Difficultés et erreurs classiques dans la géométrie

La géométrie est souvent considérée par de nombreux élèves comme l’une des matières ou disciplines les plus difficiles. Par exemple, le calcul de l’aire d’un rectangle est une vraie difficulté pour plus de la moitié des élèves de 6e (Roditi, 2003). En effet, les élèves doivent avoir la compétence de visualiser, décrire, dessiner des figures et identifier chacune d’elles.

Une recherche indonésienne menée en classe de 4e ₍₈e _{année d’école)}

s’intéressant aux erreurs en géométrie, notamment à l’intelligence spatiale (perception spatiale), montre que dans chaque catégorie de cette perception, les erreurs sont différentes dans la résolution de problèmes. Ces erreurs sont dues à une défaillance visuelle chez les élèves et par la suite à un niveau faible dans les potentiels d'intelligence spatiale (Riastuti, Mardiyana, & Pramudya, 2017). Le fait de développer cette intelligence chez les élèves leur permet d’atteindre un bon niveau dans l’apprentissage de la géométrie et de la comprendre de manière optimale. Dans

l’intelligence spatiale, on peut mettre en évidence cinq indicateurs qui donnent une idée générale de cette conception : l’aptitude à déterminer la direction verticale ou horizontale d’un objet (perception); à concevoir le mouvement ou le déplacement d’une configuration (visualisation) ; à déterminer les figures produites par une rotation en 2 et 3 D (rotation mentale) ; à associer la configuration d’un objet avec un autre (relation spatiale) ; à deviner l’image complète d’un objet à partir d’un angle précis (Maier, 1998).

Selon de nombreux travaux de recherche, lorsque l’élève résout un problème, il est peut-être soumis aux obstacles suivants :

- Lecture de l’énoncé ;

- Compréhension de l’énoncé ou de la consigne ; - Transformation des données (décontextualisation) ;

- Le codage ;

- Les techniques opératoires ou compétences opérationnelles.

L’étude divisant les élèves en trois catégories d’intelligence (faible, moyenne, forte) discute les solides suivants : cube ; pavé droit ; prisme ; pyramide. D’après cette étude, le premier type d’erreurs dû à la lecture de l’énoncé, soit le tri des données en vue de déterminer les données utiles, n’a été commis dans aucune catégorie d’intelligence spatiale. Cependant, selon les auteurs, dans l’erreur de compréhension, certains élèves ne possèdent pas l’habileté d’interpréter les questions et les stratégies de manipulation des questions. Les élèves ont du mal à distinguer les informations pertinentes et impertinentes dans la tâche. Dans ce contexte, 9% des élèves faibles, 4,5% des moyens et 3% des forts ont commis ce type d’erreurs. Ensuite, les erreurs dans la transformation se résument à ne pas pouvoir choisir la bonne formule et le bon théorème ou concept pour résoudre le problème, dans ce type, 15% des élèves faibles commettent des erreurs des transformations, 6% pour les moyens et 3% pour les forts. Par exemple, pour déterminer la hauteur de pavé droit de longueur et de largeur données, les élèves ne choisissent pas la bonne formule d’aire. Concernant l’erreur de compétence opérationnelle, les élèves choisissent la bonne formule mais se trompent au niveau de l’opération (cf., la distributivité). Cette catégorie d’erreurs accorde le même pourcentage que la catégorie précédente celle des erreurs des transformations. Ces chiffres montrent que les élèves ayant un bon niveau d’intelligence spatiale se trompent davantage lors du codage et du processus opérationnel. Les résultats de cette étude montrent qu’il existe une sorte de corrélation entre l’intelligence spatiale que possèdent les élèves et leurs erreurs en géométrie.

Dans une autre recherche, menée par Blanco (2001), qui étudie les erreurs dans l’apprentissage et l’enseignement des concepts de base en géométrie lors de résolution de problèmes effectuée par des étudiants en formation, l’auteur met l’accent sur l’importance de rechercher l’origine des erreurs dans le processus d’enseignement que les futurs professeurs des écoles eux-mêmes ont vécu à l’école primaire.

Certaines recherches montrent que les étudiants rencontrent des difficultés lors qu’ils font des activités en relation avec la hauteur d’un triangle (Azucárate, 1997; Gutiérrez & Jaime, 1999). Plus particulièrement, à partir de nos vécus auprès des élèves comme des futurs professeurs des écoles, nous remarquons que le fait de dessiner une hauteur dans un triangle obtus est un véritable obstacle qui amène à un paradoxe. Ils peuvent définir correctement la hauteur mais ils la dessinent mal. De plus, ils ne sont pas censés savoir où elle ne va pas, à moins qu’on leur montre les sous-concepts et fasse la différence entre la définition et la représentation d’un concept. En l’occurrence, l’erreur peut être due à la généralisation d’une propriété presque commune aux droites remarquables (les médianes, les bissectrices et les médiatrices dans un triangle se croisent à l’intérieur du triangle). D’ailleurs, la restriction ou la réduction de la notion de perpendicularité amène les élèves à ne pas voir les deux droites perpendiculaires si elles ne se croisent pas. Ce n’est pas lié à la définition en tant que telle comme le dit Blanco mais plutôt à une partie de cette définition. Mémoriser la définition ne garantit pas la compréhension du sens. Or, comprendre le sens peut schématiser les procédures et articuler les propriétés (Azucárate, 1997).

Blanco parle d’une image mentale ancrée (représentation) chez les élèves autant que les futurs professeurs, cette image est associée à certains cas particuliers (cf. triangle aigu) ou à certains concepts. Par exemple, en voyant le quadrilatère ci-contre, une confusion se crée chez les élèves en disant qu’il s’agit d’un losange. Tout simplement, parce que l’image mentale d’un carré, chez un élève, est toujours « droit » et non pas oblique comme celle-ci.

