Description du modèle

Objectif du modèle

Le comportement des matériaux ferroélectriques étant de nature assez complexe, le but du

formalisme publié par C. M. Landis est de proposer un modèle semi-phénoménologique basé

sur des considérations thermodynamiques rigoureuses, et permettant d’obtenir une

formula-tion tensorielle complète du couplage des contraintes électrique et mécanique. Il existe par

ailleurs des modèles micro-électromécaniques précis qui traduisent le mouvement des murs de

domaines à l’échelle des cristallites pour ensuite modéliser le comportement d’un polycristal

ferroélectrique. Cependant, ces modèles vont de pair avec des temps de calculs très longs à

cause du grand nombre de variables internes nécessaires à la modélisation, et ne fournissent

pas une compréhension fine des micro-mécanismes qui sont mis en jeu du fait de leur

réso-lution par méthode des éléments finis. Le modèle que l’on va utiliser repose quant à lui sur

deux variables internes (ou variables d’état) qui sont le vecteur de polarisation électrique

rémanente et le tenseur de déformation rémanente du matériau.

En considérant l’évolution du matériau piézoélectrique depuis son état initial non polarisé

jusqu’à son état après polarisation (retour du champ électrique à zéro), on peut faire

ap-paraître la déformation rémanente 𝜀

𝑟

𝑖𝑗

et la polarisation rémanente 𝑃

𝑟

constitutives de la piézoélectricité 1.14 et 1.15 présentées dans le Chapitre 1. On peut alors

écrire avec le formalisme utilisé par Landis :

𝜀

_𝑖𝑗

−𝜀

^𝑟_𝑖𝑗

=𝑠

^𝐸_{𝑖𝑗𝑘𝑙}

𝜎

_𝑘𝑙

+𝑑

_𝑘𝑖𝑗

𝐸

_𝑘

(4.12)

𝐷

_𝑖

−𝑃

_𝑖^𝑟

=𝑑

_𝑖𝑘𝑙

𝜎

_𝑘𝑙

+𝜅

^𝜎_𝑖𝑗

𝐸

_𝑗

(4.13)

Avec :

— 𝜀

_𝑖𝑗

tenseur des déformations mécaniques

— 𝑠

𝐸

𝑖𝑗𝑘𝑙

tenseur des souplesses élastiques à champ électrique constant

— 𝜎

_𝑘𝑙

tenseur des contraintes mécaniques

— 𝑑

_𝑘𝑖𝑗

tenseur des coefficients piézoélectriques

— 𝐷

_𝑖

vecteur de déplacement électrique

— 𝐸

_𝑘

vecteur du champ électrique

— 𝜅

^𝜎_𝑖𝑗

tenseur des constantes diélectriques à contrainte mécanique constante

Les Équations 4.12 et 4.13 définissent le comportement linéaire du matériau piézoélectrique

une fois polarisé.

Lors des phases de polarisation (ou de dépolarisation), le basculement des dipôles électriques

et des domaines ferroélectriques vont entraîner une évolution non linéaire et irréversible de

la déformation 𝜀 et du déplacement électrique 𝐷. Le principe du modèle proposé par Landis

consiste à décrire ce comportement non linéaire en définissant des lois d’évolution analogues

aux Équations 4.12 et 4.13, mais sous forme incrémentale.

˙

𝜀

_𝑖𝑗

=𝑠

^𝐸,𝑡_{𝑖𝑗𝑘𝑙}

𝜎˙

_𝑘𝑙

+𝑑

^𝑡_𝑘𝑖𝑗

𝐸^˙

_𝑘

(4.14)

˙

𝐷

_𝑖

=𝑑

^𝑡_𝑖𝑘𝑙

𝜎˙

_𝑘𝑙

+𝜅

^𝜎,𝑡_𝑖𝑗

𝐸^˙

_𝑗

(4.15)

L’exposant t représente le module tangentiel des tenseurs de souplesse, de piézoélectricité et

de permittivité diélectriques. Les points au-dessus des grandeurs représentent une variation

infinitésimale de la grandeur. La base du modèle repose alors sur la détermination des

expres-sions analytiques de ces modules tangentiels qui permettent ensuite de décrire les évolutions

non linéaires du matériau au travers des expressions 4.14 et 4.15.

Modélisation du basculement des domaines

On part de l’énergie libre de Helmoltz. Elle peut se décomposer en deux termes :

Où Ψ

𝑠

correspond à la partie réversible de l’énergie libre et Ψ

𝑟

représente une contribution

supplémentaire à l’énergie libre et caractérisant l’état interne du matériau (l’hypothèse est

donc faite que la déformation et la polarisation rémanente caractérisent entièrement celui-ci).

