Modèle de structure magnétique non colinéaire pour UCo04

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Submitted on 1 Jan 1969

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Modèle de structure magnétique non colinéaire pour UCo04

M. Bacmann, E.F. Bertaut

To cite this version:

M. Bacmann, E.F. Bertaut. Modèle de structure magnétique non colinéaire pour UCo04. Journal de

Physique, 1969, 30 (11-12), pp.949-953. �10.1051/jphys:019690030011-12094900�. �jpa-00206863�

MODÈLE

DE STRUCTURE

MAGNÉTIQUE

^NON

COLINÉAIRE

^POUR

UCo04

Par Mme M. BACMANN et E. F.

BERTAUT,

C.N.R.S. et C.E.N.-G., ^{rue des} Martyrs, ^Grenoble.

(Reçu

^{le 15}

juillet 1969.)

Résumé. - Pour

permettre

^la

propagation

^{de la structure}

magnétique

^de

^UCoO4,

^on propose

un modèle non colinéaire. Celui-ci se transforme selon une

représentation

irréductible à deux dimensions, ^{associée au vecteur} d’onde k ⁼

(1/2 0 1/2)

^et

appartenant

^au groupe

d’espace complet

^{G = Imma}

(et

^non pas ^au sous-groupe du vecteur d’onde

Gk) .

^{Le moment orbital}

non nul de CO2+ autorise l’existence de

couplages d’échange anisotrope.

Le groupe ^de Shubnikov est

P2’1/m.

Abstract. ²⁰¹⁴ To allow for the

propagation

^{of the}

magnetic

^{structure of}

UCoO4,

^{a non colinear}

model is

proposed

^which transforms

according

^{to a} two-dimensional irreducible

representation

associated with the wave vector k ⁼

(1/2 0 1/2)

^and

^belonging

^to the full space group ^{G = Imma}

(and

^{not to the}

subgroup Gk

^{of the wave}

vector).

^{The non}

quenched

^{orbital moment of CO2+}

authorizes the existence of

anisotropic exchange coupling.

^The Shubnikov group ^is

P2’1/m.

Introduction. ^- Le

compos6 U Co04 [1 ], [2]

(a

⁼

6,497 A; b

⁼

6,952 A;

^{c =}

6,497 Á;

groupe d’es- pace

Imma)

^est

antiferromagnetique

au-dessous de

TN

= 12 OK. Les resultats de diffraction

neutronique indiquent

^{q un vecteur de}

propagation

^{p pg k =}

1 01 . ²

²

Un modele de structure colin6aire avec tous les

spins

selon Ox ou tous selon Oz a ete

propose [2].

^{Dans ce}

modele,

^{on a affaire a deux}

sous-r6seaux,

chacun anti-

ferromagnétique,

^{et non corr6l6s.}

Dans un

precedent

^article

[3],

^la

comparaison

^des

structures

magn6tiques

differentes des

composes

^iso-

FIG. 1. ^- Mod6le de structure

magn6tique

pour

UCoO4.

Cercles noirs :

spins

^{+, cercles vides :}

spins

^{-. Les}

atomes non

primes

^{1 en 0}

01

₂ ^{et 2 en}

011

₂₂ ^{ont leur}

spin

^{suivant Ox ; les atomes}

primes

³

en 1 10

^et

1 22

4

en 10

^{0 ont leur}

^spin

^{suivant Oz.}

22

morphes UMno4

^et

UCo04

^{nous a conduits a envisa-}

ger pour

UCo04

^{un modele de structure non coli-}

néaire,

^et

6galement compatible

^{avec les intensites}

observ6es,

^{ou les}

plans (100) présentent

^un arrange- ment

antiferromagnétique

^des

spins

alternant selon Ox

et Oz

(fig. 1).

Les deux sous-r6seaux se trouvent alors corr6l6s par des forces

d’6change anisotrope.

^{Ce mod6le}

n’ayant

pu ^trouver de

justification th6orique

^{dans le}

sous-groupe ^{g p}

Gk.

^attach6 au vecteur d’onde k

= (2 ^{2 0 2 2/}

nous montrons ici

qu’il

^est

parfaitement compatible

avec les

representations

irr6ductibles du groupe d’es- pace entier G ⁼ Imma associ6 au vecteur d’onde k.

