([Rousset et al., 1987]) :

Si ∝ λ 2π ZZ SPi ∇_{φ(ri)dri (2.3)}

avec SPi le domaine g´eom´etrique d´efini par la forme de la sous-pupille i.

f

_ml

s

_i

s

_iref

α

α

Figure 2.4: Coupe de la mesure Si de la position du spot faite par le SH par rapport `a la position de

r´ef´erence Sref_i . La position est directement reli´ee `a l’angle d’arriv´ee local du front d’onde, c’est-`a-dire au gradient local de la phase.

N´eanmoins, la taille physique des sous-pupilles dans le plan pupille (60 cm sur Canary) est g´en´eralement plus grande que le r0 moyen lors des observations, g´en´eralement d’une dizaine

de centim`etres `a la longueur d’onde d’observation de l’ASO. C’est alors le seeing qui limite la taille des spots et non la diffraction par la sous-pupille. De plus, la cam´era de l’ASO, plac´ee au plan focal des micro-lentilles, ´echantillonne les spots grˆace `a ses pixels. La mesure de la position des spots est alors entach´ee d’un bruit de lecture et de photons.

Pour att´enuer l’impact des tavelures et du bruit de la cam´era sur l’estimation de la position des spots, on utilise g´en´eralement un algorithme de centre de gravit´e sur l’intensit´e des pixels.

36 CHAPITRE 2. L’OPTIQUE ADAPTATIVE

Il consiste `a pond´erer la position de chaque pixel de la cam´era, pour une sous-pupille donn´ee, par l’intensit´e mesur´ee sur ce pixel ([Rousset et al., 1987]) :

b Si = P i,jrijIij P i,jIij (2.4) avec Iij et rij respectivement l’intensit´e lumineuse et la position du pixel (i, j).

Afin de diminuer l’impact du bruit, une m´ethode de seuillage des intensit´es est utilis´ee, en calculant le centre de gravit´e sur les pixels les plus brillants ([Basden et al., 2012]). Il existe aussi des algorithmes diff´erents bas´es sur le calcul du maximum de la corr´elation spatiale du spot par exemple ([Thomas et al., 2006]).

2.2.3

Perturbations de la mesure

Une des premi`eres perturbations qui polluent la mesure est le bruit. Nous pouvons en par- ticulier distinguer les bruits instrumentaux de lecture (Read out Noise) et de fluctuations du courant d’obscurit´e qui peuvent ˆetre raisonnablement consid´er´es comme des processus Gaus- siens. De plus, il faut ajouter le bruit de photons dˆu au nombre fini de photons nph qui suit une

statistique de Poisson de variance ´egale au nombre de photon-´electrons. Le bruit de lecture engendre une variance σ2

RON sur l’estimation de la phase par la m´ethode

du centre de gravit´e. Elle peut s’exprimer de la fa¸con suivante ([Rousset et al., 1987]) :

σ2 RON = π2 3 σ2 eNd2 n2 ph _N S Nd 4 , (2.5) avec σ2

e la variance du bruit du d´etecteur en photo-´electrons par pixels et par trame, Nd la

largeur `a mi-hauteur du spot en l’absence de turbulence et NS le nombre de pixels utilis´es

dans le calcul du centre de gravit´e. Ce bruit va intervenir `a chaque lecture des pixels de la cam´era pour laquelle σe est g´en´eralement sp´ecifi´ee ou peut ˆetre mesur´ee. Cette variance d´epend

particuli`erement du nombre de pixels NS utilis´e pour ´echantillonner la tache de diffraction de

taille Nd. Pour une taille Nddonn´ee, ce ratio Ns/Nd augmente avec le nombre de pixels et plus

il y a de pixels `a lire, plus la variance σ2

RON augmente.

Avec la mˆeme approche, il est aussi possible de d´eterminer la variance de l’estimation de la phase par la m´ethode du centre de gravit´e, mais due au bruit de photons seulement ([Rousset et al., 1987]) : σ2 ph = π2 2nph _N T Nd 2 , (2.6)

avec NT la largeur `a mi-hauteur du spot en pr´esence de turbulence. Finalement, l’erreur de

front d’onde due au bruit qui entache la mesure de l’ASO peut s’´ecrire :

σ_Noise2 = σ2_RON+ σ2_ph (2.7)

Je souligne aussi que les d´etecteurs intensifi´es de type EMCCD ont une source de bruit suppl´ementaire qui est la dispersion de gain. L’impact de ce d´efaut est de diviser virtuellement le nombre de photo-´electrons par deux.

Le SH est un analyseur lin´eaire, mais plusieurs non-lin´earit´es peuvent intervenir si nous ne prenons pas quelques pr´ecautions. En particulier, il faut choisir un champ de vue des sous- pupilles suffisamment large pour ´eviter d’´eventuelles troncatures des spots, ce qui introduirait des biais dans l’estimation de leurs positions.

Il faut aussi consid´erer le repliement de spectre, ou l’aliasing, dˆu `a l’´echantillonnage spatial du front d’onde via les sous-pupilles. Cet ´echantillonnage engendre un repliement des hautes

2.2 L’analyse de front d’onde 37 fr´equences spatiales sur les plus basses `a cause de la p´eriodisation du spectre. On d´efinit la fr´equence d’´echantillonnage du SH par l’inverse de la taille de la sous-pupille d, ce qui signifie que pour diminuer l’impact du repliement sur la mesure, il faudrait diminuer la taille de la sous-pupille en d´epit du nombre de photons re¸cus par sous-pupille.

38 CHAPITRE 2. L’OPTIQUE ADAPTATIVE