Pour un système électrique et mécanique couplé, le premier terme de l’Équation 4.16 peut

s’écrire en supposant ce système isotherme [IKE96] :

Ψ

^𝑠

= ¹

2^𝑐

𝐷 𝑖𝑗𝑘𝑙

(𝜀

_𝑖𝑗

−𝜀

^𝑟_𝑖𝑗

)(𝜀

_𝑘𝑙

−𝜀

^𝑟_𝑘𝑙

)−ℎ

_𝑘𝑖𝑗

(𝐷

_𝑘

−𝑃

_𝑘^𝑟

)(𝜀

_𝑖𝑗

−𝜀

^𝑟_𝑖𝑗

) + ¹

2^𝛽

𝜀 𝑖𝑗

(𝐷

_𝑖

−𝑃

_𝑖^𝑟

)(𝐷

_𝑗

−𝑃

_𝑗^𝑟

) (4.17)

On retrouve alors, à partir de l’énergie libre de Helmholtz, deux autres équations constitutives

de la piézoélectricité qui traduisent le champ des déformations 𝜎

_𝑖𝑗

et le champ électrique 𝐸

_𝑖

(Chapitre 1) :

𝜎

𝑖𝑗

= ^𝜕Ψ

𝜕𝜀

_𝑖𝑗

⁼

𝜕Ψ

^𝑠

𝜕𝜀

_𝑖𝑗

^=𝑐

𝐷 𝑖𝑗𝑘𝑙

(𝜀

𝑘𝑙

−𝜀

^𝑟_𝑘𝑙

)−ℎ

𝑘𝑖𝑗

(𝐷

𝑘

−𝑃

_𝑘^𝑟

) (4.18)

𝐸

_𝑖

= ^𝜕Ψ

𝜕𝐷

_𝑖

⁼

𝜕Ψ

^𝑠

𝜕𝐷

_𝑖

⁼−ℎ

_𝑖𝑘𝑙

(𝜀

_𝑘𝑙

−𝜀

^𝑟_𝑘𝑙

) +𝛽

_𝑖𝑗^𝜀

(𝐷

_𝑗

−𝑃

_𝑗^𝑟

) (4.19)

De plus, en dérivant Ψ

^𝑠

par rapport à la déformation et la polarisation rémanente, et en

utilisant une transformation de Legendre, on obtient les expressions suivantes :

𝜕Ψ

𝑠

𝜕𝜀

𝑟 𝑖𝑗

=−𝜎

_𝑖𝑗

+¹

2

𝜕𝑐

𝐷 𝑝𝑞𝑟𝑠

𝜕𝜀

𝑟 𝑖𝑗

(𝜀

_𝑝𝑞

−𝜀

^𝑟_𝑝𝑞

)(𝜀

_𝑟𝑠

−𝜀

^𝑟_𝑟𝑠

)− ^𝜕ℎ

^𝑞𝑟𝑠

𝜕𝜀

𝑟 𝑖𝑗

(𝐷

_𝑞

−𝑃

_𝑞^𝑟

)(𝜀

_𝑟𝑠

−𝜀

^𝑟_𝑟𝑠

)

+¹

2

𝜕𝛽

_𝑝𝑞^𝜀

𝜕𝜀

𝑟 𝑖𝑗

(𝐷

_𝑝

−𝑃

_𝑝^𝑟

)(𝐷

_𝑞

−𝑃

_𝑞^𝑟

) =−𝜎

_𝑖𝑗

−𝜎¯

_𝑖𝑗

(4.20)

𝜕Ψ

𝑠

𝜕𝑃

𝑟 𝑖

=−𝐸

_𝑖

+ ¹

2

𝜕𝑐

^𝐷_{𝑝𝑞𝑟𝑠}

𝜕𝑃

𝑟 𝑖

(𝜀

_𝑝𝑞

−𝜀

^𝑟_𝑝𝑞

)(𝜀

_𝑟𝑠

−𝜀

^𝑟_𝑟𝑠

)− ^𝜕ℎ

^𝑞𝑟𝑠

𝜕𝑃

𝑟 𝑖

(𝐷

_𝑞

−𝑃

_𝑞^𝑟

)(𝜀

_𝑟𝑠

−𝜀

^𝑟_𝑟𝑠

)

+¹

2

𝜕𝛽

_𝑝𝑞^𝜀

𝜕𝑃

𝑟 𝑖

(𝐷

_𝑝

−𝑃

_𝑝^𝑟

)(𝐷

_𝑞

−𝑃

_𝑞^𝑟

) = −𝐸

_𝑖

−𝐸^¯

_𝑖

(4.21)

On note que 𝜎¯

_𝑖𝑗

et _𝐸¯

𝑖

ont été défini à partir de ces Équations 4.20 & 4.21. On définit

ensuite, à partir du deuxième terme de l’Équation 4.16, les tenseurs de champ électrique

rémanent 𝐸

_𝑖^𝐵

et de champ de déformation rémanente𝜎

_𝑖𝑗^𝐵

tels que :

𝜎

_𝑖𝑗^𝐵

= ^𝜕Ψ

𝑟

𝜕𝜀

𝑟 𝑖𝑗

(4.22)

𝐸

_𝑖^𝐵

= ^𝜕Ψ

𝑟

𝜕𝑃

𝑟 𝑖

(4.23)

