Détermination de la raideur du piège

Le mouvement brownien d'une particule possède une distribution d'énergie exponentielle dénie par la loi de Boltzmann : P = e− E

kB T. En supposant que le potentiel E du piège est

harmonique, la distribution des positions de la bille piégée au cours du temps doit alors suivre une loi gaussienne dont la largeur est dénie par la température et la raideur du piège. D'après

60 40 20 0 -20 -40 -60 Position de la bille (nm) 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Temps (secondes) 60 40 20 0 -20 -40 -60 15x103 10 5 0

Distribution des positions

Figure 2.16  A gauche : Mouvement brownien d'une bille de silice de diamètre 1 µm piégée avec le laser Nd :YAG. A droite : distribution des positions de la bille piégée (histogrammes) et son ajustement gaussien (trait plein). L'ajustement nous donne une variance de 21.28 nm2

pour les uctuations de position de la bille piégée soit, en utilisant le théorème d'équipartition, une raideur de 0.019 pN/nm.

le théorème d'équipartition, chaque terme quadratique dans l'expression de l'énergie donne une contribution de 1

2kBT à l'énergie totale. On peut donc relier la raideur du piège à la variance

des uctuations de position de la bille dans le piège par : 1 2kBT = 1 2κ x2 (2.21)

On a alors une relation directe entre les uctuations de position de la bille et la raideur du piège ne faisant intervenir que la température du milieu et la constante de Bolzmann. Plus la raideur du piège sera élevée et plus les uctuations de position de la bille piégée seront faibles. Toutefois, bien que cette méthode soit aisée à mettre en place, elle présente quelques défauts. D'une part l'expression donnée n'est valable que dans le cas où le piège peut être assimilé à un potentiel harmonique ce qui n'est pas vrai sur les bords du piège. D'autre part, cette méthode requiert au préalable une calibration de la sensibilité du détecteur puisque les uctua- tions de position de la bille doivent être connues en nanomètres et non en ∆V olts/V olts. Une erreur dans la calibration du détecteur se verra élevée au carré dans la mesure de la variance. Il en va de même pour une faible dérive, par exemple du détecteur par rapport au piège, qui impliquera une sur-estimation de la variance et donc une sous-estimation de la raideur du piège. 2.3.2.2 Densité spectrale de puissance

10-11

10-10 10-9 10-8 10-7

Densité spectrale de puissance

100 101 102 103 104 Fréquence (Hz)

Densité spectrale de puissance Densité spectrale de puissance moyennée Ajustement Lorentzien 1 10-11 10-10 10-9 10-8 10-7

Densité spectrale de puissance

100 ₁₀1 ₁₀2 ₁₀3 ₁₀4

Fréquence (Hz) Densité spectrale de puissance Densité spectrale de puissance moyennée Ajustement Lorentzien 2

Figure 2.17  Densité spectrale de puissance de la position d'une bille piégée de silice et de diamètre 1 µm avec le laser Nd :YAG. Les données sont moyennées et ajustées sur le graphique de gauche par l'équation 2.22 et sur le graphique de droite par l'équation 2.23 prenant en compte la fréquence de coupure de la QPD. La fréquence de coupure du piège obtenue dans le premier cas est de 307 ± 2 Hz et de 309 ± 2 Hz dans le second cas avec en plus une fréquence de coupure de la détection de 10 ± 4 kHz. Cette dernière valeur est cohérente avec celles obtenues par les auteurs dans [105].

A partir de l'équation du mouvement de la bille il est possible d'écrire la densité spectrale de puissance de la position de la bille dans le piège qui peut être approximée par une Lorentzienne [105] :

P (f ) = D

2π2_(f2_{+ f}2 c)

(2.22) La raideur du piège est alors reliée à la fréquence de coupure par fc = κ/(2πγ). Cette

raideur peut donc être déterminée à partir d'un ajustement de la courbe expérimentale par la théorie, à condition de connaître le coecient de friction γ du milieu qui dépend de la distance de la bille piégée à la surface.

An de prendre en compte l'eet de ltrage des hautes fréquences imposé par les détecteurs en silicium travaillant dans l'infrarouge, Berg-Sørensen et al. [105] ont rajouté à l'équation 2.22 un terme prenant en compte la fréquence de coupure fddu détecteur :

P (f ) = D 2π2_(f2_{+ f}2 c) f2 d (f2_{+ f}2 d) (2.23)

C'est donc l'équation que nous utiliserons pour ajuster nos données expérimentales (voir gure 2.17).