Figure III.3 : Un carré vu par les élèves comme un losange du fait sa direction

La remédiation proposée par Blanco se résume à focaliser le regard sur les variables de concept ou les sous-concepts. D’ailleurs, Blanco a analysé le modèle d’enseignement de la géométrie mis en œuvre par les stagiaires (PES) interrogés dans son étude et met en évidence les remarques suivantes :

- Proposer des exemples standards, qui abordent des concepts variés, dans lesquels les triangles sont typiques (aigu ou rectangle). De plus, la hauteur dessinée est toujours relative à la base horizontale.

- Donner une forte concentration à la définition. Or, l’analyse des propriétés reste à la marge.

- Les activités proposées reflètent un processus répétitif, ne sortent pas du manuel et restent typiques.

- Manque d’expérimentation spécifique permettant d’approfondir la

compréhension d’un concept et par la suite de se servir de la connaissance acquise pour résoudre un autre problème.

- La pénurie des ressources et des matériels, le livre est souvent la seule ressource utilisée.

Ces pratiques, le fait de proposer des exemples ou des processus répétitifs et typiques, amènent les élèves à la généralisation puis à l’erreur. Par exemple, si à chaque fois, la base est représentée horizontalement et dans un triangle aigu, l’élève ne prend pas connaissance d’autres cas particuliers comme les hauteurs dans le triangle obtus.

Dans la littérature consultée sur des recherches étudiant les erreurs des élèves en géométrie, nous remarquons que les origines de ces erreurs ne sortent quasiment pas de la norme algébrique comme la généralisation des règles de comparaison utilisées pour les nombres entiers sur les nombres décimaux, la mauvaise représentation mathématique des notions et d’autres origines. En outre, les conceptions et procédures erronées résultent de la surgénéralisation ou surspécialisation des règles dans le but de donner du sens au nouveau savoir. Vu la mauvaise intervention pédagogique ou didactique face à cette conception, l’erreur persiste à long terme (Ashlock, 2001).

En conséquence de tout ce qui précède et pour une dernière fois, nous remontons en généralité en croisant notre typologie synthétisée dans le tableau III.18 avec celle fusionnée dans le tableau III.13 en vue de déduire notre typologie finale. Dans ce contexte, nous mettons côte à côte les deux typologies.

En croisant les deux tableaux, nous constatons qu’une erreur relative à la situation psychologique de l’apprenant et à la forme ou la structure de problème peut correspondre, dans notre typologie, au type d’erreurs « hors mathématique ». De plus, l’erreur relative au dispositif d’enseignement existe dans les deux typologies. Une erreur d’application ou celle relative à un défaut dans la procédure peut se situer sous plusieurs catégories dans notre typologie, soit transition difficile, soit éléments ostensifs. Elle peut être interprétée autrement. C’est-à-dire que l’erreur peut être due à un défaut dans une notion antérieure ou à une notion en état de construction. En tout cas, une erreur peut appartenir à différents types d’erreurs. Vu le croisement entre les deux typologies, nous constatons que la nôtre a besoin d’être complétée par d’autres types comme le défaut dans une connaissance antérieure ou le défaut dans une notion ou connaissance en état de construction. Par exemple, le défaut dans une connaissance antérieure peut correspondre au type d’erreur dit épistémologique dans l’autre typologie. En outre, la notion en état de construction engendre des erreurs non négligeables, donc nous ajoutons ces types à notre typologie. Nous pouvons classer le reste des erreurs dans une catégorie dite « autres », ce sont des erreurs qui n’appartiennent pas aux autres types existants de la typologie.

Après plusieurs tentatives pour créer une typologie plus logique et plus générale, nous arrivons à la dernière étape pour monter notre propre typologie qui reste non- exhaustive et à affiner dans des recherches ultérieures. Le tableau III.19 est une dernière version qui résume le fruit de notre travail tout au long de ce chapitre.

Catégories Explications ou exemples

Hors

mathématiques

Français ; chimie ; psychologie, mémorisation. Ex : -(a+b)=-a+b est une erreur due à l’apprentissage de la langue

Transition difficile Comme il y a plusieurs branches en mathématiques (algèbre, arithmétique, géométrie, etc.), le passage et l’articulation entre elles peuvent induire les élèves en erreur comme erreur de généralisation des concepts ou de raisonnement. Ex : 2x +3 =5x ou bien (a+b)2= a2+b2 en s’appuyant sur (a.b)2 =a2.b2 Défaut dans une

connaissance antérieure

Par exemple, un élève qui résout une équation de premier degré et commet une erreur dans la somme des nombres relatifs.

Notion en état de construction

Par exemple l’élève commet des erreurs lors l’apprentissage de la multiplication des nombres décimaux comme le placement de la virgule. Eléments ostensifs L’élève ne voit pas les marques implicites par

exemple 2x représente un seul objet pour lui et lorsqu’il est devant le calcul (2x)2, il met 2x2, il ne visualise pas 2×x ou bien un autre exemple x=0x . Dispositif réduit - Lorsque l’enseignant réduit le dispositif à des cas particuliers (ex : se contenter de calculer l’aire de triangle rectangle empêche les élèves de calculer l’aire d’un triangle quelconque et d’utiliser la même formule) ;

- Lorsque l’élève réduit le dispositif pour qu’il puisse résoudre le problème (ex : considérer un triangle dessiné à main levée comme un triangle rectangle pour utiliser le théorème de Pythagore qu’il maitrise. Autres Le reste des origines ou les erreurs dont on ne

Tableau III.19 : Typologie finale d’erreurs des élèves