Représentations

irrdductibles des _groupes Imma et

G, assocides

^au vecteur k

= (1 0 1). 2013

2 2 ^{RELATIONS ENTRE} ELEMENTS GENERATEURS. - Les elements

g6n6rateurs

choisis _pour Imma comprennent ^l’axe

2x

^en

(xOO),

^I’axe

helicoidal

21y,

^en

^(Oy0),

^{le centre} d’inversion 1 en

(000)

et la translation _To ⁼ I en

plus

des translations

pri-

mitives al, a2, a3.

En utilisant le

symbolisme

de Koester

[4],

^{les rela-}

tions ^entre elements

g6n6rateurs

s’ecrivent :

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:019690030011-12094900

950

CALCULS DANS

Gk.

^-

Gk,

sous-groupe de

G,

^ne

contient _que les elements de

sym6trie

^{dont la}

partie

rotationnelle ^conserve le vecteur k. L’élément

g6n6ra-

teur

2x

^ne fait donc _pas

partie

^{de ce} groupe

[5]

^et

G,

ne contient

plus

que huit elements de

sym6trie

engen- dr6s _par les elements

g6n6rateurs 21y,

¹

et To.

La

representative

d’une translation t est alors la matrice

sph6rique

1 . exp 2nik. t

[6], [7].

Notons ao, a1, a2 les matrices

representatives

^des

g6n6rateurs respectifs 21y,

^{1 et} To. On a,

d’après (1) :

Les

matrices ai (i

⁼

0, 1, 2)

commutant entre elles

se reduisent a de

simples ^{nombres +} 1,

^{de sorte} que les solutions de

(2)

^{donnent lieu a huit}

representations

irr6ductibles a une dimension.

Le tableau _{I groupe} les vecteurs de base obtenus en

appliquant

^la

technique

^des

op6rateurs

^de

projec-

tion

[8], [9] :

1

ou T est 1’element de

sym6trie

^{considere et}

D ( T )

^le

coefficient

ij

de la matrice

image

^{de 1’element T dans la}

representation

irr6ductible

reperee

par l’indice ^v. Les

representations

^de

Gk

^6tant

unidimensionnelles,

^les

ÇJiJ)( T)

^se r6duisent ici aux caract6res

Z(") ( T )

^de

chaque

element dans la

representation

0394(v) du tableau I.

TABLEAU I

REPRESENTATIONS IRRfDUCTIBLES DE

Gk

ET FONCTIONS DE BASE CORRESPONDANTES

Les

spins

^sont num6rot6s de 1 a 4 dans les

posi-

tions suivantes

0 0 1 , 11, 110, 10 0. On

^{note F GCA}

tions

2 22 22 2

On note FGCA

les

configurations respectives

+ + + +, + - + -,

+ + - - ^et + - - + des

quatre spins.

Seules les

representations impaires

dans l’inversion

correspondent

^{a des vecteurs de base non nuls. Les}

donn6es d’un

diagramme

de diffraction

neutronique

effectuee sur

poudre [2]

^sont

compatibles

^{avec le choix}

de

Ax

^ou

Az. Cependant,

^cette

description

^n’est pas entierement satisfaisante

puisqu’elle

^ne permet pas la

propagation

^{de la structure dans le}

plan xOz,

^les

interactions 1-4 6tant autant de fois

positives

que

n6ga-

tives _pour une meme

géométrie ( f ig. 1).

Nous avons alors

essay6 d’opérer

dans le groupe

complet

^{G. Le vecteur k n’6tant} pas conserve _par tous

les elements de

sym6trie,

la m6thode

d’Olbrychski [6]

n’est

plus applicable

^et nous en avons utilise une

g6n6-

ralisation r6cente due a l’un de nous

[10]

pour obtenir

les

representations

irr6ductibles du _groupe

d’espace

^G

lui-meme.

CALCULS DANS Imma. ^-

L’originalit6

de la m6thode de determination directe des

representations

^irr6duc-

tibles du groupe

d’espace

^{G lui-même et associ6es a un}

vecteur d’onde k reside dans le fait _que la matrice

M(R) representative

de la translation

(E R)

peut

toujours

s’ecrire sous la forme

diagonale

^{suivante :}

ou

1 q

^{est une} matrice unite de dimension _q;

kl,

^...,

kp

constituent « 1’6toile de k ». Ce sont

les p

^{vecteurs non}

equivalents qui

peuvent ^etre

engendr6s

^a

partir

^de

l’un d’eux _par les

operations

aj du _groupe

ponctuel Go

associ6 a

Imma; p est

aussi la dimension minimale de la

representation.