Il faut maintenant définir un critère pour la transformation du système correspondant au

basculement des domaines. On définit alors le taux de dissipation du travail par unité de

volume _∆˙ comme étant égal au taux total de travail appliqué au système moins la vitesse à

laquelle le travail est stocké dans l’énergie libre de Helmoltz. On a alors :

˙

∆ = 𝜎

_𝑖𝑗

𝜀˙

_𝑖𝑗

+𝐸

_𝑖

𝐷^˙

_𝑖

−Ψ = ˆ^˙ 𝜎

_𝑖𝑗

𝜀˙

^𝑟_𝑖𝑗

+ ˆ𝐸

_𝑖

𝑃^˙

_𝑖^𝑟

(4.24)

Avec :

— 𝜎ˆ

_𝑖𝑗

=𝜎

_𝑖𝑗

−𝜎

𝐵 𝑖𝑗

+ ¯𝜎

_𝑖𝑗

— et _𝐸ˆ

𝑖

=𝐸

_𝑖

−𝐸

_𝑖^𝐵

+ ¯𝐸

_𝑖

La seconde loi de la thermodynamique nous impose alors un taux de dissipation non négatif

durant les phases de basculement des domaines :

˙

∆ = ˆ𝜎

_𝑖𝑗

𝜀˙

^𝑟_𝑖𝑗

+ ˆ𝐸

_𝑖

𝑃^˙

_𝑖^𝑟

≥0 (4.25)

Cette inégalité est alors vérifiée lorsque chaque état interne du polycristal (𝜀

𝑟

, 𝑃

𝑟

) vérifie

l’équation d’une hypersurface Φ appelé « surface de switch », de type convexe et contenant

l’origine dans l’espace(𝜎ˆ

_𝑖𝑗

, _𝐸ˆ

_𝑖

). On a donc durant les phases de basculement de domaine :

Φ(ˆ𝜎

_𝑖𝑗

,𝐸^ˆ

_𝑖

, 𝜀

^𝑟_𝑖𝑗

, 𝑃

_𝑖^𝑟

) = 0 (4.26)

En supposant l’application de contraintes mécanique et électrique d’amplitude et de direction

quelconque dans l’espace à trois dimensions, l’état électromécanique interne du matériau sera

caractérisé par le couple vecteur-tenseur (𝜀

^𝑟_𝑖𝑗

,𝑃

_𝑖^𝑟

) donnant donc potentiellement jusqu’à neuf

variables internes à déterminer. Les surfaces de switch sont donc les hypersurfaces définissant

les valeurs minimales des champs électriques et de déformation appliquées à partir desquelles

les murs de domaines commencent à se déplacer. L’étude des différentes combinaisons de

basculement des domaines lors de l’application d’un champ électromécanique associé aux

équations incrémentales présentées précédemment permet alors d’obtenir une expression des

modules tangentiels recherchés.

Détermination des valeurs de polarisation et de déformation rémanente à

satu-ration pour implémentation dans le modèle

Pour un matériau ferroélectrique, les valeurs que peuvent atteindre à saturation la

défor-mation rémanente et la polarisation rémanente sont limitées. Si le modèle phénoménologique

utilisé peut prédire le comportement de la céramique piézoélectrique pour un état rémanent

(𝜀

^𝑟_𝑖𝑗

, 𝑃

_𝑖^𝑟

) donné, il ne peut cependant pas prédire les valeurs maximales du couple (𝜀

^𝑟_𝑖𝑗

, 𝑃

_𝑖^𝑟

)

à saturation. Il est alors nécessaire de trouver un moyen de déterminer les états à saturation

et de les implémenter au modèle précédent afin d’éviter que le modèle ne permettent des

combinaisons aberrantes polarisation – déformation rémanente.

Par conséquent, un modèle micro-électromécanique développé par Landis et al. a été

uti-lisé. Ce modèle reprend dans ses fondements des modèles antérieurs proposés par Kamlah

[KAM01], Frölich [FRO01], et Lu et al. [LU99]. Il consiste à déterminer les équations à

l’échelle d’un cristal puis à l’étendre au polycristal. L’état à saturation dépendant de la

structure cristalline considérée, on se place alors dans le cas d’une structure quadratique. La

maille cristalline peut donc être déclinée selon six variantes différentes en fonction de la

posi-tion de l’ion en site B. Lors de l’applicaposi-tion d’une contrainte mécanique, la déterminaposi-tion de

la concentration volumique de chacune des six variantes de la structure permet de déterminer

les états de déformation rémanente possibles. Ensuite, à partir des états rémanents possibles

de déformation, sont déduites les valeurs de polarisation à saturation pour chacun de ces

états. Des relations phénoménologiques sont ensuite proposées pour déterminer les valeurs

physiquement acceptables de polarisation rémanente de saturation en fonction des valeurs de

déformations rémanentes.

4.4.2 Résultats d’optimisation des paramètres du modèle avec les

Dans le document Céramiques piézoélectriques : le titanate de baryum dopé pour transducteurs acoustiques (Page 130-134)