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La réduction de modèle pour déformer en temps réel une structure à comportement non-linéaire
Jean-Luc Dulong, Frédéric Druesne, Pierre Villon
To cite this version:
Jean-Luc Dulong, Frédéric Druesne, Pierre Villon. La réduction de modèle pour déformer en temps
réel une structure à comportement non-linéaire. 7e colloque national en calcul des structures, CSMA,
May 2005, Giens, France. �hal-01812995�
La réduction de modèle pour déformer en temps réel une structure à comportement non-linéaire
J.L. Dulong, F. Druesne, P. Villon
Département de génie des Systèmes Mécaniques Laboratoire Roberval – FRE UTC – CNRS n°2833 BP 20319
60206 Compiègne cedex
jean-luc.dulong@utc.fr, frederic.druesne@utc.fr, pierre.villon@utc.fr
RÉSUMÉ
. Une approche de type réduction de modèle a été étudiée pour explorer la faisabilité de déformer en temps réel une structure mécanique à non linéarités géométrique et matérielle, dans un environnement virtuel 3D. Le modèle mécanique est quasi-statique, avec un matériau hyper-élastique en grandes déformations. L’approche est basée sur une campagne de pré-calculs par éléments finis sur laquelle nous appliquons la transformation de Karhunen-Loève. L’application sur une durit automobile en caoutchouc fournit des réductions de volume de données importantes pour une précision très satisfaisante sur les déplacements. La déformée de la structure est ici obtenue en temps réel en fonction du chargement appliqué sur cette structure.
ABSTRACT
. An approach of model reduction is studied to explore the feasibility of real time deformation of a non linear mechanical structure (geometric and material), in a 3D virtual environment. The mechanical model is quasi-static, for a hyper-elastic material with large deformations. The approach is based on use the finite element pre-computed non-linear analyses, and on the use of the Karhunen-Loève expansion. The application on an automotive hose composed by rubber gives large reductions of data storage for a very satisfying accuracy for the displacements. Thus, the structure deformation is obtained in real time in function of the load applied on this structure.
MOTS-CLÉS
: réduction de modèle, transformation de Karhunen-Loève, temps réel, modèle mécanique non linéaire.
KEYWORDS
: model reduction, Karhunen-Loève expansion, real time, non linear mechanical
model.
1 Introduction
Dans le souci d’optimiser la conception des structures, il est intéressant de manipuler en temps réel une structure virtuelle déformable dans sa phase de conception. Jusqu’alors, seules la chirurgie endoscopique (Picinbono et al., 2001) et l’industrie graphique pour l’animation vidéo (James et al., 2002) se sont sérieusement intéressées à déformer des objets en temps réel. Leurs modèles physiques sont extrêmement simplifiés et sont inadaptés aux calculs de structures dans l’industrie mécanique (Mikchevitch et al., 2003).
La réduction de modèle peut être une alternative pour résoudre un problème mécanique complexe en temps réel. L’objectif vise à garder la complexité mécanique initiale du modèle en stockant uniquement des données représentatives, ce qui permet de réduire le volume de stockage et le nombre de calculs à réaliser en temps réel.
Nous nous intéressons donc à la réduction d’un modèle mécanique complexe par une approche fondée sur l’exploitation d’une campagne de pré-calcul, puis cette méthodologie est appliquée à la manipulation d’une durit automobile.
2 Méthode de réduction de modèle de Karhunen-Loève
L’approche consiste à réaliser une campagne préliminaire de calculs par la méthode des Eléments Finis. La géométrie de la structure est décrite par N degrés de liberté, et la campagne est composée de S cas de charges, de solutions u
s∈IR
Npuis stockée dans une matrice C (N x S).
Pour réduire le volume de ces données, nous proposons d’utiliser la Transformation de Karhunen-Loève (Karhunen, 1946), (Lumley, 1970 ; Picard et al., 2000), (Ma et al., 1999), (Krysl et al., 2001).
