Évaluation des efforts transversaux

Soit L la hauteur du tronçon d’armature à laquelle il est possible d’étendre la des-cription supposée plane de notre système. L’aire d’un petit élément de surface dS situé sur le périmètre de notre barre est alors donnée par dS = r(θ)L dθ (figure 6.8). On note

dΣ l’effort infinitésimal résultant de l’application de la contrainte radiale σ(θ) sur ce petit élément de surface :

dΣ = L σ(θ) r(θ) dθ

Décomposons, comme indiqué sur la figure 6.8, le petit effort dΣ selon les directions principales de la section de l’armature :

dΣx = L cos(θ) σ(θ) r(θ) dθ dΣy = L sin(θ) σ(θ) r(θ) dθ Introduisons l’expression de σ(θ) issue de l’équation 6.3:

dΣx= L cos2(θ) σmaxr(θ) dθ dΣy = L^sin(2θ)

2 ^σmaxr(θ) dθ

Figure 6.8 – Équilibre transversal de la section de l’armature.

Exploitons les conditions d’équilibre selon (Ox) et (Oy) entre, d’une part, l’effort trans-versal Fx et, d’autre part, la somme des contributions infinitésimales dΣ issues de l’appli-cation de la contrainte radiale sur l’interface a-b :

F_x=^Z

1/2 périmètre

dΣx 0 =^Z

1/2 périmètre dΣy

Sur la base des développements précédents et en tenant compte de la symétrie de notre système par rapport à l’axe (Ox) (figure 6.7), on obtient :

F_x = 2 L σmax

Z π/2

0 cos2(θ)r(θ)dθ F_y = ¹₂L σ_max

Z π/2

La résolution de ces intégrales requiert l’expression r(θ) du rayon de l’interface a-b dans un système de coordonnées polaires. Ouvrons par conséquent une parenthèse consacrée à un travail sur r(θ). Partons pour cela de l’équation cartésienne de l’ellipse. Les paramètres

a et b désignent respectivement les longueurs du demi-grand axe et du demi-petit axe de l’ellipse :

x2

a2 +^y2

b2 = 1

Le changement de repère est réalisé en exprimant la correspondance entre le jeu de coordonnées cartésiennes (x; y) et le couple de coordonnées polaires (r; θ) :

x= r cos(θ) y= r sin(θ)

Substituons les coordonnées x et y de l’équation cartésienne de l’ellipse par leurs équi-valents polaires x(r; θ) et y(r; θ) :

r²cos2(θ) a2 +^r2sin2(θ) b2 = 1 Il vient : r²b²cos2(θ) + r2a²sin2(θ) = a2b² r= s a2b2 b2cos2(θ) + a2sin2(θ)

On définit le paramètre Rd comme le rapport du demi-grand axe a sur le demi-petit axe b (équation6.6). Introduisons ce paramètre dans notre expression polaire du rayon de l’ellipse. R_d= ^a b (Rd≥1) (6.6) r = s R2 db4 b2[R2 dsin2(θ) + cos2(θ)] r = b s R_d² R2 dsin2(θ) + cos2(θ)

Simplifions le dénominateur en tenant compte du fait que cos2(θ) = 1 − sin2(θ) :

r(θ) = b s R2 d (R2 d−1) sin2(θ) + 1 ^(6.7)

SECTION 6.2 - Analyse mécanique L’équation 6.7, définie sur [0;π

2], vérifie bien les deux conditions de bord r(0) = a et r(π

2) = b. Reprenons alors le fil du raisonnement en intégrant au raisonnement notre expression de r(θ) et en substituant à la longueur b du demi-petit axe l’expression dmin

2 , intégrant ainsi le diamètre du cœur de l’armature au développement :

F_x= dminL σ_max Z π/2 0 s R_d²cos4(θ) (R2 d−1) sin2(θ) + 1^dθ F_y = ^dmin 4 ^{L σ}max Z π/2 0 s R2 dsin2(2θ) (R2 d−1) sin2(θ) + 1^dθ

Réorganisons les termes de manière à faire apparaitre une expression de la forme

F = Sσ. Nous retiendrons, en accord avec notre modélisation, une surface de référence

S = πdminL

2 correspondant au demi-périmètre de la section de l’armature. On aboutit finalement aux équations6.8et6.9.

Les coefficients ηx et ηy peuvent être évalués par intégration numérique. Ces coeffi-cients, inférieurs à l’unité, modulent la surface de référence S = πdminL

2 correspondant au demi-périmètre de la section de l’armature et, par voie de conséquence, l’intensité de l’effort transversal associé à chaque axe principal de la section de la barre.

