HAL Id: jpa-00232893
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Submitted on 1 Jan 1985
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Chauffage de particules dans une structure magnétique périodique
C. Gonella, C. Gil, P. Louvet
To cite this version:
C. Gonella, C. Gil, P. Louvet. Chauffage de particules dans une structure magné- tique périodique. Journal de Physique Lettres, Edp sciences, 1985, 46 (16), pp.745-749.
�10.1051/jphyslet:019850046016074500�. �jpa-00232893�
Chauffage de particules
dans une structure magnétique périodique
C. Gonella, C. Gil et P. Louvet
DPC, STS, C.E.N. Saclay, 91191 Gif sur Yvette Cedex, France (Re~u le 7 janvier 1985, revise le 10 juin, accepte le 17 juin 1985)
Résumé. 2014 Lorsque l’on injecte un faisceau de particules dans une structure périodique à miroirs
faiblement modulés, on obtient pour certaines conditions initiales un transfert d’énergie résonnant
entre énergie longitudinale et transversale. La résolution des équations du mouvement permet de
déduire la croissance du rayon de Larmor.
Abstract. 2014 When a particle beam is injected through a spatially periodic modulated mirror, under special initial conditions, one obtains a resonant exchange of energy from the longitudinal to the
transverse component of the particle velocity. The equations of motion are solved and the growth of
the Larmor radius is predicted.
Classification Physics Abstracts
52.50 - 02.90
1. Introduction.
Pour chauffer des particules chargees on utilise, en fusion controlee [1], comme en separation isotopique [2], le transfert d’énergie entre une onde electromagnetique et des particules dont la frequence gyromagnetique est égale a la frequence de ronde de pompe.
Un autre processus pour accroitre l’énergie perpendiculaire de particules chargees repose sur 1’effet de resonance observe, sous certaines conditions, quand des particules sont injectées dans
un champ magnetique modulé spatialement. Comme nous le verrons dans la suite, les parti-
cules décrivent une trajectoire qui croit exponentiellement avec le temps. Les etudes expéri-
mentales [3] et theoriques [4, 5] ont permis de trouver la condition qui frermet de transferer de
1’energie longitudinale en énergie transversale.
-
Cette condition est une condition de resonance parametrique donnee par (1) :
ou ~2 désigne la pulsation cyclotron des particules considérées, Vz leur vitesse parallèle et A la longueur d’onde de la modulation spatiale du champ magnétique BZ . Dans ce qui suit nous
choisissons BZ de la forme :
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyslet:019850046016074500
L-746 JOURNAL DE PHYSIQUE - LETTRES
La methode de perturbation utilisee par Laing [4] permet egalement d’obtenir la croissance du rayon de Larmor de la particule dans les premieres periodes de la modulation du champ magne- tique, en supposant qu’a 1’entree de la modulation la particule ne possede pas de vitesse perpen- diculaire. Nous proposons dans la suite une methode qui permet d’obtenir une expression ana- lytique correcte de la croissance du rayon de Larmor qui tient compte de la vitesse perpendi-
culaire initiale de la particule.
2. Equations du mouvement.
En coordonnees cartesiennes, les composantes du champ magnetique s’ecrivent avec k = 2 7r//)
En posant X = x + ~ 1’equation du mouvement se decompose en deux equations :
Quand s tend vers le zero les solutions de (3) et (4), Xo(E, t), Yz(E, t) sont les solutions du mouve- ment dans un champ magnetique homogene qui s’ecrivent autour du centre guide :
avec Ro = p eiqJ ou p designe le rayon de Larmor et T la phase de la particule sur son orbite cir- culaire.
3. Résolution du systeme.
L’equation (3) est une equation lineaire homogene du second ordre, dont on voit que la solution peut etre obtenue en posant un changement de fonction du type :
Cette methode a ete utilisee par Fedorchenko [3] et 1’auteur aboutit a une equation de Mathieu, qu’il ne resoud pas.
Les solutions des equations de Mathieu présentent des oscillations avec une variation expo- nentielle d’amplitude.
