Diffraction d’un mode de cavité par le réseau

Nous considérons ici les situations où le réseau modifie peu les modes guidés par le système multicouche. Une approche perturbative est alors possible, dans laquelle on peut calculer les pertes par diffraction subies par le mode guidé. Cette demarche est inspirée par le travail de Xu et al. [103]. Dans cette référence, on a étudié une cavité complexe, constituée de métal parfait et d’une couche de GaAs homogène. Le réseau est supposé d’épaisseur nulle et le champ électromagnétique est obtenu par maillage des conditions aux limites sur l’interface métal-diélectrique.

Nous reprenons ici le même problème, mais en appliquant la méthode modale, et prenant en compte les différentes couches du dispositif. On considère la polarisation TM, et une propagation non-oblique β = 0. Dans la pratique ceci est le cas d’un ruban laser inter-sous-bande, suffisamment étroit par rapport à la longueur d’onde.

Tout d’abord on calcule le mode guidé de la cavité planaire comportant les mêmes couches (le réseau est remplacé par une couche métallique homogène). On obtient ainsi les amplitudes (Pe

k0, Qe

k0) d’ordre zéro dans la décomposition de Rayleigh. La démarche consiste ensuite à écrire les équations de diffraction comme dans le paragraphe 3.2.3, en annulant les termes de source extérieurs u^e, et en se servant des amplitudes (P_k0^e , Q^e_k0) comme nouveaux termes de source. Les deux contraintes suivantes doivent être respectées : 1 + ρ^e0_{M k}R^e0_kM2e^2iγk0Lk = 0, R^e₀ = 0 (3.90) On aboutit alors à l’équation suivante pour les amplitudes (Ae

m, Be

m) des modes guidés dans les fentes :

Fig. 3.9 – Fraction de la puissance extraite par un réseau en or Pout^/P0 pour un dispositif avec couches de contact d’épaisseur L_a = L_b = 0.3 µm et de dopage C_a = C_b = 3 × 10¹⁸ cm⁻³, et trois valeurs différentes pour l’épaisseur de la zone active L.

 S_m 0  = (M₁+ M_Sn6=0M₂)_TM Ae m Be m  (3.91) S_m = ¹ α^I0mεkQ e k0(1 + R_kM^e0 2e^2iγk0Lk) (3.92)

Dans la dernière équation, les matrices sont restreintes sur le cluster TM. En plus, dans la matrice des sommes, tous les termes contenant l’indice de Rayleigh n = 0 sont nuls.

Lorsqu’on résout l’équation de dispersion du mode, on trouve une fréquence complexe ω = ω⁰+ iω⁰⁰= f (α). Cependant dans l’équation (3.91) on a utilisé un champ non-amorti S_m(ω⁰) comme source ; ceci revient à considérer un régime permanent dans lequel une source externe (telle que le pompage électrique dans un laser) reconstitue l’énergie du mode guidé. Ce point est important, car la definition des pertes par diffraction qui va suivre n’a de sens qu’en régime permanent.

Dans la suite on posera Qe

k0 = 1 (rappelons que le mode est défini à une normalisation près). On aura besoin de la composante S_x du vecteur de Poynting, moyennée sur la

section du dispositif (la dimension transverse est prise comme égale à l’unité) : S_x= ^ω 0ε₀α|Te kM2eiγkLk|2 P iL_i X i Re{εi}Gi |Te iM2eiγiLi|2 (3.93)

Les coefficients G_i sont introduits dans l’annexe A. La composante verticale du vecteur de Poynting Sz, rayonnée dans le substrat S, et moyennée sur une période, est donnée par Sz =^X n6=0 Re(γan)εa|Re an|2 α2 n (3.94) Suivant la référence [103], on définit le coefficient de couplage du réseau C :

C = ^Sz

Sx ^(3.95)

Les pertes par diffraction par unité de longueur A_g sont alors données par [103] :

