Les équations de Maxwell
Les travaux de Maxwell sont surtout restés célèbres pour les résultats auxquels le physicien britannique est parvenu. Ainsi, les « équations de Maxwell » naissent dans le mémoire de 1861. Trois relations sont présentes dans la deuxième partie de ce mémoire. À chaque fois, Maxwell compare les relations tirées du modèle aux lois expérimentales pour consolider les liens de son analogie. La première relation est établie lorsque des vortex (comme Maxwell, nous parlerons plutôt dans la suite de « cellules ») consécutifs ont des vitesses différentes. Sur la figure 2.3, la vitesse est prise selon l’axe z. Dans le cas d’un différentiel des vitesses, les billes auront un mouvement selon x. En adoptant la notation H pour la vitesse circonférentielle, et avec j le flux de billes on a jx= ∂yHz.
Figure 2.3 – Exemple de mouvement des particules.
En généralisant à trois dimensions, on obtient dans le système d’unité adéquat :
∇∧ H = j (2.3) On soulignera également que cette relation entre le courant électrique et l’excitation magné-tique est purement cinémamagné-tique, et ne fait donc pas intervenir de conditions sur la forme des cellules ou les actions de contact billes-cellules. En rapprochant cette loi de la loi d’Ampère ∇∧ H = J, où J est le courant électrique, et ayant en mémoire l’analogie entre vitesse et force magnétique, on en déduit celle entre flux de billes j et courant électrique J.30
30. Insistons sur le fait que, même s’il se base sur les résultats du Français, c’est Maxwell qui formule la « loi d’Ampère » telle que nous la connaissons, et qui pose que le travail subit par un pôle magnétique unité selon un trajet donné correspond à la valeur de l’intensité multipliée par l’angle solide sous lequel on voit le fil (soit 4π si le chemin embrasse le fil, où nul sinon). Sur ce point voir Darrigol 2000 (b), p. 142.
L’autre relation qu’on peut déterminer dérive du théorème du moment cinétique appliqué à une cellule.31 En notant T la force tangentielle appliquée à une cellule, le couple résultant ∇∧ T est égal à la dérivée du moment cinétique angulaire, proportionnel à µH. D’après la loi des actions réciproques, si τ1 désigne la force exercée par la cellule sur les particules (τ1 = −T ), on a :
∇∧ τ1 ∝ −∂µH∂t (2.4) Le coefficient de proportionnalité (égal à 1) est déterminé en utilisant la conservation de l’énergie. Encore une fois, c’est la comparaison avec la loi d’induction de Faraday qui permet de compléter l’analogie. Sous sa forme différentielle, la loi donne : ∇ ∧ E ∝ −∂µH∂t , avec E la force électromotrice, ce qui permet d’identifier la force τ1 qui meut les billes avec la force électromotrice E. Maxwell introduit également le vecteur A défini par µH = ∇ ∧ A qui lui permet de réécrire la loi d’induction de Faraday et de montrer que µH a une divergence nulle. Cellules et électrostatique
En janvier 1862, Maxwell publie sa troisième partie, dans laquelle il explique les phéno-mènes électrostatiques et les contraintes électriques dans les milieux. Poursuivant son objectif de donner une théorie plus cohérente de l’électrodynamique, et de donner une explication des phénomènes lumineux, Maxwell ajoute un nouvel élément à son modèle : la déformation des cellules.32
En supposant que les cellules aient un comportement élastique, la force −E que les billes appliquent sur celles-ci crée une contrainte de cisaillement, et donc une déformation δ telle que pour une petite déformation (effets linéaires) on a δ= -ǫE, où ǫ est le coefficient d’élasticité. La cellule subissant une déformation, elle entraîne un « déplacement » — nous reviendrons sur ce terme — des billes qui sont à son contact. Maxwell commet d’ailleurs une erreur d’interprétation en considérant que le nouveau « courant de déplacement » ∂δ
∂t est une composante du courant de conduction. Ce qui amène à :
31. Le théorème du moment cinétique, théorème de base de la mécanique, donne que pour un corps de moment cinétique L soumis à une somme de moments M on a : M = ∂L
∂t. Soulignons que pour la bonne application de ce théorème les moments cinétiques et moments de force doivent être considérés au même point.