Cette derniere remarque ainsi que la forme de (7), nous suggere de rechercher des solutions du type :
Ce developpement permet d’obtenir une equation lineaire du second ordre a coefficients constants.
La solution de (4) est recherchee sous la forme :
En reportant (9) et (10) dans (3) on obtient a l’ordre s, l’équation qui régit .XB :
dont la solution s’ecrit :
Si K tend vers S2 alors A et B ne sont plus bornes, la solution (11) n’est plus valable. On pose maintenant kV,, .0 = f2 dans (11), on obtient comme solution :
11 apparait pp dans X t 1 ( ) un terme seculaire
~92t eiUt)
qui provoque un accroissement du rayon4 q p q Y
de Larmor. On prouve ainsi que pour kVzo = 0, condition de resonance equivalente a (1), le
mouvement sur 1’orbite circulaire s’accroit.
En resolvant (4) on trouve 1’expression de VZ :
Cette equation ne contient pas de termes seculaires. Si nous supposons
alors nous pouvons poser VZ = VZo. C’est ce que nous ferons pour resoudre 1’equation (3) a 1’ordre E2.
En reportant (13) et en posant VZ = VZo dans (3) on obtient a 1’ordre s~, 1’equation qui regit
X2(t) avec : --...
L-748 JOURNAL DE PHYSIQUE - LETTRES Dont la solution s’ecrit :
Quand f2t tend vers l’infini X~ se comporte comme (12 t 2/32 en ne prenant que les termes séculaires de (13) et de (17), que nous reportons dans (9) nous obtenons 1’expression de X :
Le rayon de Larmor p = I X est donne par :
Fig. 1. - Courbes 2013 en fonction de ~t , calculees : (20132013) numeriquement par une méthode de Runge-
Po 2~
Kutta; (2013) ,(_-) a 1’aide de I’e uation (20). s = 0,05, ~=207Em’B~=47ExlO~ rad/s, F-~-’--° =0,1.
q ( ) , > > f, Jlzo
Curves p
as a function of2013calculated : (20132013) numerically (Runge-Kutta) ; (---) using (Eq. (20)). ~ = 0.05,L Po 2 ~
T/ 1
k=20~m-’
~=4~ x1t V~o ]
~ = 20 7E nrB f2 = 4 7c x 10~ rad/s, 2013~ =
0.1.
k = 20 n m-t, fJ = 4 n x 105 radjs, - = 0.1.
¥zo J
Nous voyons que le rayon de Larmor croit effectivement de fa~on exponentielle. Sur la figure 1
nous avons compare les variations de p calcuIées a 1’aide de (20) et numeriquement par une methode de Runge-Kutta en prenant comme parametres :
L’h Yp othese -~2013 ~ ~-LO’’z0 qqe etant verifiee, nous observons un accord presque parfait pour les dix premieres periodes du mouvement.
4. Conclusion.
En cherchant une solution du type X = Xo(l + eX! + 82 X2) et en faisant 1’hypothese que
ylo ~±o 1 nous avons obtenu une expression analytique correcte de l’accroissement du rayon de
~z0 p Yq Y
Larmor d’une particule injectee dans une structure magnetique modulée spatialement.
L’interet d’une recherche de solution de ce type reside dans le fait, que dans notre cas,1’equation
obtenue a l’ordre 8 (et aussi a l’ordre e2) est une equation linéaire du second ordre a coefficients constants, dont on connait la solution generate.
Cette methode pourra donc etre utilisee chaque fois qu’elle permettra d’obtenir une equation
lineaire a coefficients constants.
Bibliographie
[1] T.F.R. GROUP, Rapport EUR-CEA-FC (1981) 1108.
[2] BERNAUD, C., et al., Ann. Mines (Février-Mars) (1983).
[3] FEDORCHENKO, V. D., RUTKEVICH, B. N., CHERNYI, B. M., Sov. Phys. Tech. Phys. 4 (1959) 1112.
[4] SINELNIKOV, K. D., RUTKEVICH, B. N., CHERNYI, B. M., Sov. Phys. Tech. Phys. 5 (1960) 229.
[5] LAING, E. W., ROBSON, A. E., Plasma Phys. 3 (1961) 146.
