Structure magnétique de DyCro3

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Submitted on 1 Jan 1968

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Structure magnétique de DyCro3

E.F. Bertaut, J. Mareschal

To cite this version:

E.F. Bertaut, J. Mareschal. Structure magnétique de DyCro3. Journal de Physique, 1968, 29 (1),

pp.67-73. �10.1051/jphys:0196800290106700�. �jpa-00206621�

STRUCTURE MAGNÉTIQUE ^DE DyCrO3

Par E. F. BERTAUT et

J.

^MARESCHAL

(1),

C.N.R.S., B.P. _319, et C.E.N.G., ^B.P. 269, 38-Grenoble.

(Reçu le 22 juillet 1967.)

Résumé. 2014 Dans

DyCrO3 (groupe

^{Pbnm 2014}

D162h),

^les

spins

de Cr s’ordonnent à

TN1

^{= 146 °K}

dans un mode

Gz.

^{Ceux de}

Dy

s’ordonnent à

TN2

⁼ 2,16 ^{°K dans une maille}

qu’il

faut doubler selon a et b. On détermine les 8

représentations

irréductibles du groupe ^Pbnm associées au

vecteur d’onde k

= $$[1/2 1/2 0] .

^Celles-ci sont toutes à une dimension et

complexes.

^{Grâce aux}

vecteurs de base

Gx

+

iAx

^et

Gy

²⁰¹⁴

iAy ^qui

^décrivent la structure non

colinéaire,

^{on construit}

un hamiltonien effectif des

spins.

On trouve des relations entre ses coefficients

grâce

^{à la}

connaissance de la structure.

Abstract. ²⁰¹⁴ In

DyCrO3 (group

^{Pbnm 2014}

D162h),

^the

Cr-spins

^{order at}

TN1

^{= 146 °K in}

a

Gz-mode.

^{Those of}

Dy

^{order at}

TN2

⁼ 2.16 °K in a unit cell which has to be doubled in the a and b direction. The irreducible

representations

^{of the} group ^Pbnm associated with the wave vector k

= [1/2 1/2 0]

^are determined. All the 8 irreducible

representations

^are

one-dimensional and

complexe.

^{With the}

help

of the basis vectors

Gx

⁺

iAx

^and

Gy

²⁰¹⁴

iAy

which describe the non colinear structure, ^one constructs an effective

spin

hamiltonian. One finds relations between its coefficients

by

virtue of the known

spin

^structure.

Introduction.

^- L’étude des

propriétés magnétiques

des chromites des terres rares nous a conduits à étudier le chromite de

dysprosium, DyCr03,

^par diffraction

neutronique.

^{Comme il a} été montré

[1],

^ce

composé

cristallise dans le _groupe

d’espace orthorhonxbique Pbnm

avec

quatre

^molécules par maille. Les

paramètres

^de

la maille sont

[2] :

Les atomes de chrome

occupent

^{les sites}

4 b)

^sans

paramètre,

^{les atomes de}

dysprosium

les sites 4

c),

les atomes

d’oxygène

^{les sites}

4 c)

^{et 8}

d).

L’importante

section efficace

d’absorption

^du

dys- prosium

n’a pas

permis

^de mesurer un nombre suffi-

sant d’intensités nucléaires pour affiner les

paramètres

de

positions atomiques.

Les valeurs

adoptées

pour la suite de l’étude :

ont été choisies intermédiaires entre celles déterminées pour

TbCr03 [3]

^et

ErCr03 [4]

lors d’études anté-

rieures ;

le facteur de confiance :

calculé à

partir

^{de ces données est} satisfaisant. Doré- navant, ^nous numérotons les 4 atomes du site

4 c)

de 1 à 4 dans l’ordre suivant :

PARTIE EXPÉRIMENTALE

Une

première

étude de diffraction

neutronique

^effec-

tuée dans les conditions

expérimentales

^{de « routine »}

avait montré l’existence de deux

températures

^{de Néel}

très différentes pour le chrome ^et le

dysprosium :

= 146

OK ; 1,5

^OK

TN2(Dy) ^4,2

^oK

(2).

