Erreurs de nombres décimaux

Même sans avoir à analyser a priori certaines productions d’élèves, nous préférons focaliser le regard sur les notions à aborder ou à enseigner dans le chapitre des nombres décimaux, ces notions nous donnent une idée des difficultés à prévoir. Selon l’article de Brousseau intitulé « problèmes de didactique des décimaux », les notions sont les suivantes : rangement, repérage, encadrement, transformation, addition, soustraction, multiplication, division et problème. L’apprentissage de ces notions provoque certains types d’erreurs que nous mettons en évidence comme suit :

Toutes ces erreurs peuvent se traduire par le fait que le nombre décimal est considéré par les élèves comme la juxtaposition d’un couple de deux entiers côte à côte.

Nans ce paragraphe, nous nous appuyons davantage sur des éléments expérimentaux plutôt que théoriques pour mettre en évidence les difficultés et les erreurs des élèves dans l’apprentissage des nombres décimaux. Les chiffres cités dans le tableau III.14 sont issus d’une évaluation effectuée pour identifier les acquis des élèves en ce qui concerne l’apprentissage de la notion de nombre décimal.

Classes 14 N° des élèves 1,2345>1,2 La grandeur de la partie décimale est un signe de croissance 1,2>1,2345 La grandeur de la partie décimale est un signe de décroissance Règles aveugles Application sans compréhension Autres CM2 294 32% 15% 23% 30% 6e 319 17% 12% 52% 19% 5e 814 13% 14% 54% 19% 4e 457 9% 16% 49% 26% 3e _{350 6% 10% 58% 26%} 2nd 283 5% 11% 58% 26%

Tableau III.14 : Chiffres sur les erreurs des nombres décimaux (Steinle & Stacey, 1998)

Le groupe intitulé « règles aveugles » focalise le regard sur une partie d’élèves qui commettent très peu d'erreurs de ce type en classe de CM2, or, aucune revendication n'est faite sur leur compréhension. Dans ce groupe, comme témoignent les entrevues, ce sont des élèves qui suivent aveuglément les règles et la compréhension des nombres décimaux peut en effet être assez limitée. Quelques années plus tard, nous constatons que le pourcentage de cette catégorie augmente chez les élèves : 58% des élèves de la dixième année (2nd) peuvent répondre au test de cette manière. Or, ce qui peut justifier ce résultat est l’abandon de cette notion, très peu parmi eux en ont fait depuis la fin de l'école primaire. Par conséquent, environ 40% des élèves des années 7 à 10 ne possèdent pas d'interprétation des nombres décimaux permettant d'ordonner correctement (et systématiquement) une paire de nombres décimaux.

Un autre tableau III.15 récapitule les différentes erreurs des élèves référencées dans des nombreux travaux de recherches

14 _{Ce sont des classes australiennes à Melbourne et l’évaluation s’est faite sur 2517 élèves dans 6 écoles}

Erreurs classiques Interprétations

1 12,3 < 12,13 Généraliser les règles appliquées sur les

nombres entiers 2 Compter de dixième en dixième à

partir de 5,9.

5,9 ; 5,10 ; 5,11 ; 5,12

Généraliser le concept du suivant qui s’applique aux nombres entiers

3 45,7 se lit quatre cent cinquante- sept

L’enlèvement de la virgule pour faire des opérations (technique opératoire)

4 Arrondir le nombre 3045,26 au dixième près, les élèves répondent 3050 ou 3050,26

Confusion entre dixième et dizaine

5 100 centimes : 0,100€ Le lien entre l’unité et les parts d’unité

n’est pas bien établi.