2.3.3 Détermination de la sensibilité du détecteur

Le déplacement de la bille par rapport à sa position d'équilibre dans le piège est mesuré par notre détecteur en ∆V olts/V olts. Il convient donc de calibrer la sensibilité de la détection, à savoir le facteur de conversion en ∆V olts

V olts /nm. Deux méthodes couramment utilisées sont

décrites ci-après.

2.3.3.1 Technique de la bille collée

La technique de la bille collée consiste à eectuer un balayage d'une bille collée à la surface par rapport au faisceau et à mesurer en ∆volts

V olts les déviations du faisceau correspondantes [102].

Pour cela une bille est piégée dans l'échantillon et ramenée près de la surface an qu'elle s'y colle non spéciquement. Une fois la bille immobilisée il est possible en utilisant une platine piézoélectrique de balayer avec la bille la largeur du faisceau de piège d'une quantité connue tout en mesurant la déviation du faisceau sur la photodiode à quatre quadrants. Pour des déplacements de la bille susamment faibles une relation linéaire existe entre le déplacement de la bille et la déviation mesurée avec la QPD. En eectuant un ajustement linéaire de cette portion de la courbe on peut alors déterminer la sensibilité du détecteur (gure 2.18).

-0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 Signal de la QPD (u.a.) -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 Déplacement de la platine (µm)

Figure 2.18  Balayage du faisceau laser (laser bré) avec une bille collée à la surface. La bille est en polystyrène et son diamètre est de 1 µm. Pour chaque position de la bille la déviation du faisceau laser est mesurée par la QPD. La sensibilité du détecteur est alors donnée par la pente de la zone linéaire de la courbe obtenue, soit ici 1.04 µm−1_.

Cependant cette calibration reste approximative. En eet la position axiale de la bille par rapport au faisceau est dicilement contrôlable et n'est pas rigoureusement la même que celle de la bille piégée dans les conditions d'une expérience. De plus il est souvent dicile d'immo- biliser une bille sur la surface puisque lors des expériences des agents passivants sont utilisés an d'éviter justement les interactions non-spéciques entre les billes et la surface. A cela se rajoute le fait que la bille xée à la surface n'est alors plus utilisable pour d'autres mesures. Enn, la réponse du détecteur dépendant de la taille de la bille piégée, qui varie pour des billes d'un même stock (typiquement 10%), il est souvent préférable de faire cette calibration sur un

ensemble de billes et de déterminer la valeur moyenne obtenue pour la sensibilité du détecteur. 2.3.3.2 Densité spectrale de puissance

La sensibilité du système de détection peut être déterminée à partir de la densité spectrale de puissance de la position de la bille piégée [103]. En multipliant celle-ci par la fréquence au carré et pour f >> fc, la courbe atteint alors un plateau PV dont la valeur est obtenue en

(∆V olts_{V olts} )2_{.Hz (voir gure 2.19). Or l'expression théorique de ce plateau P}m_{, en (metres)}2_.Hz,

est donnée par :

Pm = P

V

β2 =

D

2π2 (2.24)

En développant D on trouve alors l'expression de la sensibilité du détecteur en ∆V olts V olts /m:

β = s

PV_12π3_ηr

kBT (2.25)

avec r le rayon de la bille et η la viscosité du milieu à la hauteur de la bille par rapport à la surface. On notera toutefois que cette méthode implique une calibration de la position axiale du piège et qu'elle est peu compatible avec des pièges de fortes raideurs : la largeur du plateau devient alors plus petite et il est plus dicile de déterminer sa valeur.

10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 DSP x f 2 100 101 102 103 104 Fréquence (Hz)

Figure 2.19  Densité spectrale de puissance de la position d'une bille piégée avec le laser Nd : YAG, multipliée par la fréquence élevée au carré. On voit alors apparaître un plateau pour des fréquences supérieures à la fréquence de coupure du piège. En utilisant la formule 2.25 et connaissant le rayon de la bille r = 0.5 µm, la viscosité du milieu η = 10−3 _{P a.set un plateau}

de 0.01(∆V olts

V olts )2.Hz, on détermine une sensibilité du détecteur de 0.67 µm −1_.