Détermination du profil contrainte radiale

Considérons (figure6.5-a) une armature à haute adhérence droite (hypothèse 1), noyée dans un massif en béton dont les dimensions sont grandes vis-à-vis du diamètre de la barre (hypothèse 2). La qualité du bétonnage est telle qu’aucune inclusion d’air notoire ne perturbe le contact entre la surface de la barre et le béton (hypothèse 3).

— l’hypothèse 1 ramène la modélisation à un problème plan ;

— l’hypothèse 2 permet de s’affranchir des éventuelles perturbations dues aux effets de bord ;

— l’hypothèse 3, indique l’absence de jeu entre l’armature et le béton.

La forme complexe des verrous (figure 6.1-a) rend le contour de la section droite de la barre dépendant de la position du plan de coupe le long de son axe longitudinal z. La seule hypothèse de rectitude de la barre (hypothèse 1) ne suffit donc pas pleinement à justifier la géométrie plane à laquelle on souhaite rapporter notre problème. Une hypothèse sup-plémentaire, dite d’homogénéisation de l’enveloppe de l’armature, est en effet nécessaire. Deux méthodes sont ainsi envisageables :

— une approche basée sur une section circulaire équivalente ;

— une description tenant compte du caractère quasi-elliptique du contour de l’interface a-b (figure4.11-a).

La première option requiert la formulation d’une hypothèse additionnelle, visant à se prononcer sur la nature du diamètre équivalent à retenir (nominal, enveloppe, moyen. . .). Moyennant l’introduction d’un paramètre, certes supplémentaire, mais facilement mesu-rable ; la deuxième approche, plus générale, offre l’avantage d’une description plus fine de la géométrie de l’interface a-b. Nous retiendrons par conséquent le caractère quasi-elliptique du contour des verrous dans le cadre des développements à venir.

Plaçons-nous dans un plan quelconque perpendiculaire à z (figure 6.5-a). On y note

O (figure 6.5-b) la position du centre de la section droite de l’armature. La direction de l’axe (Ox) est définie comme étant celle du demi-grand axe de la section, supposée el-liptique, de l’armature. L’axe (Oy), orthogonal à (Ox), suit par conséquent la direction de son demi-petit axe. La mesure des angles est définie par rapport à l’axe (Ox), puis dans le sens trigonométrique. Nous qualifierons par la suite les axes (Ox) et (Oy) d’axes

« principaux » de la section de l’armature.

Figure 6.5 – Schématisation de la butée de l’armature contre le béton.

Supposons l’action d’un effort transversalb Fx, appliqué en O et orienté selon x (figure

6.5-a). Cet effort, provoquant un déplacement du centre O en O0, tend à plaquer le côté droit de l’armature contre la paroi en béton et à en décoller son côté gauche. En l’absence de toute force d’adhésion s’opposant au décollement des deux parois (hypothèse 4), il ré-sulte de ce déplacement une contrainte radiale σ(θ), générée par la butée de l’armature contre le massif de béton (figure6.5-b). On cherche à déterminer l’allure de cette contrainte. Compte tenu du rapport entre les modules d’élasticité de l’acier et du béton (200 GPa pour l’acier contre environ 30 GPa pour un béton courant), ainsi que du rapport entre leurs résistances à la compression (500 MPa pour l’acier contre environ 30 MPa pour un béton courant) ; l’armature peut être considérée, relativement à l’enrobage de béton, comme étant indéformable. L’effort Fx produit par conséquent un enfoncement de la section droite infiniment rigide de l’armature dans le béton.

Suivons un point M situé sur la surface de contact entre les deux matériaux après enfoncement. On remarque sur la figure 6.6que le contour elliptique de la barre induit un enfoncement variable δ(θ) atteignant un maximum, noté δmax, en θ = 0 rad. On suppose le comportement du béton élastique (hypothèse 5). La contrainte radiale σ(θ) exercée par le béton est donc proportionnelle à l’enfoncement δ(θ) de la section de la barre :

σ(θ) = Kδ(θ) (6.1)

On définit le repère tournant (~u,~v) où le vecteur ~u suit la direction du vecteur ~OM

(figure 6.6). Exprimons alors les trois vecteurs ~OM, ~OO⁰ et ~O⁰M par leurs composantes suivant (~u,~v) pour un angle θ quelconque donné.

b. Dans le cadre d’un essai d’arrachement, l’effort Fxpeut vraisemblablement être généré par le désen-chevêtrement des granulats du béton piégé entre les verrous de l’armature (figure5.4-c). Cette hypothèse semble être en accord avec les émissions acoustiques détectées essentiellement auprès de l’armature (figure

SECTION 6.2 - Analyse mécanique

Figure 6.6 – Paramétrage de l’enfoncement de l’armature dans le béton.

~ OM = ^{r(θ) + δ(θ)}₀ ! ~ OO⁰ = ^δmaxcos(θ) −δ_maxsin(θ) ! ~ O⁰M = ^{r(θ +}θe) cos(θe) r(θ +θe) sin(θe) !

La relation de Chasles ~OM = ~OO⁰+ ~O⁰M permet d’établir des relations entre les divers paramètres de la modélisation. Concentrons nous sur la composante dirigée selon ~u (ligne 1), qui fait intervenir le terme δ(θ) :

δ(θ) = δmax.cos(θ) + r(θ +θe). cos(θe) − r(θ)

L’hypothèse d’élasticité (hypothèse 5) restreint cette étude au cadre des petites per-turbations ce qui sous-entend un très faible écart entre les points O et O0. Ainsi, l’angle

e

θ est proche de 0 : cos(θe) ' 1 et l’enfoncement δmax de l’armature est petit devant son rayon r(θ) : δmax << r(θ). Par conséquent r(θ +θe) ' r(θ), d’où :

δ(θ) = δmaxcos(θ) (6.2)

Soit, en utilisant l’équation6.1 :

σ(θ) = Kδmaxcos(θ)

Apparaît le terme Kδmax qui, en accord avec l’équation 6.1, n’est autre que la valeur maximale de la contrainte radiale σmax générée par la butée du contour de l’armature sur l’enrobage en béton. Il vient dès lors :

L’équation6.3, issue de considérations cinématiques, suggère (en supposant la validité des hypothèses énoncées au cours du développement) qu’un déplacement solide « gêné » de la section quasi-elliptique de la barre génère une contrainte radiale de contact d’allure sinusoïdale à l’interface a-b. Le point de contrainte radiale maximale σmax, atteint pour

θ= 0 rad, est orienté selon l’axe (Ox) de la butée.

L’équation 6.3 peut être décomposée selon les deux axes principaux (Ox) et (Oy) de l’armature. Les équations 6.4 et 6.5 résultant de cette décomposition permettent de représenter les contributions de chaque direction principale de la section de l’armature

σ_x(θ) et σy(θ) à la contrainte radiale σ(θ) agissant à l’interface a-b (figure6.7). On identifie sur la figure6.7 trois lobes de contrainte :

— un lobe principal, centré sur la direction x de la butée, variant selon le cosinus carré de l’angle ;

— deux lobes secondaires, orientés selon la direction y orthogonale à celle de la butée, évoluant comme la moitié du sinus de l’angle double (figure6.7).

σ_x(θ) = cos2(θ) σmax (6.4)

σy(θ) = ^sin(2θ)

2 ^σmax (6.5)

Figure 6.7 – Décomposition de la contrainte radiale selon les axes principaux de la section de l’armature.

Basons-nous maintenant sur l’équation6.3pour pousser plus loin l’analyse quantitative de la butée transversale de l’armature contre l’enrobage.

SECTION 6.2 - Analyse mécanique