F_x = ηx πd_minL 2 ^σmax avec ηx= ² π Z π/2 0 s R²_dcos4(θ) (R2 d−1) sin2(θ) + 1^{dθ (6.8)} Fy = ηy πdminL 2 ^σmax avec ηy = ¹ 2π Z π/2 0 s R2 dsin2(2θ) (R2 d−1) sin2(θ) + 1^{dθ (6.9)} On introduit pour terminer le coefficient RF défini comme le rapport entre :

— l’effort Fx agissant symétriquement par rapport à l’axe (Oy) (figure 6.7) selon la direction de la butée ;

— l’effort 2 Fy agissant symétriquement par rapport à l’axe (Ox) (figure 6.7) selon la direction orthogonale à celle de la butée.

On déduit des équations 6.8 et 6.9 le coefficient RF (équation 6.10). Une analyse graphique (figure 6.9) montre que l’inégalité RF ≥1 est vérifiée pour toute valeur de Rd. L’effort transversal agissant selon la direction de la butée s’avère donc systématiquement supérieur à celui agissant selon la direction orthogonale à celle de la butée.

RF = ^ηx

2 ηy (6.10)

Le caractère elliptique relativement restreint des barres HA permet de linéariser la fonction RF = f(Rd) pour de petites valeurs de Rd (figure 6.9). On pourra utiliser

RF ' 0, 37 Rd+ 1, 20 pour des valeurs de Rd comprises entre 1 et 1,25 (coefficient de corrélation de 0,99).

Figure 6.9 – Évolution du paramètre RF selon l’ellipticité de la section de l’armature.

Appliquons les outils précédents à la caractérisation d’une armature de type HA12. Cette barre peut être définie par son diamètre hors-tout dmax = 12,9 mm et par le dia-mètre de son noyau dmin = 11,3 mm. En découle un coefficient Rd = 1, 14, conduisant, après intégration, aux coefficients ηx = 0,55 et ηy = 0,17. On aboutit à un coefficient RF

d’environ 1,62, proche de π

2, indiquant que la butée d’une armature HA12 contre l’enro-bage de béton conduit à un effort transversal 62 % plus important selon la direction de la butée que selon celle qui lui est orthogonale.

Le tableau 6.1 permet de quantifier l’impact des hypothèses relatives à la géométrie du contour de l’interface (elliptique ou circulaire) et à l’allure du profil de contrainte radiale (sinusoïdale ou uniforme). On y retrouve les valeurs du coefficient ηx (rattaché à la direction de la butée) pour les différents couples d’hypothèses envisageables. Les formules complémentaires permettant de déterminer les valeurs relatives à la distribution uniforme de la contrainte radiale (ligne 2 du tableau 6.1) sont démontrées en annexe C.

Les écarts renseignés montrent que le choix portant sur la distribution de la contrainte radiale σ(θ) est plus sensible que celui visant à caractériser le contour de l’interface r(θ). On notera la tendance de l’erreur à se compenser en cas de cumul de deux hypothèses « erronées ».

Table 6.1 – Sensibilité de ηx aux hypothèses du modèle. contour elliptique contour circulaire écart

distribution sinusoïdale 0, 55 0, 50 9%

distribution uniforme 0, 69 0, 64

-écart −25% - −16%

6.2.3 Bilan

D’une part, une forte corrélation entre la hauteur des verrous et la distribution des amplitudes associées aux EA a été mise en évidence au §6.1. D’autre part, nous sommes

SECTION 6.2 - Analyse mécanique

en mesure, grâce aux outils développés dans le §6.2, d’associer à la butée transversale de l’armature contre le béton le développement d’une contrainte radiale d’allure sinusoïdale le long de l’interface a-b.

La figure 6.10, qui représente sous la forme d’un graphique polaire les résultats en EA de la figure6.4-b ainsi que l’équation6.3de la contrainte radiale σ(θ), montre que les distributions des amplitudes associées aux EA et de la contrainte radiale sont comparables. De ce fait, sous réserve de l’existence d’une corrélation entre amplitude des EA et intensité de la contrainte radiale de compression, cette correspondance confirme l’existence d’un axe principal de poussée orienté selon l’axe passant par le sommet des verrous.

Cette conclusion appuie l’hypothèse du développement de deux fissures de scission (équation5.2) établie sur la base des résultats dePlizzari et al.[1998].

Chapitre 7

Simulations numériques