Formalisme de calcul

8.1.1.1 Calcul de l’erreur sur les pentes

Je rappelle au lecteur que je travaille avec des pentes en seconde d’angle. Canary dispose d’un ASO sur l’axe qui va permettre de quantifier la qualit´e de la reconstruction tomographique. En effet, la strat´egie d´evelopp´ee pour Canary est de reconstruire les pentes du TS pour des raisons d’´etalonnage d´ej`a ´evoqu´ees au paragraphe 5.2.3.

Je rappelle aussi que Sβ est le vecteur de taille nβ×nsdes pentes sur l’axe, avec nβ le nombre

d’ASO sur l’axe et ns le nombre de pentes mesur´ees par chaque ASO. En l’occurrence, dans le

cas de Canary nβ = 1, c’est le TS, et ns= 72. De mˆeme, Sα est le vecteur de taille nα× ns de

toutes les pentes mesur´ees par les ASO hors-axes, avec nα le nombre d’ASO hors-axes (nα= 7

en phase B2). Aussi je note C la matrice de covariance de taille ns× naso par ns× naso de toutes

les pentes avec naso le nombre total d’ASO (8 en phase B2). La fa¸con dont sont entrelac´ees les

mesures dans le cas de Canary est donn´ee au paragraphe 6.2.1.1.

Par d´efinition l’erreur tomographique sur les pentes s’´evalue de la fa¸con suivante :

ε2 = trEh(Sβ − R.Sα)(Sβ− RSα)t

i

, (8.1)

qui repr´esente le crit`ere `a minimiser pour d´eterminer le reconstruceur MMSE. Dans ε, il y a des composantes qui ne sont pas dues `a la reconstruction tomographique, comme le bruit propre au TS qui est inclus dans Sβ. En d´eveloppant le produit dans l’´equation pr´ec´edente, j’obtiens

130 CHAPITRE 8. ´EVALUATION DES PERFORMANCES TOMOGRAPHIQUES

la relation suivante :

ε2 = trEhSβStβ − SβSαtRt− RSαStβ+ RSαStαRt

i

. (8.2)

Ainsi, on fait apparaˆıtre des matrices de covariance dans l’erreur tomographique. Plus parti- culi`erement, je d´efinis la matrice de covariance de l’erreur sur les pentes par :

Cεε = E

h

SβStβ − SβStαRt− RSαStβ+ RSαStαRt

i

. (8.3)

La trace de la matrice Cεε donne directement la variance du r´esidu de la reconstruction to-

mographique, ce que j’appelle encore l’erreur tomographique sur les pentes, mais il est aussi possible de tirer plus d’informations `a partir de sa structure. En particulier, je montrerai au paragraphe 10.2.5 que cette matrice peut ˆetre utilis´ee pour la reconstruction de FEP en MOAO. Pour l’instant, concentrons nous sur l’erreur tomographique uniquement. Je fais remarquer au lecteur que la trace des deuxi`eme et troisi`eme matrices dans l’´equation 8.2 sont identiques puisque nous avons RSαStβ = ((RSαStβ)t)t = (SβStαRt)t. L’´equation 8.2 peut ˆetre r´e´ecrite de

la fa¸con suivante : ε2 = trEhSβStβ i − 2trEhSβStα i Rt+ trREhSαStα i Rt. (8.4)

On peut maintenant identifier les blocs de la matrice de covariance des pentes C relatives `a diff´erents ASO (cf. paragraphe 5.2.2). Je rappelle que Cβα d´esigne le bloc de la matrice C relatif

`a la covariance entre les ASO sur l’axe et les ASO hors-axes. De la mˆeme fa¸con, Cαα et Cββ

d´esignent les blocs relatifs `a la covariance des ASO respectivement hors-axes et le TS entre-eux. L’´equation 8.2 peut alors se r´ecrire de la fa¸con suivante :

ε2 = tr_Cββ_{− 2tr}_CβαRt+ tr_RCααRt. (8.5) L’´equation 8.5 permet d’identifier trois termes dans l’erreur tomographique. Le premier terme tr_Cββ_{fait r´ef´erence au TS uniquement, alors que le dernier terme Cαα} met en ´evidence la pro- pagation des mesures hors-axes `a travers le reconstructeur. C’est le terme central −2trCβαRt



qui correspond `a la corr´elation entre les mesures hors-axes et sur l’axe qui permet de r´eduire l’erreur tomographique. Par exemple, si il n’y a pas de corr´elation entre les mesures des ASO, ce terme est nul et quelque soit le reconstructeur R, la reconstruction tomographique des pentes sur l’axe sera impossible avec la m´ethode MMSE. L’erreur tomographique serait alors simplement la somme des variances de la mesure sur l’axe β et de la reconstruction `a partir des mesures sur les axes α. Dans le cas inverse o`u les mesures entre ASO sont compl`etement corr´el´ees, comme c’est th´eoriquement le cas avec une couche unique dans le plan pupille, alors on a RCααRt = Cββ = CβαRt, ce qui conduit `a une erreur tomographique nulle, si on utilise

bien le reconstructeur R = Cβα(Cαα)−1 issu de l’´equation 5.2.

Maintenant, nous avons en pratique un reconstructeur R et une matrice de covariance de toutes les mesures CMeas _{qui a ´et´e estim´ee en moyennant les diff´erentes r´ealisations temporelles}

des ASO (cf. paragraphe 5.2.2). L’erreur tomographique sur les pentes est alors donn´ee par : (εMeas)2 = tr_CββMeas_{− 2tr}_CβαMeasRt+ tr_RCααMeasRt. (8.6)

8.1.1.2 Calcul de l’erreur sur le front d’onde

Pour dimensionner un syst`eme d’OA, il est n´ecessaire d’exprimer toutes les erreurs dans une unit´e ad´equate. En particulier, ce qui nous int´eresse r´eellement est l’erreur sur le front

8.1 D´ecomposition de l’erreur tomographique 131 d’onde g´en´eralement exprim´ee en nm2. Je note WFE_CMeas l’op´erateur qui `a une matrice de covariance des pentes retourne l’erreur sur le front d’onde1 _{en nm}2 _{de la fa¸con suivante :}

WFE_CMeas= trD+_CMeas(D+)t, (8.7) avec je rappelle D+_{la matrice de reconstruction des modes de Zernike (exprim´es en nm) `a partir}

des mesures des ASO. Je d´efinis σ2

TomoTS l’erreur tomographique sur le front d’onde mesur´ee

par le TS : σ2 TomoTS= WFE  CMeas ββ  − 2WFECMeas βα Rt  + WFE_RCMeas αα Rt  . (8.8)

Dans toute la suite, je noterai MSE (C, R) l’erreur tomographique sur le front d’onde en nm2

d’un reconstructeur R sur une matrice de covariance spatiale C : MSE (C, R) = WFECββ



− 2WFECβαRt



+ WFE_RCααRt. (8.9) Je fais remarquer au lecteur que cet op´erateur est lin´eaire en la matrice de covariance.