6 0,10 est vu comme virgule un-zéro Le zéro n’a pas de valeur à droite de chiffre dans la partie décimale

7 12-0,1=11 La virgule est une barre de séparation

entre deux nombres entiers

8 1,5h=1h05 ou 1,5h=1h50 1,5€=1€50 confusion de grandeurs

(durée et prix)

10 1,2 > 1,5232145 La partie décimale représente le

dénominateur et la virgule représente une barre de fraction

11 600>6 alors 0,600 >0,6 Le nombre de chiffres est un indicateur de grandeur

12 0,81 est plus près de 0,85 que de 0,8

Le nombre décimal a une écriture unique

13 6,9*10=60,90 Technique de rajout de zéro appliqué sur

les nombres entiers et l’écriture unique d’un nombre

14 2,1 et 2,2 sont des nombres consécutifs

Généralisation de concept de suivant utilisé dans les nombres entiers

Tableau III.15 : Récapitulatif des différentes erreurs dans les nombres décimaux

Trois notions interviennent pour interpréter les erreurs des nombres décimaux (Nombres entiers ; droite graduée ou numérique ; fractions : notamment fractions égales). La compréhension des nombres décimaux exige une bonne assimilation de la numération, notamment la conception de groupement (paquet de 10), de la valeur d’un chiffre selon sa position, extraire le nombre de dizaines ou de centaines, notion d’équivalence, manipuler des entiers (multiplier par 10, 100, etc.) et rechercher quotients et restes dans les divisions par 10, 100, autrement dit le calcul mental. Concernant la droite numérique : placer, intercaler, encadrer un entier entre 2 dizaines ou 2 centaines successifs, représenter une suite des nombres sur la droite avec des échelles différentes qui servent à l’équivalence des fractions. Les paragraphes suivants se focalisent davantage sur les origines des erreurs citées dans le tableau III.15.

La difficile transition entiers naturels/décimaux

La conception de la succession appropriée par les élèves lors de l’apprentissage des nombres entiers naturels (ℕ) n’a pas de sens dans les nombres décimaux (ⅅ). Par exemple, les nombres 3 ; 4 ; 5 sont des nombres entiers consécutifs, or, 3,1 ; 3,2 ; 3,3 ne le sont pas en ⅅ comme le pensent à tort certains élèves. Il y a une sorte de discontinuité comme entre l’arithmétique et l’algèbre cité plus bas. À cet égard, les connaissances installées chez les élèves sur N jouent un rôle « retardateur » sur la connaissance de ⅅ. Autrement, certains élèves restent attachés à un stade antérieur lors de l’apprentissage de nouveaux savoirs. Cela nous semble légitime parce que l’ancien savoir est vu comme un savoir de référence. Le conflit entre ancien et nouveau savoir induit les élèves en difficulté et en erreur. Le passage suivant nous semble pertinent et justifie notre propos précédent : « L’analyse des réponses des élèves aux testings réalisés dans les classes primaires (en Belgique) indique clairement l’influence des conceptions sur les nombres naturels dans le traitement des nombres décimaux » (Desmet et al., 2010, p. 111). En outre, l’enseignement de ce nouveau savoir ne convient pas au potentiel restreint de certains élèves. Le fait de se limiter à définir le nombre décimal comme un nombre à virgule ou à le suggérer ainsi la juxtaposition du couple d’entiers lors de la synthèse ou l’institutionnalisation est retenu à long terme par les élèves. Par exemple, en classe de 6e, 35% à 55% des élèves seulement ont réussi la multiplication de deux décimaux et environ 20% des erreurs de calcul se produisent au moment du placement de la virgule (Roditi, 2003). Ainsi, le fait d’y « remédier » en recourant à la technique15 ne favorise pas la situation. Il fallait plutôt déstabiliser les conceptions et les manières de faire déjà installées chez les élèves et les mettre en situations relativement éloignées de leurs compétences

(Vergnaud, 2000). Par exemple, mettre l’accent sur le sens de partage d’une unité en sous unités ou sur la valeur positionnelle des chiffres qui composent le nombre au lieu de réduire le sens à une virgule qui peut également provoquer des erreurs de type :

4 27

= 27,4

Ces erreurs sont dues au recours à un savoir antérieur (nombres entiers, par exemple), le rendre référentiel au lieu de parler de continuité provoque la difficile transition entre un ancien et nouveau savoir.