Dans la

présente étude,

^{une attention}

particulière

^a

(2)

^Le

type

d’ordre annoncé dans la Note

prélimi-

naire

[5]

pour

Dy

^{est incorrect.}

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:0196800290106700

68

FiG. 1. ^-

I)iagrammes

de diffraction

neutronique

^de

DyCr03 enregistrés

^à 4,2 ^{°1 et} 1,5 ^OK.

été

portée

^{à la}

géométrie

du faisceau de neutrons et à la forme de

l’échantillon;

^{dans ces} meilleures condi- tions

expérimentales,

^des

largeurs

^{de raies} inférieures à 10’

(en 0)

^{ont été}

mesurées, permettant

^{une excel-} lente

séparation

^sur les différents

diagrammes enregis-

trés

(300 oK,

⁷⁷

oK, 4,2

^{oK et}

1,5 OK) (cf. fig. 1).

ORDRES

MAGNÉTIQUES

^{OBSERVÉS. -} Ordre du chrome : .’

Les réflexions telles

que h ^{-+- k}

^{= 2n}

⁺

^{1 et L = 2n}

⁺

¹

qui apparaissent

^{sur le}

diagramme enregistré

^{à 77 °K}

indiquent

que les ions Cr3+ sont, ^{comme dans tous} les

autres

chromites,

^ordonnés

antiferromagnétiquement

selon un « mode G » _{que les} intensités observées

permettent

^de situer selon Oz. Dans ce

mode,

^tout

spin

^{de chrome a 6 voisins}

proches antiparallèles.

^La

constance des intensités des mêmes raies à

4,2

^{OK et}

1,5

^{OK montre} que ^cet ordre se conserve dans toute cette garnme de

température.

^A

1,5 OK,

^{le moment}

magnétique

^{d’un ion Cr3+ est de}

2,76 + 0,20

- Ordre du

dysprosium :

^{Sur le}

diagramme enregistré

à

1,5 °K,

^il

apparaît

^des

réflexions,

^{non indexables}

dans la maille

cristallographique,

caractérisant l’éta- blissement d’un ordre

magnétique

^{des ions}

Dy3+.

Leur indexation dans une maille doublée selon Ox et

Oy

^montre que la ^structure

magnétique

^des

Dy3+

appartient

^{au vecteur de}

propagation

^k

= 2 2 0 ] .

Remarquons qu’une

^maille

magnétique

^monocli-

nique plus petite :

+

bo

^b

^{ao + b0}

ci -

c~ permet également

l’indexation de toutes les réflexions _apparues.

Les réflexions nouvelles ^sont observées fortes si

H, K, L-2n+l

^et faibles si

H,

L ⁼ 2n.

Ici, H,

^{K et L sont} les indices de Miller relatifs à la nouvelle maille

2ao 2ho co.

^{De telles}

règles

d’existence sont

caractéristiques

^{des « modes G et A »}

pour les

composantes

^{selon Ox et}

Oy

^des

spins

^des

ions

Dy3+ .

^{Un mode est}

appelé Ga si,

dans la direction

repérée

par l’indice ~x

(oc

⁼

x, y),

^{on a} dans la maille

chimique

^une succession des 4

spins

^de

Dy ^{+ - + -}

selon l’ordre donné dans l’introduction. Un mode est noté A si la succession des

spins

^est

+ - - +

(cf.

^Partie

théorique).

^On

peut

^montrer

également

que les modes G et A favorisent

respectivement

^les

raies

ayant H + K = 4n + 2

^et

H + K = 4n;

^l’exis-

tence avec des intensités

équivalentes

^{des raies}

(131)

et

(311) (mode A)

^{et des raies}

(111), (113)

^et

(331) (mode G) indique

que les deux modes ont des

impor-

tances voisines. De

plus,

^le

rapport

implique

que les deux modes A et G coexistent selon

chaque

^{axe Ox et}

Oy. Enfin,

la conservation du

spin

^sur

les atomes en

(1), (2)

^et

(3), (4) (cf, fig. 2) impose

^l’or-

thogonalité

^{des vecteurs A et G}

(cf.