32. Dans cette partie et la suivante, Maxwell utilise exclusivement le terme de « cellules » (cells) au lieu de « vortex », et considère qu’elles sont solides. La conception d’élasticité dans un vortex fluide pose en effet problème.
j = ∇ ∧ H + ∂δ∂t (2.5) En prenant la divergence de l’équation 2.5, on retrouve la conservation de la charge à condition que :
ρ = −∇ · δ (2.6) Maxwell modifiera cette conception du courant de déplacement, comme nous le verrons par la suite.33
Les vortex et la lumière
Dans la suite de ce mémoire, Maxwell aborde un point fondamental de son raisonnement, et que nous évoquerons régulièrement : le lien entre vitesse des perturbations et rapport des unités. D’un point de vue moderne, les courants de déplacement jouent un rôle fondamental pour décrire la propagation des phénomènes électriques et magnétiques, car c’est ce terme supplémentaire qui permet d’obtenir une équation d’onde de la forme ∆E − c12∂E∂t = 0. En partant de ses relations et en établissant une telle équation d’onde, Maxwell aurait pu trouver une expression pour la vitesse de propagation des perturbations. Mais ce n’est pas la démarche qu’il a suivie, et à aucun moment il n’écrit d’équation d’onde dans le mémoire « On Physical Lines of Force ».
Dans l’analyse qu’il fait de ce mémoire, Daniel Siegel avance deux justifications pour ces choix.34
D’une part, ce raisonnement revient à considérer que les courants de déplacement agissent comme un terme source pour la force magnétique. Si cette conception est aujourd’hui acceptée, elle est à contre-courant des idées de Maxwell, qui accorde la primauté aux forces, dont découlent les courants.35 La seconde raison concerne le rôle du milieu et la nature de la perturbation, que nous détaillerons dans la dernière partie de ce chapitre. Le raisonnement de Maxwell est donc bien différent de celui qui se base sur les équations, et il fait intervenir les différents paramètres de son modèle. Nous donnons ici un résumé de sa démarche, et
33. Cette erreur de conception sur le courant de déplacement n’a pas d’incidence sur l’équation d’onde déduite par Maxwell, car il a pris un coefficient de proportionnalité négatif entre δ et E. Elle est néanmoins sensible dans l’équation de conservation de la charge ci-dessus, ainsi que dans l’équation de Poisson. Sur ce point voir aussi Darrigol 2000 (b), p. 161.
34. Siegel 1991, pp. 120-143. 35. Siegel 1991., p. 126-7.
nous laissons le lecteur se reporter à l’ouvrage de Siegel mentionné ci-dessus pour plus de précisions.
Maxwell détermine dans un premier temps l’expression des forces d’après son modèle. Il calcule d’une part la force « électrostatique », comme étant celle que deux charges électriques séparées d’une distance unitaire exercent l’une sur l’autre à cause de leurs charges. D’autre part, il calcule la force « électromagnétique », qui est celle que ces deux mêmes charges, mises en mouvement (et constituant donc des courants), vont exercer l’une sur l’autre lorsqu’elles se déplacent pendant une unité de temps dans des conducteurs séparés d’une unité de distance. Notons R le rapport de la force électrostatique sur la force électromagnétique. Les forces étant quadratiques par rapport aux charges (comme dans la loi de Coulomb), à distance égale, le rapport de la charge électrostatique sur la charge électromagnétique sera égal à √
R.