Perte de sens ou restriction de concept

Généralement, les élèves retiennent plutôt la technique et oublient la technologie. En effet, l’apprentissage des nombres entiers et les opérations sur ceux- ci amènent les élèves à penser implicitement la juxtaposition des chiffres dans le nombre. Par exemple, dans l’opération 23+55 = 78, les élèves lisent le nombre 23 (vingt-trois) et 55 (cinquante-cinq). Or, lorsqu’ils l’opèrent, ils voient les chiffres et non les valeurs des chiffres, ils les voient tel que 2+5= 7 et non pas 20+50=70. De ce fait, la juxtaposition des chiffres vient déjà de l’apprentissage des nombres entiers. Il fallait insister sur la valeur de chaque chiffre même dans les opérations. Ce qui prouve cette hypothèse est que les élèves ont du mal à écrire « quatre mille huit », certains l’écrivent 40008. D’ailleurs, il est simple de trouver le chiffre des dizaines dans le nombre 123 par exemple, mais difficile à trouver le nombre des dizaines, ce qui peut démontrer aussi un manque de sens dans le système de numération décimal. Voici un exemple concret qui peut dévoiler le dysfonctionnement dans le système décimal chez certains élèves :

16

D’ailleurs, « Un savoir théorique [technique], non justifié [technologie], serait perdu et n’aurait pas de sens et une pratique excessive sans débats, conduirait à des apprentissages par conditionnement et prématurés qui feraient obstacle aux étapes ultérieures » (Bkouche, 1991; Brousseau, 1981, p. 52‑53).

Ainsi, il existe deux méthodes ou techniques de comparaison les plus couramment répandues :

- Rendre les nombres à la norme : ajouter ou faire apparaitre des zéros dans le but d’égaliser les parties décimales de deux nombres comparés ;

- Chiffre par chiffre de gauche à droite ou faire un tableau : sans se rendre compte de la valeur de chaque chiffre. Cette technique apparait plus complexe que la précédente mais elle est plus intéressante surtout si on la justifie en s’appuyant sur la compréhension de l’écriture décimale.

Ces techniques sont rapidement intégrées par l’enseignant, sans ou après avoir introduit brièvement les éléments technologiques. Ces derniers ne sont pas simples à comprendre et à faire comprendre aux élèves, c’est la raison pour laquelle les enseignants se facilitent la tâche, ils ignorent « le casse-tête » de la technologie et ils passent directement à la technique opératoire. Là le sens mathématique de chaque notion serait perdu comme le dit Brousseau ci-dessus. D’ailleurs, le travail sur les techniques opératoires est aussi important que la conceptualisation (technologie) :

« [...] les connaissances numériques des élèves conditionnent la construction de techniques opératoires standard écrites (multiplication) et la mobilisation de procédures de calcul mental adaptées (décomposition additive et multiplicative des entiers). » (Butlen, 2007 cité dans Desmet et al, 2010, p. 107)

Une réalité choquante, 40% des élèves de 6e ne savent pas ordonner des nombres décimaux positifs. Trois règles erronées ont été proposées :

❖ Appliquer la règle de comparaison des entiers sur la partie décimale.

❖ Ranger en ordre inversé de la longueur de leur partie décimale (4,526<4,06<4,3) ;

❖ Le plus petit nombre est celui dont la première décimale est un 0 (4,06<4,3<4,249) (Sackur-Grisvard & Léonard, 1985).

Dispositif d’enseignement restreint

Lorsque l’enseignant propose souvent des exercices « arbitraires » de comparaison des nombres décimaux tels 12,43 et 12,2 qui sont soumis aux mêmes règles appliquées sur les nombres entiers et n’insiste pas suffisamment sur des cas particuliers comme 12,43 et 12,201, après réitération de ces exemples, les élèves pensent à tort qu’ils peuvent généraliser les règles de comparaison mises en œuvre pour les entiers sur les nombres décimaux. D’où vient la règle erronée : « plus le nombre a de chiffres, plus il est grand », qui fait qu’ils s’appuient sur la taille du nombre et non sur la valeur positionnelle des chiffres. Ce genre de réitération peut conduire à généraliser de cette façon. Ce défaut fait appel au problème « hors

norme »17 dit « l’âge du capitaine » (Baruk, 1998) où les élèves, sous l’influence de la norme qu’Astolfi appelle « le mauvais décodage de contrat didactique » se sentent obligés de résoudre le problème.