^Partie

théorique) .

On

peut

^alors

exprimer

la valeur moyenne de l’intensité

magnétique

^{diffusée par un}

plan

^réflecteur

(H, IL, L)

^en fonction de

l’angle rx

que fait Ox ^avec A et des

longueurs

^{des vecteurs A et G : -.}

FiG. 2. ^-

Diagramme

des vecteurs G et A caractérisant la structure

magnétique

^de

Dy.

sl ^{= -} S2 ^{a le sens} de G + A, s3 = - S4 celui de G - A.

où j~/ et e sont les

parties trigonométriques

^{des fac-}

teurs de structure

magnétique correspondant

^aux

modes A et G et

dHKL

^la distance interréticulaire du

plan (HkL)

^considéré.

Les

signes ±

devant les termes d’interférence cor-

respondent

^au fait que

G peut

^{se trouver à}

^+"2

^{ou -"2}

de A. L’observation

permet

^donc de déterminer la structure

magnétique

absolue. C’est ainsi que les intensités des raies

(330), (132)

^{et l’absence de la}

raie

(110)

démontrent _{que le} moment

magnétique

^de

l’atome numéroté

(1)

^est

dirigé

^selon

G +

^{A comme}

sur la

figure

²

(cf.

^tableau

I ) .

A

partir

^{de ce}

modèle,

nous avons déterminé les différents

paramètres

^{de la structure}

magnétique :

113,50

§ §

1 G + A 1 = ~G2013A~ = 9,6~.

L’angle

^{de A avec} la résultante G

+

^A

est p = 51,3~.

La variation de l’intensité de la réflexion

(111)

^en

fonction de la

température

^entre

1,5

^{OK et}

4,2

^{OK nous}

TABLEAU 1

INTENSITÉS OBSERVÉES ET CALCULÉES POUR LES DEUX MODÈLES

CORRESPONDANT AUX TERMES D’INTERFÉRENCE

+

^{AG ET - AG}

70

a

permis

de déterminer la

température

^{de Néel du}

dys- prosium (cf. fig. 3) :

⁼

2,16

^oK

(~ 0,04).

La structure

magnétique

^de

Dy

^est

représentée

dans la

figure

^4.

(Pour

^{les relations entre}

A,

^~‘

( j = 1, ... , 4),

^{cf. les}

équations (9)

^et

(14)

^{de la}

partie théorique.)

WG. 3. ^- Détermination de ~’N

(Dy)

par la variation

thermique

de l’intensité

magnétique I(lll) .

Pic. 4. ^- Structure

magnétique

^de

^Dy

^dans

DyCrO..

On a

représenté

^{une maille}

magnétique

2a, ^{2b en}

projection

^{selon c.}

PARTIE

THÉORIQUE

Nous étudions d’abord les

propriétés

^{des transfor-}

mations des

spins

^de

Dy

^dans le groupe Pbnm

lorsque

le vecteur de

propagation

^{ou vecteur d’onde est}

k - 122 0 .

^Des

p ro p riétés

^de

transformation,

^nous

déduisons les matrices

représentatives

^des

opérations (et

^du

groupe).

^{De leurs}

règles

^de

multiplication,

^on

déduit les

représentations

irréductibles et les vecteurs de base

qui

^leur

appartiennent. Finalement,

^on

forme, grâce

^à la connaissance des vecteurs de

base,

^des

invariants

qui

^{entrent dans} l’hamiltonien effectif des

spins,

^{et on}

détermine, grâce

^{à la} connaissance de la

structure

magnétique,

^{des relations entre} les coeffi- cients

figurant

dans l’hamiltonien effecti£

Le groupe du vecteur

k = 1 1

^{0 est le groupe}

ponctuel Go

^{= mmm}

(car

^{k se} transforme sous ses

opérations

^en

lui-même,

^{à un vecteur entier}

près

^de

l’espace réciproque).