Ce rapport tient, pour les scientifiques continentaux du milieu du XIXe siècle, une place importante dans la théorie. Weber exprime les interactions entre charges (qu’elles soient statiques ou dynamiques) selon une loi dépendant de la vitesse. Il effectue en 1856 des expé-riences avec Rudolf Kohlrausch pour déterminer les forces que deux charges exercent l’une sur l’autre selon qu’elles sont immobiles ou en mouvement. Il calcule le rapport de la charge électrostatique par la charge électromagnétique (ou, ce qui revient au même, l’unité élec-tromagnétique par l’unité électrostatique) et trouve une valeur pour ce paramètre √
R de 3, 1074.108 m/s.36
Mais comment Maxwell peut-il relier ce rapport aux paramètres mécaniques de son mo-dèle ? Le raisonnement que donne le Britannique, qui fait intervenir plusieurs facteurs nu-mériques, est long. Nous donnerons simplement les étapes, en nous basant sur le bilan qu’en fait Siegel : dans l’analogie que donne Maxwell, la force magnétique dans le milieu corres-pond à une vitesse et dépend de la masse volumique µ, qui apparaît dans l’équation 2.2 ; la force électrique, elle, est inversement proportionnelle au paramètre ǫ qui correspond au coefficient d’élasticité des cellules. Le rapport de la force électrostatique sur la force élec-tromagnétique est donc de l’ordre de 1/(ǫµ), et le rapport de l’unité élecélec-tromagnétique sur l’unité électrostatique est de l’ordre de 1/√ǫµ.37
Dans le cas d’un solide élastique, cette grandeur est justement la vitesse de propagation d’une onde transverse. Maxwell utilise la valeur de la vitesse de la lumière déterminée par
36. Siegel 1991, p. 123. Le fait que ce paramètre a la dimension d’une vitesse est justifié dans la théorie de Weber en considérant que deux charges statiques interagissent par leur charge simplement, et deux charges dynamiques par leur charge et leur vitesse. Weber et Kohlrausch déterminent ce paramètre dans un autre système d’unité, qui introduit un facteur √2, que nous ne détaillerons pas ici. Pour des précisions sur les systèmes d’unité voir Darrigol 2000 (b), p. 399.
Fizeau lors de ses expériences de 1849 et 1850 (voir Annexe n°3), qu’il compare au rapport des unités donné par les expériences de Weber et Kohlrausch. Il trouve un écart de 1,3% entre les deux grandeurs. Sa conclusion est alors l’identification du milieu de propagation de la lumière et de celui causant les phénomènes électrique et magnétique (voir page 438). Les courants de déplacement et l’électricité chez Maxwell
Outre la difficulté inhérente à la théorie des vortex de Maxwell, la diffusion de celle-ci a été freinée par certains contre-sens faits par les lecteurs du savant britannique. En particulier, la conception de l’électricité fut un point difficile. Comme nous l’avons signalé plus haut, Maxwell ne croyait pas en l’existence de ces idle wheels, mais celles-ci lui permettaient d’obtenir les lois de l’électricité, qui se comportait d’après lui comme un fluide incompressible. Si Maxwell se bornait à l’analogie, beaucoup de ses lecteurs ont voulu y voir une identité, et ont cherché à considérer l’électricité en tant que fluide réel.
Il en est de même pour la notion de « déplacement » ou de « courant de déplacement » (displacement current). Pour Maxwell, ce terme de « déplacement » signifiait un mouvement de l’électricité à l’intérieur du milieu, ce qui donnait naissance à un début de courant, mais en aucun cas à un mouvement de la cellule dans son ensemble. Whittaker souligne que ce terme de « déplacement » peut prêter à confusion et préfère voir ce phénomène comme un changement de structure. Concernant la charge électrique, en reprenant l’équation 2.6 on constate qu’elle est due à une non-uniformité du déplacement électrique, qui apparaît à la limite entre un milieu conducteur et un autre non-conducteur.38
Les fondations dynamiques
Depuis son mémoire de 1861, Maxwell utilise le vecteur A qu’il considère comme l’équi-valent mathématique de l’état électro-tonique de Faraday.39Dans la théorie dynamique qu’il construit trois ans plus tard, Maxwell lui donne le rôle d’impulsion (au sens lagrangien) pour le champ électromagnétique. Cette approche a en fait un intérêt majeur. Elle permet en effet de s’émanciper des mécanismes sous-jacents :40
38. Whittaker 1910, p. 280.
39. Maxwell ne considèrera le vecteur A comme un potentiel qu’en 1868, après l’ajout d’une jauge. Voir plus loin.
[Maxwell] réalisa que cette interprétation était essentiellement indépendante de tout mécanisme spécifique et pouvait être utilisée comme une fondation plus abs-traite pour la dynamique du champ magnétique. Il admit simplement que, via un mécanisme de liaison non spécifié, l’existence d’un courant électrique impliquait un mouvement dans le champ environnant.