Un autre exemple tiré de l’article de Guy Brousseau publié dans la revue « Tangente éducation » met l’accent sur une origine importante des erreurs dans l’apprentissage des nombres décimaux ou même d’autres notions. En effet, quand les élèves du primaire commencent à apprendre la division euclidienne dans ℕ, une règle familière s’installe dans leur tête, peut-être introduite par le professeur, notamment si des contre-exemples ne sont pas assez proposés : celle du quotient toujours inférieur au dividende. Ensuite, lorsqu'ils enchaînent l’apprentissage des nombres décimaux, ils pensent pareillement (2 :0,5=1), se trompent et ceci les induit en erreurs récurrentes, car il s'agit d'obstacles épistémologiques. Pour y remédier : « expliquer ou commenter une question ou une réponse pour éclairer les élèves est un moyen assez efficace pour qu’ils évitent les erreurs ou qu’ils s’en corrigent. C’est la base de tout enseignement » (Brousseau, 2009, p. 6). Or, pour appréhender tout cela, il faut requestionner le lien entre les données mises en jeu et les moyens qu’elles ont dégagés, ce que Brousseau appelle le méta, qui est l’essence même de la connaissance.

Le changement de l’unité de référence

Une autre sorte de difficulté se manifeste lorsque l’on enseigne les nombres décimaux portant sur l’usage social de ces nombres. Autrement dit, les élèves sont à l’aise et familiarisés avec les grandeurs de la vie quotidienne (longueur, masse et prix). Par exemple, 2,5m = 2m 50cm, 2,5€ =2€ 50c. Ils traitent ces nombres en tant que deux parties disjointes, ils font séparément des opérations sur chacune et puis ils font la conversion. Ce type de traitement conduit à l’erreur suivante : 2,3h = 2h 30min. La représentation faussée de nombre décimal intégrée dans la tête de l’élève amène les élèves dans une impasse, voire les met dans un paradoxe. Ainsi, le fait de lire le nombre 2,35 comme deux virgule trente-cinq crée chez les élèves cette séparation. Il fallait le lire de la manière suivante : deux unités et trente-cinq centièmes ou deux unités, trois dixièmes et cinq centièmes, surtout au départ, il faut montrer aux élèves l’unité de référence (10, 100, 1000, etc.) et s’appuyer davantage sur le vocabulaire (dixième, centième, millième, etc.) ou ce qu’on appelle l’oralisation.

Le paradoxe entre métadonnées en jeu et antérieures

On invalide les règles appliquées par les élèves lors de la comparaison des nombres entiers et généralisées sur la comparaison des nombres décimaux en disant que ce n’est pas la méthode adaptée. En revanche, on leur demande, lors de la division euclidienne de deux nombres décimaux, de revenir à la méthode utilisée pour les nombres entiers. C’est un paradoxe, au lieu de mobiliser des métadonnées en jeu, on les sollicite pour mobiliser des connaissances antérieures. Prenons l’exemple de la division euclidienne suivante :

Figure III.2 : Exemple de la division euclidienne d’un nombre décimal par un entier

L’élève « s’est débarrassé » des virgules (multiplier les deux nombres par 10). Puis, il a appliqué l’algorithme de la division euclidienne pour des nombres entiers. La réapparition prévue de la virgule dans le résultat perturbe l’élève, qui se dit : comment la virgule va réapparaitre si je l’ai éliminée tout à l’heure en multipliant par 10 ?