PROPRIÉTÉS DE TRANSFORMATION DES SPINS. ^- Au lieu des éléments

générateurs, b,

^{n et} ~, ^nous consi- dérons les trois éléments suivants : l’axe hélicoïdal

21x

en x 4 ^0,

^l’axe hélicoïdal

2

^{et le centre de}

symétrie

^{1 en} 0 0 0. Nous numérotons les 4 atomes du site

4 c)

^{de 1 à} 4 dans l’ordre suivant :

FIG. 5. ^- Transformation des 4

points

^{du site 4}

c)

^dans

sous les

opérations ^21x, 21y

^{et 1.}

La

figure

^{5 montre} que

21x

transforme 1 en

3,

2 en

4,

^{mais 3 en l’ et 4 en}

2’ ; 21Y

transforme 1 en

4,

2 en

3,

^{mais 3 en 2" et 4 en 1 ",}

Enfin,

^{1 transforme}

1

en 2,

^{2 en}

1,

3 en 4 et 4 en 3.

Compte

^{tenu de ce} que :

on a les

équations

de transformation suivantes :

que l’on

complète

aisément pour les autres compo- santes.

Les matrices de transformation

respectives

^{que nous}

noterons

(2Ix) (21,)

^et

(1)

^auront la forme :

où les matrices 4 X

4, ce, p

^et y sont,

d’après (2) :

MATRICES REPRÉSENTATIVES ET REPRÉSENTATIONS IRRÉDUCTIBLES. ^- Considérons les

transposées (3)

des matrices de transformation :

Les matrices et

As engendrent

^une

repré-

sentation r d’ordre 12 du _groupe dont les éléments

sont e

(identité), A1, A,, Al A2, A,, A2 As

et Ils

correspondent

^aux

opérations e, 21x, 21y, 21x21y, ^1, 21x1, 21y1

^et

21x21y 1.

^{On trouve}

aisément :

La

représentation

^{r est}

évidemment

réductible ^en sous-espaces x, Y, ^z de dimension ^{4 comme le mon-}

tre

(3).

^De

plus,

les matrices

Ai (j

⁼

1, 2, 3)

^commu-

tent, ^{de sorte} que le _groupe ^est abélien. Toutes les

représentations

irréductibles sont à une dimension et

engendrées

par les 8 solutions de :

(3)

^Pour les raisons de la

transposition,

cf. B~. Heine

[6].

Les

représentations

irréductibles

rj (j

⁼

^1,

^...,

⁸⁾

sont résumées dans le tableau II. Le caractère de

l’opération

^{1 est} + ^{1 de}

rl

^à

r4

^{et - 1 de}

r5

^à

rg.

Notons enfin que :

r3 = r;; r7 = r6. (8)

VECTEURS DE BASE ET INVARIANTS. ^- Considérons les combinaisons linéaires suivantes des

spins :

La

première équation (2)

^montre

déjà

que, ^sous

l’opération 1,

^{F et C ne}

changent

pas, tandis que G et A

changent

^de

signe.

^{Il est donc} certain que les vecteurs de base

appartenant

^aux

représentations r 1

à

r 4

^{vont être formés avec les}

composantes

^des

vecteurs F et

C,

^tandis que les vecteurs de base pour

r5

^à

rg

^{seront formés avec les}

composantes

de G et A. On a par

exemple, grâce

^à

(2) :

Gx

^et

A~

^{sont donc vecteurs} d’un sous-espace à deux

dimensions,

^mais

qui

^{doit être} réductible. On voit aisément que :

On en déduit _que

V,

⁼

Gx -~- iA~ appartient

^à

l,.

V2

⁼

Gy

^-

L4~ appartient également

^à

r 5.

^{On trouve}

de _{même que} tous les vecteurs de base résumés dans la dernière colonne du tableau II ont la forme

L4~

pour

r 5

^à

r 8

^et

iC«

pour

h1

^à

h4

^{avec oc =} x, y, ^z.