Dans un mémoire intitulé « Dynamical Theory of the Electromagnetic Field » qu’il écrit en 1864 (le mémoire est officiellement publié en 1865), Maxwell jette les bases de ce qui deviendra une théorie complète, utilisant le formalisme lagrangien sans référence à un quel-conque modèle mécanique. Nous montrerons par la suite que ce mémoire est important en France, car il est celui auquel les physiciens se réfèrent lorsqu’ils parlent des débuts de la théorie électromagnétique de la lumière. En partant des lois de l’induction, Maxwell établit les relations pour deux systèmes de courants i1 et i2 :41
e′ 1− R1i1 = d dt(L1i1+ M i2) e′ 2− R2i2 = d dt(L2i2+ M i1) (2.7) où e′
k représente la tension du générateur (pour le circuit k = 1 ou 2), Rk la résistance du circuit, Lk l’inductance propre et M l’inductance mutuelle.42
En prenant ces coefficients d’inductance constants, le bilan d’énergie peut s’établir en multipliant les équations par ik, soit :43 e′1i1+ e′2i2 = R1i21+ R2i22+ d dt 1 2L1i 2 1+1 2L2i 2 2+ M i1i2 (2.8) Les deux premiers termes de droite représentent l’énergie perdue par effet Joule, et le terme dans la dérivée est ce que Maxwell appelle « l’énergie intrinsèque des courants ».44 En notant T cette énergie, les équations 2.9 peuvent s’écrire :45
41. Voir : Maxwell 1865.
42. L’inductance propre d’une bobine est définie par la relation Φ = Li, où i est le courant traversant un circuit et Φ le flux magnétique (flux de B) induit à travers ce même circuit. L’inductance mutuelle est définie pour deux circuits 1 et 2 par la relation Φ2= M i1, où i1 est l’intensité traversant le circuit 1 et Φ2 le flux magnétique créé par le circuit 1 dans le circuit 2. On a de même Φ1= M i2.
43. Les coefficients Lk et M sont pris constants pour simplifier le raisonnement. Cela signifie simplement que la position (notamment la forme) relative des circuits ne varie pas.
44. Maxwell 1865, p. 470. Voir également : Darrigol 2000 (b), p. 156-60.
45. Maxwell n’utilise pas explicitement les équations de Lagrange dans son mémoire de 1865. Il le fera dans son Treatise en 1873.
e′ 1− R1i1 = d dt ∂T ∂i1 e′ 2− R2i2 = d dt ∂T ∂i2 (2.9) Dans le formalisme lagrangien, la quantité p1 = L1i1 + M i2 correspond à l’impulsion associée à la vitesse généralisée i1 (c’est-à-dire p1 = ∂L
∂i1
, où L est le lagrangien du système). Maxwell pose simplement que cette quantité est l’impulsion électromagnétique pour le circuit 1.46
Avec cette nouvelle quantité, l’interprétation de Maxwell est largement modifiée :47
Avec l’interprétation en terme d’impulsion, le potentiel vecteur devint le concept central dans la théorie de Maxwell. La force électromotrice induite était simple-ment la dérivée temporelle de l’impulsion réduite. Maxwell supposa plus tard que l’impulsion du circuit était la circulation de cette impulsion électromagnétique A. Ce qui mène, en intégrant sur le circuit électrique, à :
Z
E.dl = −dtd Z
A.dl
Maxwell généralise l’expression de l’énergie intrinsèque des courants, en posant : T = 1
2 Z
J · AdV
où J = ∇ ∧ H est le courant total. En utilisant les vues de Faraday sur l’induction, Maxwell prend également pour l’induction magnétique B = ∇ ∧ A. Ces expressions lui permettent de reformuler l’énergie électromagnétique :48
T = 1 2
Z
B· HdV
Dans son mémoire de 1865, Maxwell revient également sur sa conception du déplacement D, qu’il rattache à la polarisation dans les diélectriques, comme Faraday : le « courant de déplacement » est vu comme un transfert de la polarisation. La force nécessaire pour établir un déplacement D doit être proportionnelle à celui-ci, soit E = D/ǫ. De plus, Maxwell
46. « we shall assume that the electromagnetic momentum », Maxwell 1865, p. 469. L’accentuation est nôtre.