Certes, le fait de mobiliser des métadonnées en jeu au lieu de revenir à des connaissances antérieures n’est pas simple. Cependant, il peut favoriser davantage la compréhension de la notion des nombres décimaux. Par exemple, chercher combien y a-t-il de deux dixièmes (0,2) dans le quatre. Il y a 5 *(0,2) dans le 1, puis fois 4, alors il y en a 20, n’oubliant pas qu’il y en a également 4 dans 0,9. En tout, il y a 24 de 0,2 dans 4,9. De même manière, on peut constater que dans 0,1 (le reste) il y a un 0,5 (1/2) de 0,2 et par conséquent 4,9 :0,2=24,5. C’est une méthode qui fait travailler les données des élèves ou leurs métadonnées dans la notion des nombres décimaux et les opérations sur cette dernière.

La représentation des nombres décimaux

Trouver les équivalents de nombre 0,5 comme 2

1

recourt à relier la construction du nombre à la mesure des longueurs. Autrement, faire intervenir deux registres différents : celui de la numération et celui de grandeurs et mesures. D’ailleurs, le fait de placer un ou des nombres décimaux sur une droite graduée représente une difficulté

majeure. Cette difficulté reflète l’ampleur du fossé entre la construction des nombres et la mesure des longueurs (Perrin-Glorian, 1992). Ainsi, faire travailler simultanément les élèves sur deux registres différents (numération ; grandeurs et mesures) pourrait les mettre en obstacle. De ce fait, il fallait que l’enseignant s’approprie bien la représentation des notions mathématiques (SCK) constituant le noyau de la connaissance mathématique (SMK) de PCK, cette SCK pourrait contribuer à surmonter certaines erreurs une fois que le concept est acquis.

Il ressort de ce qui précède que l’existence de certaines discontinuités ou de certaines fausses continuités entre les nombres naturels et décimaux citée plus bas par Vergnaud et Grugeon dans le cas de l’arithmétique et l’algèbre joue également, ici, un rôle très important dans les erreurs des élèves. Puisque les nombres naturels font partie des nombres décimaux (ℕⅅ), où les nombres naturels sont un cas particulier des nombres décimaux, l’on ne peut appliquer l’adage latin « Specialia generalibus derogant » qui est très connu dans le droit français. Cet adage signifie que les règles spéciales dérogent aux règles générales, ce qui n’est pas le cas en mathématiques. De ce fait, il pourrait être préférable avant de passer d’un cas particulier (nombres naturels) à un cas plus général (nombres décimaux) de rappeler les conditions suivantes :

➢ Les nombres entiers ne peuvent pas résoudre tout problème.

➢ Les décimaux résolvent certains problèmes dont les entiers sont incapables. ➢ Les règles de comparaison qui différencient les nombres entiers des décimaux, ne sont pas les mêmes.

➢ Dans les décimaux, la notion de successeur n’a pas de sens tel qu’il est en entier. Entre deux décimaux, on peut en intercaler autant qu’on veut.

➢ Le nombre décimal possède des chiffres dont la signification est précisée par son unité.

➢ Les opérations sur les nombres décimaux n’ont pas le même sens que sur les entiers, par exemple la multiplication des décimaux ne grandit pas forcement. (Desmet et al., 2010)

Enfin, six types d’erreurs présumées peuvent être derrière les erreurs dans les nombres décimaux. Le tableau III.16 peut les récapituler.

Niveaux Origines d’erreurs Explications ou exemples 1 La difficile transition entre

nombres entiers et décimaux

Plus la grandeur de la partie décimale est longue plus le nombre est grand 2 Perte de sens ou restriction de

concept

Le 2 dans 25 est vu comme un chiffre 2 et n’est pas 2 dizaines ou 20

3 Dispositif d’enseignement

restreint ou réduit

Le fait de proposer des exercices arbitraires de type unique engendre une sorte de régularité chez les élèves

4 Le changement de l’unité de référence 1,5h= 1h05 ou 1h50 car 1,5€=1€50 5 Le paradoxe entre métadonnées en jeu et antérieures

Recourir aux nombres entiers lors qu’on fait la division des nombres décimaux, alors qu’on dit qu’il y a une discontinuité

6 La représentation des nombres

décimaux

Faire intervenir deux domaines différents (numération et grandeurs et mesures)

Tableau III.16 : Catégories d’erreurs dans les nombres décimaux

1.3.2.

Difficultés et erreurs classiques en