Parmi les elements

g6n6rateurs

^de

Go,

seul l’axe binaire

2

^{ne conserve} pas ^{k =}

1 01 .

L’6toile du

p 2 2 ^1B

vecteur k se compose des deux vecteurs

k1 - 1 01

^p

et

k2

⁼

/1

⁰

^p

^et la dimension des

1 2 2

et

k 2 = (2 0 2

^et la dimension des

representations

B2 2/ ^p

de G est au moins d’ordre deux.

Appelons A1, A2, A3

les matrices

representatives

de

21y,

^{1 et}

2x.

^{La matrice}

Ao, representative

^{de la}

translation _To, , a la forme :

La forme connue des

representatives M( R)

^{des trans-}

lations R conduit alors des relations

(1)

^{aux relations}

(6)

ou l’anticommutation de

A3

^avec

Ao

^{nous force a envi-}

sager des

representations

^{d’ordre 2 :}

B/ /

On _remarque

que A1

^et

A2

^{commutent avec les}

autres

matrices,

^ce

qui, d’apres

Ie lemme de

Schur,

nous amène a les choisir

spheriques :

l I

Pour Ie choix de

A3,

les relations entre les elements

g6n6rateurs

conduisent à :

Les

representations

matricielles des seize elements de

symétrieD T)

^{de Imma sont} données dans Ie tableau II.

On ^note _que les seuls caract6res non nuls sont :

x(E) = 2;X(A¡) = 2E; x(A2) =

^2e’

et x(A2 Al) =

^2se’.

Les quatre combinaisons

possibles

^des

^{valeurs ±}

¹

pour ^e et e’ aboutissent ^aux quatre

representations orthogonales : r (+ +), r ( + -), r(- + )

^et

r(- -).

Comme g

^{= 16 = 22} + ²² + ²² +

22,

^{ce sont les}

seules

representations

irr6ductibles a deux dimensions.

Les

representations a 7j

^{= ± 1 sont}

6quivalentes.

TABLEAU II

MATRICES REPRESENTATIVES DES ELEMENTS DE Imma

ELEMENTS

MATRICES REPRESENTATIVES

TRACE x

Les fonctions de base sont obtenues en

appliquant

la

technique

^des

op6rateurs

^de

projection pr6c6dem-

ment d6crite

(3), dans

^les

representations

^r

(E, E’ ) .

^Seules

les

representations

^{avec s’}

- 1,

c’est-a-dire im-

paires

dans l’inversion

(t(+ -) et r(--)),

^corres-

pondent

^{a des vecteurs de base non nuls.}

Les resultats _pour 1’ensemble des

composantes

^sui-

vant x, y, z,

apparaissent

dans le tableau III selon la

disposition ( 03C811 03C821 03C822/ ^03C812

‘Y21 ‘Y22

.

Les combinaisons lin6aires suivantes ^sont

6galement

solution :

(cela

^{revient en effet a} transformer les matrices des

representations r (E, E’)

par la matrice unitaire

1 I 1

J2 G

¹

- 1

II en est de meme des combinaisons

03C812

^=b

03C822;

^en

particulier,

la combinaison

03C811=

^{0 autorise un cou-}

plage

^entre

(SIX

⁺

ES2X)

^et

- (S3Z

⁺

ES4.,) -

^·

Notre structure

hypoth6tique,

^telle que les _arrange-

ments

SIX - S2x

^et

S3,

^-

S4, coexistent,

^{est donc}

parfaitement compatible

^{avec une des}

representations

irr6ductibles de Imma attach6es ^au vecteur k

= 101 . 2 ²

Remarque.

^{- En}

fait,

^on peut d6crire la structure

de deux manières :

Les deux

descriptions

^sont

6quivalentes.

^{C’est la le}

sens

physique

^d’une

representation

^a deux dimensions : la structure

magn6tique

peut ^etre d6crite par l’un ^ou 1’autre des vecteurs de base _que sous-tend la

repre-

sentation.