Soit le sous-espace H de dimension m tel que H ⊂ E, avec E=IR
N, il est engendré par les vecteurs ϕ
i, pour i = 1,…,m et passe par le point P
0. On définit P
Hle projecteur orthogonal sur le sous-espace H par
[1] P
H( u
s) = ∑ ϕ
i( ) usTϕ
i + P
0
= m
i1
On cherche à minimiser les distances entre u
set leur projection P
H(u
s),
[2]
2
1
)
∑ − (
= u P
sJ
= S
s
F
s
u
J est minimum si les vecteurs ϕ
isont les m premiers vecteurs propres de corrélation U des solutions centrées u
s, avec Φ la matrice modale de i
èmecolonne ϕ
i.
[3] u = u = 1 S ∑S u u
s = u
s− u
s s i
=
et
1
[4] U = ∑ sT
= S
s s
u u
1
En temps réel, le calcul du déplacement approché u ~ est donné par
[5] u ~ = P ( u
s) u = ∑m ϕ ( u ) u a
s+ u
i
i T s i
H
+ + = Φ
=1
ϕ
Seuls les m premiers modes sont conservés dans Φ, on stocke donc Φ (N x m), A (m x S) dont la s
ièmecolonne est le vecteur
sT
s
u
a = Φ , et le vecteur u (N).
Dans le cadre d’une application en temps réel, pour laquelle le chargement est variable, deux aspects sont à minimiser : le volume des données stockées pour réduire le temps d’accès à ces données, et le nombre d’opérations à effectuer pour réduire le temps de calcul.
Concernant le stockage, l’approche par la campagne de pré-calculs nécessite le stockage de la matrice C, de dimensions N x S ; la réduction de modèle par la Transformation de Karhunen-Loève (TKL) réduit le stockage aux matrices A, Φ et
u , soit m x S +m (N + 1).
Quant aux opérations à effectuer, sans réduction de modèle, la difficulté est de retrouver en temps réel le déplacement u
scorrespondant au chargement dans la matrice C (N x S), cette recherche est pénalisante ; après réduction de modèle par la TKL, le calcul de [5], de coût N x m, nécessite la recherche de a
sdans la matrice A, de taille bien moindre (m x S).
3 Application
Cette méthodologie a été appliquée sur une durit automobile en caoutchouc encastrée à ses deux extrémités. La géométrie est modélisée en 2D par 66 éléments poutre à 2 nœuds, soient N = 201 ddl. Le matériau est modélisé par un comportement néohookéen incompressible.
Un code de calcul par éléments finis nous permet de déterminer les S=1900 pré-
calculs d’une campagne de chargement en force F appliquée en un nœud, avec
F
x∈[-74,-71,…,73] N et F
y∈[-70,-68,…,4] N.
-100 0 100
-100 0 100 200 300
Durit non déformée Déformée issue du calcul EF Déformée approchée par TKL
Figure 1. Déformée de la durit selon la méthode TKL (m=7), comparée à la déformée issue du calcul par EF, pour le cas de charge (F
x= -20 N, F
y= -20 N).
Afin d’analyser la précision des déformées sur l’ensemble des cas de charge de la campagne, on calcule e
TKL[6] qui quantifie les maxima des écarts entre les déplacements approchés u ~
jset les déplacements observés , sur les n nœuds et sur les S cas de charges, relativement à la longueur initiale de la durit L
js
u
0
.
1 0 1
max ~
max u u L
e
jsjs n j S s
TKL
= ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞
=
=… …
[6]
0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
14%
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
Nombre de modes retenus eTKL (mm)
Figure 2. Précision e
TKLen déplacement entre les résultats de la campagne et les déplacements approchés TKL en fonction du nombre de modes retenus.
A partir du nombre de mode retenu m=7, on s’intéresse à la précision moyenne e
TKLen fonction de la norme de la force F. Cette précision [7] est la moyenne des écarts maxima sur les n nœuds, pour les observations p avec F
p∈ [F
min, F
max]. Elle reste constante (moyenne de 0,14%) quelle que soit la force F. Les grands déplacements induits par des forces élevées ne détériorent donc pas la qualité des résultats.
[7] ( ) = ∑ ⎜ ⎝ ⎛
=p n
TKL
F P
F
0max 1 min
max ~ , 1
…
−
jp⎟ ⎠ ⎞
jp
j