Document 1 : productions d’élèves

Nous commençons par analyser le premier document, celui des productions d’élèves. Nous nous intéressons plus particulièrement aux questions suivantes : est-ce que les procédures d’élèves sont correctes ou non ? Quelles sont les origines ou les causes de ces erreurs ? Tout cela en nous appuyant sur les tableaux intermédiaires que nous avons cités dans le chapitre I.

Comme nous sommes devant dix-neuf exercices ou productions d’élèves dont une bonne partie est homogène au niveau des erreurs, nous ne voulons pas ennuyer le lecteur en les analysant ici. Si vous êtes intéressé par l’analyse détaillée, vous pouvez vous rendre à l’annexe 1. Nous repérons les productions de même nature, autrement dit les erreurs ayant la même origine.

Nous faisons en sorte de catégoriser les exercices proposés selon les erreurs commises, nous tenons à faire un tableau qui regroupe les erreurs selon leurs origines immédiates sans aller plus loin dans l’analyse, ce sera l’objectif de notre analyse ultérieure focalisée sur le tableau IV.3 de notre méthodologie de recherche.

Types d’erreurs Explications Exercices Total

I=Erreurs de calcul Erreurs de complément à 10 : 8+3=12 1 ; 4 9 Erreurs de table du 9 : 9×6=63/56/55/52/ ; 9×5=35 9 ; 10 ; 11 ; 14 ; 16 ; 17 ; 19

II=Alignement à gauche Les nombres sont alignés sur la gauche 4 ; 7 ; 8 3

III=Erreurs dues à la virgule

Oublier de placer la virgule dans le résultat 4 ; 7 ; 11 ; 15

8 Traiter la virgule comme un zéro 3 ; 8

Virgule mal placée 14 ; 18 Juxtaposition de deux nombres entiers 14 ;

IV=Erreurs dues à la retenue

Echanger une dizaine contre 10 unités ou l’inverse ou bien 10 dixièmes contre une unité

5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 14

5

V=La non prise en compte de la partie

décimale

Ignorer complétement la partie décimale ou la mettre juste dans le résultat

9 ; 12 ; 13

3

VI=Erreurs relatives aux entiers

Traiter les nombres décimaux comme des entiers : l’alignement par exemple

2 ; 5 ; 6 3 VII=Erreur due à un défaut mental Dyslexie 13 1

Tableau V.1 : Types d’erreurs extraits des productions données par le formateur Fc

En faisant un autre tableau pour voir l’appartenance des exercices aux catégories d’erreurs adoptées dans le tableau V.1, nous avons un nouveau tableau qui débouche sur un graphique. Productions d’élèves Types d’erreurs Erreurs de calcul

Alignement Virgule Retenue Partie décimale Entiers Défaut mental 1 × 2 × 3 × 4 × × × 5 × × 6 × × 7 × × × 8 × × × 9 × × 10 × 11 × × 12 × 13 × × 14 × × × 15 × 16 × 17 × 18 × 19 × Totaux 9 3 8 5 3 3 1

Tableau V.2 : Appartenance des exercices aux catégories d’erreurs

Le graphique suivant donne une idée plus claire de la fréquence des types d’erreurs dans les productions.

Graphique V.1 : Fréquence des types d’erreurs dans les 19 productions

À partir de ce graphique, nous constatons que les productions 6, 7, 9 et 13 regroupent tous les types d’erreurs. De plus, ces productions comme 5 et 6 ou 7 et 8 ou bien 1, 10, 16, 17 et 19 traitent les mêmes types d’erreur. En outre, le graphique V.2 montre clairement le rassemblent des productions autour des types précis d’erreur comme celles dues à la virgule et aux erreurs de calcul.

Graphique V.2 : Rassemblent des productions autour de certains types d’erreurs

La question qui se pose est la suivante : pourquoi le formateur propose-t-il autant de productions ? quel intérêt ? peut-être que nous pourrons répondre à cette question lors de l’analyse a posteriori.

Il faut bien noter qu’une erreur ou une réponse erronée ne peut pas être interprétée d’une seule manière, parfois, plusieurs facteurs se chevauchent pour causer

une erreur, c’est pourquoi nous nous proposons de montrer un autre type d’analyse de ces erreurs. Cette nouvelle analyse porte seulement sur deux catégories :

- Erreurs non spécifiques aux décimaux

De nombreuses erreurs relèvent d’autres notions que celle du nombre décimal. Par exemple, lors de l’analyse a priori des productions d’élèves, nous remarquons que certains commettent des erreurs dues à la non-maîtrise des tables de multiplication (cf. ex : 1 ; 9 ; 10 ; 11 ; 16 ; 17 ; 19). D’autres ont des difficultés avec la retenue et l’alignement (cf. ex : 2 : 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ;). La complexité des opérations sur le nombre décimal peut engendrer éventuellement ce type d’erreur relatif à une ou des notions antérieures.