On obtient naturellement les mêmes résultats _par la

technique

^des

opérateurs

^de

projection.

L’HAMILTONIEN EFFECTIF. ^- Les invariants sont

obtenus en formant les

produits

^{de vecteurs de base}

conjugués

d’une même

représentation,

^par

exemple

dans

r 5 :

ou encore par les

produits

^{de vecteurs}

appartenant

^à deux

représentations conjuguées (par exemple

^un

vecteur de

r 5

^{et un vecteur de}

r8) .

L’expérience ayant

^{montré la}

présence

^simultanée

des

composantes Ax, Ay, G~

^et

G~,

l’hamiltonien construit

grâce

^aux invariants

(12)

^{s’écrira :}

72

TABLEAU II

REPRÉSENTATIONS ET VECTEURS DE BASE

(4)

^La

représentative

^de

212

^{en 00z est -}

Al A2. effet,

^dans Pbnrn, ^{on a :}

2,z

⁼

21, . 21,~ ^{{ e ~}

^{1 0 1}

^}.

Les

équations (9)

^{avec F = C = 0}

impliquent

^{alors :}

La constance des

spins sj 1

^{= s}

entraîne,

^selon

(14) :

On

peut exprimer

l’hamiltonien en fonction de deux variables fournies par

l’expérience,

^{à savoir}

(cf. fig. 2) l’angle «

que fait A avec Ox et

l’angle ~

que fait A avec la résultante A

+

^{G : la minimi-} sation de H ou h

(16)

^{conduit avec} peu

d’algèbre

à

(17) :

Expérimentalement,

^{oc =}

113,50; ~

⁼

51,3°,

^{d’où :}

Avec les valeurs

d’équilibre (17),

l’hamiltonien

(16) prend

^{la forme :}

Pour

comprendre

^{le sens des}

coefficients a, b, c et d, explicitons (13)

pour obtenir :

On reconnaît une

partie isotrope (coefficient

^de

b),

une

anisotropie

^uniaxiale

(coefficient

^de

a - b),

^et

enfin une

anisotropie

^{« croisée » en x,} y

(coefficients

de c et

d)

^dont la contribution à

l’énergie

^{est bien}

supérieure

^{à celle de}

l’anisotropie

^uniaxiale.

On

peut

^{écrire H sous la forme :}

où le

dyadique CP

^{est donné} par

(22) :

On constate que y. ^et cpd ^sont des tenseurs

symé- triques

^{de trace} nulle. Les interactions « croisées »

sont donc du

type dipolaire, pseudodipolaire

^ou

champ cristallin,

^{mais non} pas du

type Dzialoshinski-

Moriya.

Notons enfin

qu’avec

^{les vecteurs} propres

V,, V2

l’énergie peut

^{s’écrire :}

Conclusions. La structure

magnétique

^de

DyCr03

aux basses

températures

^{a ceci de}

particulier

que l’ordre

G,

^des

spins

du chrome

peut

être décrit dans une maille

magnétique identique

^{à la maille}

chimique,

tandis que l’ordre des

spins

^du

dysprosium exige

^un doublement de la maille

chimique

^{selon Ox}

et

Oy.

^De

plus,

^{à notre}

connaissance,

^{c’est la}

première

fois _que l’on a trouvé un ordre

magnétique appartenant

à ^une

représentation complexe

^{à une dimension du}

groupe

d’espace.

Il _{n’est pas}

possible

^{de trouver un} groupe ^commun de Shubnikov

appartenant

^à la famille orthorhom-

bique

^mmm du groupe

ponctuel.

Pour l’ordre de

Dy,

on

peut

^{trouver un} groupe

monoclinique

^{de Shub-}

nikov Mais ^- et c’est ici que

l’avantage

de notre méthode

apparaît

^{- on}

perd

^{alors un}

grand

nombre

d’opérations

^de

symétrie.

^{Or c’est}

précisé-

ment l’ensemble des

opérations

^de

symétrie qui

^{nous a}

permis

de construire un hamiltonien invariant.

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