47. Darrigol 2000 (b), p. 159-60.
48. Ibid. La seconde expression est obtenue à partir de la première en faisant une intégration par partie sur tout l’espace.
considère ce courant supplémentaire, non comme une composante du courant de conduction, mais comme une composante du courant total rotationnel. On a ainsi :
∇ ∧ H = j + ∂D
∂t (2.10)
Les conséquences sont d’ailleurs bien plus importantes que l’équation obtenue, car avec cette hypothèse, Maxwell considère que tout courant total est fermé, c’est-à-dire à divergence nulle. C’est même une hypothèse fondamentale car « le raisonnement dynamique de Maxwell implique la restriction aux courants fermés, car dans ce cas seulement le champ magnétique est entièrement déterminé par les courants ».49
Maxwell s’intéresse également à la propagation du potentiel vecteur A, qu’il sera amené à reconsidérer en 1868 — notamment par l’ajout d’une jauge ∇ ·A = 0.50De la même façon, il reconsidèrera le problème du déplacement électrique. En effet, d’après la théorie de la polarisation de Mossotti,51 dominante à l’époque, la densité de charge liée à une polarisation D est : ρ = −∇ · D. Cette expression entre en contradiction avec la conservation de la charge, puisqu’on obtiendrait avec cette hypothèse (en prenant la divergence de l’équation 2.10) : ∇ · j = −∂∇·D
∂t = +∂ρ∂t. Maxwell résout le problème en supposant, comme Faraday, que le concept de polarisation est supérieur au concept de charge. Par conséquent, la charge électrique est définie comme une inhomogénéité de la polarisation.
La théorie complète sera présentée quelques années plus tard dans son œuvre principale parue en 1873 : Treatise on Electricity and Magnetism (précisons notre notation : par la suite nous désignerons simplement ce livre par le Treatise de Maxwell, nous gardons ex-ceptionnellement le terme anglais pour le différencier de la traduction française, que nous évoquerons plus tard). Nous ne détaillerons pas la démarche calculatoire que Maxwell a eue dans l’établissement de sa théorie dynamique. Néanmoins, cet ouvrage est celui qui se répand dans les cercles scientifiques, notamment en France, où il est la source principale pour ceux qui enseignent Maxwell en particulier dans les établissements de l’enseignement technique supérieur. Aussi, nous rappelons simplement les grandes lignes de ce qui y est exposé.
La rédaction du Treatise est entreprise par Maxwell dès 1867. Son objectif avoué est d’écrire un ouvrage de référence sur l’électromagnétisme, et de pallier ainsi un manque :52
49. Darrigol 2000 (b), p. 161.
50. Voir sur ce point Darrigol 2000 (b), p. 163. 51. Ottaviano-Fabrizio Mossotti (1791-1863).
Il existe plusieurs traités de vulgarisation dans lesquels les phénomènes électriques et magnétiques sont décrits. Ce n’est cependant pas ce qui est souhaité par ceux qui ont été confrontés à des quantités à mesurer, et dont l’esprit ne se satisfait pas d’expériences d’illustration.
Il y a également une masse considérable de mémoires mathématiques qui sont de grande importance pour la science électrique, mais ils restent enfouis dans les volumineuses revues des sociétés savantes ; ils ne forment pas un système unifié ; ils sont de niveaux très inégaux et sont pour la plupart incompréhensibles sauf pour des mathématiciens déclarés.
J’ai donc pensé qu’un traité serait utile, qui aurait pour objectif principal de re-prendre le sujet entier selon une approche méthodique, et qui indiquerait également comment chaque questionnement est amené à être vérifié par les moyens actuels de mesure.
Maxwell reprend les principales caractéristiques de la théorie du champ qu’il a construite à partir des idées de Faraday. La primauté est donnée au champ électro-magnétique. Les concepts de charge et de courant électrique sont dérivés du concept de polarisation. La charge est une inhomogénéité de la polarisation, le courant en est une variation (dérivée temporelle dans le cas d’un diélectrique, expression plus complexe qui dépend des mécanismes microsco-piques dans un conducteur, à traiter empiriquement avec la loi d’Ohm j = σE). Le champ magnétique est toujours fermé, en accord avec l’idée des lignes de force de Faraday.53 Max-well refuse d’éliminer le potentiel vecteur A, lui donnant toujours une signification physique. Ce pas sera franchi par ses successeurs comme nous le verrons plus loin.