2.3 Simulations de Monte Carlo cin´etique
2.3.2 Echelle de temps et pi´egeage de la lacune 49 ´
Dans l’algorithme `a temps de r´esidence que nous utilisons, l’incr´ement de temps corres- pondant `a un pas Monte Carlo est obtenu en prenant l’inverse de la somme des fr´equences de transition pour l’ensemble des ´ev´enements r´ealisables, c’est-`a-dire dans le cas d’un m´e- canisme cin´etique d’´echange lacunaire la somme des fr´equences d’´echange de la lacune avec ses douze premiers voisins. L’´echelle de temps correspondant `a une simulation est ensuite obtenue en sommant l’ensemble de ces incr´ements de temps. N´eanmoins, nous imposons `a la boˆıte de simulation de ne contenir qu’une seule lacune. La concentration de lacune dans nos simulations est donc fixe et diff`ere de la concentration exp´erimentale ce qui fausse les ´echelles de temps obtenues.
Il est possible d’effectuer des simulations Monte Carlo avec une concentration variable de lacunes en introduisant dans la boˆıte de simulation une source et un puits de lacune [53, 54] de fa¸con `a ce que le nombre de lacunes pr´esentes dans la boˆıte de simulation s’adapte automatiquement `a la concentration r´eelle. Ceci peut ˆetre int´eressant afin de reproduire les effets dus aux cin´etiques de formation de d´efauts lorsque leurs concentrations ´evoluent sur des temps du mˆeme ordre de grandeur que ceux de la pr´ecipitation. L’introduction d’une source et d’un puits de lacune devient ´egalement n´ecessaire lorsque les lacunes sont pi´eg´ees `a l’int´erieur des pr´ecipit´es car dans ce cas il n’y a plus de lacune pr´esente dans la solution solide pour faire ´evoluer le syst`eme.
Ceci n’est pas le cas ici : mˆeme s’il y a une forte attraction entre la lacune et Sc, la lacune ne diffuse pas `a l’int´erieur des pr´ecipit´es. Le seul effet de fixer la concentration de lacune `a une valeur diff´erente de la concentration exp´erimentale est de modifier les ´echelles de temps. Par rapport aux temp´eratures consid´er´ees (T ≥ 450◦C) et aux tailles de boˆıte
utilis´ees (Ns = 1003 ou 2003), la concentration CVM C de lacune dans nos simulations Monte Carlo est plus faible que la concentration de lacune exp´erimentale, CVexp. De ce fait, la diffusion de tous les atomes dans nos simulations s’en trouve ralentie. Afin de corriger ce ralentissement de la cin´etique, il nous faut multiplier les ´echelles de temps par un facteur correctif ´egal au rapport CM C
V /C exp
V . En outre, la concentration exp´erimentale connue est la concentration de lacunes dans l’aluminium pur CVexp(Al). Par cons´equent, la concentration de lacunes calcul´ee dans les simulations Monte Carlo pour renormaliser l’´echelle de temps doit ´egalement correspondre `a celle dans l’aluminium pur. Pour les solutions faiblement concentr´ees en solut´e, on peut consid´erer que cette concentration est donn´ee par CM C
V (Al) = 1/ [Ns(1− 13x0X)] si on suppose que tous les sites qui ne sont pas occup´es par un atome de solut´e ou bien ne sont pas premiers voisins d’un atome de solut´e correspondent `a de l’aluminium pur. Cette d´efinition de la concentration de lacune dans l’aluminium pur n’est formellement correcte que pour une solution solide al´eatoire dans la limite dilu´ee. Cependant, les concentrations des solutions solides que nous avons ´etudi´ees ´etant suffisamment faibles, nous avons suppos´e que cette expression restait valable pour des solutions solides faiblement concentr´ees. L’incr´ement de temps « r´eel » correspondant `a un ´ev´enement Monte Carlo est donc donn´e par
∆t = 1 Ns(1− 13x0X)CVexp(Al) 1 P12 A=1WA−V , (2.19)
WA−V ´etant la fr´equence d’´echange de la lacune avec un de ses douze voisins (´Eq. 2.12). Afin de tenir compte du pi´egeage de la lacune par les atomes de solut´e, l’´echelle de temps est obtenue en sommant seulement les incr´ements de temps correspondant `a des configurations o`u la lacune se trouve dans l’aluminium pur, c’est-`a-dire o`u la lacune a uniquement des atomes Al comme premiers voisins. Cette m´ethode est ´equivalente `a celle employ´ee par Le Bouar et Soisson [57] qui calculent la fraction du temps pass´e par la lacune dans le solvant puis multiplient par cette fraction l’´echelle de temps obtenue par sommation de tous les incr´ements de temps.
Nous avons v´erifi´e que cette concentration effective de lacunes dans les simulations Monte Carlo diff´erente de la valeur physique n’affecte pas les cin´etiques de pr´ecipitation obtenues en effectuant des simulations pour des tailles de boˆıte diff´erentes et donc pour des valeurs diff´erentes de CM C
V . Ainsi, pour le recuit d’une solution solide de concentra- tion nominale x0
Zr = 0.5 at.% `a 450◦C, nous avons effectu´e deux simulations avec une boˆıte contenant 1003 sites et une avec une boˆıte contenant 2003 sites. Aux fluctuations pr`es, les cin´etiques de pr´ecipitation obtenues pour chaque simulation sont tout `a fait simi- laires (Fig. 2.9) indiquant ainsi que, comme pr´evu, la concentration de lacune n’a d’autre influence que de jouer sur l’´echelle de temps. De mˆeme pour le syst`eme Al-Sc, o`u l’inter- action solut´e-lacune est attractive, les cin´etiques ne sont aucunement modifi´ees lorsque les simulations sont effectu´ees sur des tailles de boˆıte diff´erentes.
0 10−5 2×10−5 3×10−5 0 50 100 150 200 t (s) Np / Ns 0 100 200 < nZr >p (at.) 0.004 0.005 xZr 0 0.1 0.2 0.3 α2 Zr Ns = 100 3 Ns = 2003
Fig. 2.9 : Influence de la taille de boˆıte Ns et donc de la concentration de lacune CVM C sur la cin´etique de pr´ecipitation de Al3Zr au cours d’une simulation Monte Carlo d’un recuit `a 450◦C pour une solution solide d’aluminium de concentration nominale x0Zr= 0.5 at.%.