- Erreurs spécifiques aux décimaux

Nous distinguons dans cette catégorie deux types d’erreurs. Le premier type se focalise sur les erreurs de techniques comme le placement de la virgule dans le résultat (cf. ex 18). Le second type s’axe sur une conception erronée, incomplète ou mal installée lors de l’apprentissage du nombre décimal. Par exemple, le passage de la retenue de la partie décimale à la partie entière (cf. ex 17).

À partir de cette deuxième analyse, nous pouvons introduire notre typologie développée dans le chapitre III et signalée dans notre méthodologie de recherche, notamment dans le Tableau IV.3 dans le but de trouver les origines lointaines de ces erreurs. Par exemple, l’erreur de l’élève 13 ne relève pas d’une notion mathématique, c’est plutôt une ou plusieurs fonctions neuropsychologiques se cachent derrière ce trouble33. Dans notre typologie, nous considérons ce type d’erreur comme hors mathématiques (HM). D’autres erreurs pourront rejoindre ce type, comme les erreurs dues à l’apprentissage de la langue. Par exemple, des élèves allophones ne peuvent pas comprendre l’énoncé ou la consigne, cela peut engendrer certaines erreurs mathématiques comme le mauvais usage des données mathématiques.

Aussi, l’apprentissage des nombres entiers précède celui des nombres décimaux et le passage entiers/ décimaux n’est pas toujours aisé. De ce fait, les élèves généralisent abusivement certaines règles utilisées dans les nombres entiers sur les nombres décimaux : l’un est entier et l’autre est un décimal comme si c’était deux entiers, c’est le cas des élèves : 2, 3, 5, 6, 8, 9, 12 et 13. Il s’agit d’un type d’erreur appelé « transition difficile ». De plus, un défaut dans une connaissance antérieure, comme les tables de multiplication ou d’addition et la retenue, a été relevé dans les productions : 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 14, 16, 17 et 19. En outre, certains élèves

réduisent le dispositif pour résoudre le problème. Par exemple, les élèves 6 et 8 inversent les nombres dans la soustraction pour contourner la retenue.

Types d’erreurs Explications Exercices Total

HM (hors mathématiques)

Dyslexie 13 1

TD (transition difficile) Entre entiers et décimaux 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 8 ; 9 ; 12 ; 13

8 DCA (Défaut dans une

connaissance antérieure) Calcul et retenue 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 14 ; 16 ; 17 ; 19 13

NEC (Notion en état de construction)

Placement de la virgule ou virgule vaut un zéro

8 ; 18 2

DR (dispositif réduit) L’élève réduit le dispositif 6 ; 8 2

AU (autres) Oublie de la virgule 4 ; 7 ; 11 ; 15 4

Tableau V.3 : Autres types d’erreurs extraits des productions données par le formateur Fc

Un graphique peut illustrer en chiffres la répartition des erreurs dans les deux types principaux.

Graphique V.3 : Répartition des erreurs dans notre typologie d’erreurs

Par conséquent, si nous méditons ces dix-neuf productions d’élèves, après une phase d’analyse a priori, nous nous apercevons qu’une proportion importante de ces productions données tourne autour des erreurs non spécifiques des décimaux. Certes, les deux types discutés sont récurrents. Cependant, la majorité des erreurs proposées portent sur des conceptions non spécifiques des nombres décimaux (la notion en jeu). Le fait de diversifier les types des erreurs est un atout dans le but de renseigner les étudiants sur les multiples erreurs effectuées par les élèves et de les outiller sur des types d’erreurs déjà établis par des chercheurs (cf. Astolfi, Charnay, Portugais, etc.). Enfin, le fait de faire travailler les formés sur dix-neuf exercices pour traiter seulement deux ou trois types d’erreurs ne nous semble potentiellement pas pertinent et/ou important. À cet égard, le choix d’exercices effectué par le formateur peut se traduire

par deux hypothèses : le premier présupposé porte sur le fait qu’il a « pioché » tous les exercices n’ayant pas la bonne réponse et qui par conséquent contiennent forcement des erreurs. La seconde hypothèse présume qu’il a tendance à entrainer les stagiaires sur ces erreurs en tant que telles, vu leur fréquence. Pour le moment, nous ne sommes pas en mesure d’adopter ni l’une ni l’autre, en attendant d’une part l’analyse des autres documents et d’autre part l’analyse d’entretien, de questionnaire et a posteriori, ces hypothèses restent à vérifier.

1.2. Document 2 : tableaux des produits et