Empilement d’intégrales et positionnement du problème du couplage entre

problème du couplage entre les réactions de

photosynthèse et respiration et le transfert radiatif

Une qualité reconnue de la méthode de Monte Carlo est la facilité avec laquelle se fait l’ajout de domaines d’intégration à un algorithme existant. Pour illustrer cela, considérons les algorithmes 1 et 3. Le premier permet de calculer une valeur moyennée sur le volume ( ) à partir des valeurs locales supposées connues. Le deuxième (algorithme 3) permet de déterminer les valeurs locales de . Nous allons donc donner un nouvel algorithme qui permet de déterminer

en fusionnant les deux précédents1

. Cet algorithme consiste alors à échantillonner une position dans le volume réactionnel (intégrale sur le volume) puis, à partir de ce point échantillonner un chemin optique jusqu’aux surfaces éclairantes (intégrale sur les chemins optiques).

Algorithme 4 : Calcul de , avec échantillonnage « inverse » des chemins optiques

(1) Une position du volume est échantillonnée aléatoirement et de façon uniforme (2) Une direction d’émission est tirée aléatoirement et de façon uniforme sur

l’ensemble des directions partantes de

(3) Une longueur d’absorption est échantillonnée selon la densité de probabilité des longueurs d’absorption donnée par l’équation I.41.

(4) Un poids est attribué au photon en fonction de sa position d’absorption :

a. Si est plus petite que la distance à la première surface rencontrée, le photon est absorbé dans le volume par une microalgue, ce chemin optique part du volume et finit dans le volume, il n’existe pas physiquement, son poids est égal à 0. L’algorithme va à l’étape (5).

b. Si est plus grande que la distance à la première surface rencontrée, le photon est absorbé par la surface.

i. Si la surface est non émettrice, le chemin optique n’existe pas physiquement, son poids est égal à . L’algorithme va à l’étape (5). ii. Si la surface est émettrice, le poids du chemin optique vaut .

L’algorithme va à l’étape (5).

(5) L’algorithme boucle à l’étape (1) en incrémentant les indices 1 d’une unité jusqu’à avoir effectué réalisations

Nous sommes donc passés d’un algorithme qui évalue local pour une position donnée à un algorithme qui évalue en ajoutant simplement une étape : l’échantillonnage de la position de départ dans le volume. Une valeur locale peut ainsi être moyennée sans avoir à mailler le volume, ce qui constitue un avantage considérable. Le maillage du volume pose un certain nombre de questions complexes comme le raffinement du maillage ou les symétries du problème. Ces questions sont complètement évacuées grâce à la méthode de Monte Carlo. De

1

L’algorithme ainsi obtenu est parfaitement équivalent à l’algorithme 2, qui évalue la proportion de photon absorbés dans le volume réactionnel (c'est-à-dire via l’équation III.10). Cependant il sera plus facile de raffiner le modèle à partir de ce nouvel algorithme, qui échantillonne les chemins optiques en « inverse ».

plus le maillage est dépendant de la géométrie considérée, l’éviter permet d’implémenter un même algorithme quelle que soit la géométrie. Cet exemple illustre bien la flexibilité des algorithmes de Monte Carlo, et la facilité avec laquelle le modèle peut être complexifié. Dans le chapitre 4 lorsque nous ajouterons les aspects spectraux, nous ajouterons simplement l’échantillonnage d’une longueur d’onde.

Non seulement l’ajout de domaines d’intégration est facile en pratique, mais en plus il ne change pas le temps de calcul. En effet, le temps de calcul d’un algorithme de Monte Carlo est piloté par l’intégrale qui a la plus grande source de variance, c'est-à-dire l’intégrale la plus difficile à faire converger (Dauchet et al., 2013). Dans tous les algorithmes présentés dans ce manuscrit, il s’agira de l’intégrale sur les chemins optiques. De plus, en termes de temps de calcul, l’opération la plus longue est aussi l’échantillonnage des chemins optiques, qui demande de générer une grande quantité de nombres aléatoires1 et de calculs d’intersections (voir section III.3.3). En revanche l’ajout d’un échantillonnage sur le volume, ou sur la distribution des longueurs d’ondes, n’induit pas d’augmentation du temps de calcul perceptible. À même nombre de réalisation, les algorithmes 3 et 4 demandent des temps de calcul similaires. Un calcul intégral ( ) ou un calcul sonde ( local) demandent le même temps de calcul, ce qui constitue une autre qualité reconnue des algorithmes de Monte Carlo.

Il reste cependant une intégrale que l’on ne va pas pouvoir ajouter facilement au modèle : celle qui concerne le couplage non linéaire. La vitesse locale de réaction est une fonction non linéaire de la vitesse locale spécifique d’absorption des photons (égale à ) , on rappelle l’équation I.19 du chapitre 1 : _(I.19)

Le passage à l’intégrale sur le volume est inenvisageable du fait de cette non linéarité : (III.12)

1 _{La génération d’un nombre aléatoire est une opération coûteuse en temps, puisqu’il faut notamment}

s’assurer de l’indépendance des tirages. Lorsque l’on ajoutera les réflexions et les diffusions multiples lors de l’échantillonnage des chemins optiques, le temps de calcul sera donc plus long.

En effet dans cette équation, est lui-même le résultat d’un empilement d’intégrales (sur les longueurs d’ondes, sur les chemins optiques qui finissent au point , etc.).

Une approche possible consisterait à concevoir un algorithme qui échantillonnerait une position dans le milieu, puis calculerait en échantillonnant un grand nombre de chemins optiques depuis cette position (comme dans l’algorithme 3). Pour chaque position, il serait alors nécessaire de tirer un nombre suffisamment grand de photons pour obtenir une précision satisfaisante. Le maillage du volume est évité, et l’algorithme reste indépendant de la géométrie. Cependant si on considère qu’il faut échantillonner 106 chemins optiques par position, et 106 positions pour moyenner convenablement sur le volume, cela nous conduit à échantillonner 1012 chemins optiques. Le temps de calcul nécessaire à l’algorithme 3 est ainsi multiplié ainsi par 106. La qualité des algorithmes de Monte Carlo, qui est de préserver des temps de calcul raisonnables malgré l’ajout de domaines d’intégration, est perdue et cela est uniquement dû à la non linéarité de la loi de couplage (Dauchet, 2012; Dauchet et al., 2016).

Dans ce paragraphe, il s’agit simplement de positionner la difficulté conceptuelle que pose le couplage non linéaire. Dans le chapitre 5 nous utiliserons un algorithme proposé par Dauchet (2012) qui permet de résoudre ce problème en conservant un temps de calcul raisonnable (environ seulement 30 fois plus important que pour l’algorithme 3). La méthode utilisée s’applique à une loi de couplage non linéaire mais continue et infiniment dérivable, ce qui est bien notre cas. Cependant l’algorithme perd en partie la vision séquentielle, de progression dans les échelles, et donc l’intuitivité d’autres algorithmes.

Dans le document Développement et modélisation d'un photobioréacteur solaire à dilution interne du rayonnement (Page 122-125)