A_g = C

P

iL_i ^(3.96)

Soient A les pertes par unité de longueur du mode guidé dans le système multicouche, obtenues par exemple par l’expression (2.22), et P₀ la puissance rayonnée dans le mode. Alors la puissance P_out découplée par le réseau s’écrira [104] :

P_out = P₀ ^Ag

A_g+ A ^(3.97)

A la figure 3.9 on a tracé la fraction de la puissance extraite Pout/P0 du mode TM fondamental en fonction de la fréquence, pour une cavité complexe, pour trois épaisseurs L différentes de la région active de la cavité : L = 10 µm, 5 µm et 1 µm. La cavité possède des couches de contact d’épaisseur La = Lb = 0.3 µm et de dopage Ca = Cb = 3 × 10¹⁸ cm⁻³. Le réseau possède les paramètres du paragraphe précédent : h = 0.4 µm, a = 7.5 µm et d = 15.0 µm. Pour obtenir la convergence, on a utilisé M = 9 paires de modes guidés dans les fentes et 2 × N + 1 = 41 ordres de Rayleigh.

Le rapport P_out/P₀ reste faible devant 1, ce qui justifie à posteriori l’approche per-turbative. Cependant, ce rapport reste élevé par rapport à la grandeur T /αl qui mesure l’extraction de la puissance par la tranche de la cavité (paragraphe 2.4.2, équation (2.57)), notamment pour les cavités de faible épaisseur.

Les résultats numériques montrent une ouverture des fenêtres d’extraction de largeur d’environ 2 THz. La n-ième fenêtre correspond à la condition que la composante γan soit un nombre réel. En plus, connaissant l’indice effectif du mode n_{ef f}, introduit dans le paragraphe 2.2.4, on peut vérifier facilement que les fenêtres sont centrées autour d’une fréquence νc donnée par :

ν_c = ^c

(a) (b)

Fig. 3.10 – (a) Image par microscopie électronique du réseau métallique fabriqué au LPN, pour les expériences en transmission et réflexion dans le domaine THz. Le réseau a une épaisseur de h = 400 nm, période d = 100 µ et ouverture a = 50 µm. Il est déposé sun un substrat Si d’épaisseur L = 450 − 500 µm. (b) Dispositif expérimental pour les mesures THz résolues en temps [106].

Ce résultat est compatible avec la théorie habituelle des réseaux de diffraction de second ordre [105]. En particulier, on voit sur la figure 3.9 que pour la cavité la moins épaisse L = 1 µm, la fenêtre d’extraction se déplace vers les basses fréquences, ce qui est consistant avec les résultats du paragraphe 2.2.4, selon lesquels l’indice effectif du mode augmente lorsque l’épaisseur de la cavité diminue.

Sur la figure 3.9 on voit également que la puissance extraite de la cavité ne suit pas une évolution monotone avec l’épaisseur de la cavité ; notamment l’extraction de la cavité est maximale pour la cavité d’épaisseur L = 5 µm. On peut expliquer ce comportement par le fait que si les pertes par diffraction A_g augmentent globalement lorsque l’épaisseur de la cavité diminue, les pertes par propagation A augmentent aussi, mais pas à la même vitesse ; le rapport A_g/A suit alors une évolution non-monotone.

Nous avons également vérifié que pour une cavité d’épaisseur donnée le rapport Pout/P0 augmente lorsque l’ouverture du réseau a augmente, ce qui est consistant avec les résultats de la référence [103].

On peut facilement modifier le modèle pour inclure les effets du gain d’un milieu laser (il suffit pour cela de modifier l’expression de la constante diélectrique de la zone active ε₁). Elle peut être ainsi mise en oeuvre pour l’optimisation des dispositifs laser. La nature semi-analytique du modèle permet une exploration plus rapide et efficace d’une large gamme de paramètres de conception par rapport à une modèle FDTD [73], avec une meilleure compréhension des effets physiques en jeu.