Discussion. ^- Dans les _groupes G

orthorhombiques primitifs,

^{les vecteurs k tels que 2k = K}

(c’est-a-dire k

^{a = 0 ou} ₂

1

> ^{at = x}

>.Y,z ) ^z

^{ont la} p

pleine sym6trie

y ^du groupe

ponctuel Go ; ainsi, Gk

^{et G ont les memes}

elements.

Dans les groupes G

orthorhombiques

^non

primitifs,

comme dans le cas

present,

^{il n’en est}

plus

^{ainsi et}

Gk

^a

une

sym6trie

moindre. I1 en r6sulte _que, dans ce cas, la structure se transforme selon une

representation

^de

dimension

sup6rieure

^{a un.}

952

L’invariant construit a

partir

des fonctions de base

et traduisant ^un

couplage

^{entre les}

composantes

selon Ox et Oz a la forme suivante :

qui

^ne

depend

pas du

signe

^de ~. Ici ^e = -1.

La forme

sym6trique

^{de cet invariant}

indique

^1’exis-

tence d’un

6change anisotrope symitrique.

^La

présence

d’un moment orbital non nul

([L.b.. (C02+)

⁼

^4,09 fLB)’

comme c’est le cas ici

[2], peut

donner lieu a des interactions

d’echange anisotrope comparables

^{aux inter-}

actions

d’echange isotrope [11].

Remarque.

^{- La structure}

hypothétique

discutée ici pour

UCo04

^{est a}

rapprocher

^{de celle}

propos6e

par Keffer

[12]

pour

P-MNS cubique

^{ou les}

plans (001) présentent

^un arrangement

antiferromagnétique

^des

spins

de Mn2+ alternant selon Ox et

Oy

^et

expliquant 6galement

les intensités observ6es _par diffraction neu-

tronique [13].

^Dimmock

[14]

^{a montre}

qu’un

^vecteur

de base

possible

^{est :}

Si nous construisons 1’invariant le

plus simple

suivant :

le

couplage antisym6trique

^de

Dzialoschinski-Moriya

que Keffer

[12]

^est

oblige d’invoquer

s’introduit ici

tout naturellement.

Finalement,

^{la structure}

magn6tique

^de

UCo04

peut

^etre

propag6e

par des interactions

isotropes n6ga-

tives

Ja, Jb, J c agissant

^{entre les}

spins

selon les trois

axes

orthorhombiques a, b, c, compl6t6es

par des interactions

d’6change anisotrope (10) qui couplent

les

composantes x

^{et z de}

proches

^{voisins 1 et 4}

(ou

²

et

3)

^a la distance

d(1-4)

⁼

4,59 A.

Terminons enfin par la consideration du groupe de

Shubnikov,

laissant la nouvelle ^structure invariante.

On sait

qu’il

y ^{a une}

correspondance

^directe

[7]

^entre

un groupe de Shubnikov G’ ^et une

representation

r6elle a une dimension d’un _groupe

d’espace G,

^les

caract6res +

¹

correspondant

^aux elements de

sym6-

trie usuels tandis _que les caract6res -1

correspondent

aux

antisym6tries

de G’. Dans le cas d’une

repr6senta-

tion irr6ductible a

plusieurs

dimensions de

G,

^{la cor-}

respondance

^{avec le} groupe de Shubnikov est fournie par la restriction ^aux seules

operations

^{dont les}

repre-

sentatives sont des matrices

sph6riques [15].

^Dans

notre cas, ^{ce sont} les matrices

E, A1, A2

^et

A2 A1 repre-

sentatives des

operations ^identité

^antiaxe helicoidal

21y

en

OyO,

anticentre de

sym6trie

^{1’ en 000 et}

plan

^mi-

roir m

en x 4 1

^{z, de sorte que le groupe de Shubnikov}

est

P2’lm

^{avec deux}

positions

distinctes 2c

(atomes

¹

et

2)

^{et 2b}

(atomes

^{3 et}

4)

^{dans des centres de}

sym6-

trie

[16].

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l’espace réciproque;

^ici

2x[1/2 0 1/2] = [1/2 0 1/2]

⁺

^[001]

^et

[001]

^n’est

plus

^un vecteur de

l’espace réciproque

d’un groupe centré.

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