Contrôle continu final (Durée 2 heures) Problème n&ordm

Texte intégral

(1)Année Universitaire 2005/2006 Filière : Sc. Éco. & Gestion Semestre : Deuxième (S2) Module : Méthodes Quantitatives I Élément : Mathématiques I. Université Abdelmalek Essaâdi Faculté Polydisciplinaire Tétouan. Contrôle continu final (Durée 2 heures) Problème nº 1: Calculer les intégrales suivantes : 3. I=∫ 2. 12 x − 3 x 2 x2 − 2x + 1. 5. dx. et. J=∫. 2x2 − 4x + 2 2x − 5. 3. dx. Problème nº 2: On considère la suite qui, à tout n entier strictement positif, associe le nombre. U n tel que : a) U n est strictement positif. b) La suite est une suite géométrique de raison. 2 . 5. c) Les trois premiers termes vérifient l’égalité :. 5U 1 U 3 = 6 U 2. (E). On demande de : 1) Calculer Exprimer. U1 .. Un. en fonction de n.. Calculer U 2 et U 3 et vérifier (E). 2) Montrer que la suite est strictement décroissante et converge vers 0. 3) Exprimer la somme. Sn = U1 + U2 + U3 +L+ Un. 4) Trouver la limite de. Sn .. Problème nº 3: On considère la fonction f définie par. (. f(x) = Log 1 + e x. en fonction de n.. ). 1) Donner l’ensemble de définition de f. 2) Etudier les variations de f 3) Montrer que la courbe (C ) représentative de f a pour asymptote oblique la droite d’équation y = x . 4) Tracer (C ) .. 1.

(2) www.elmerouani.jimdo.com. Correction du contrôle final 2005-2006 Problème n°1 : I =∫. 3. 2. − 3 x 2 + 12 x. On a :. = A+. 2. x − 2x + 1. ®E 3. 3. 2. 2. dx x 2 − 2x + 1. B C + x − 1 ( x − 1)2. = −3 +. 6 9 + x − 1 ( x − 1)2. 3 dx dx + 9∫ 2 x −1 (x − 1)2. lM. I = −3∫ dx + 6 ∫. 12 x − 3 x 2. = −3 + 6[Log ( x − 1)]. 3 2. 3. 9  1  − 9 = −3 + 6 Log 2 +  2  x − 1 2. ero 5. 2x 2 − 4x + 2. 3. 2x − 5. J =∫. 2x 2 − 4x + 2. c 2x − 5 2x − 5 1 9 = x+ + 2 2(2 x − 5) 5  1 9 dx J = ∫  x + + 3 2 2(2 x − 5)   5  5 d x −   x2  1 9 5 2 =   + ×2+ ∫  3 5 4  2  3 2 x− 2. ua. On a :. dx. = ax + b +. ni FP. 1) Calcul de U1 : Comme on a :. an. Problème n°2 :. tou. Te. 5. 9 5   25 9   =  −  + 1 +  Log  x −  4 2  3  2 2  9 5 1 9 = 9 +  Log − Log  = 9 + Log 5 4 2 2 4. 2. 2 U 2 = U1 5. et. 2 U 3 =   U1 5. 2. La relation (E) donne. 12 2 5U 12   = U 1 5 5. ⇔ 4U 12 = 12U 1 En écartant la solution banale (et sans intérêt) U1=0, il vient que U1=3 . 2.

(3) www.elmerouani.jimdo.com. ®E. Expression de Un en fonction de n : Par multiplication membre à membre des n égalités 2   U n = 5 U n −1  2 U n −1 = U n − 2  5  M   U 2 = 2 U1 5   U 1 = 3 2 U n = 3×   5. Il vient, après simplification. n −1. lM Calcul de U2 et U3 :. Compte tenu de cette relation, il vient que U 2 = 3 ×. 2 6 = 5 5. et. 2. ero. 12 2 U3 = 3×   = 25 5 Vérification de (E) :. 5U 1 U 3 = 5 × 3 ×. 12 36 = = 6U 2 25 5. ua. On vérifie bien que. 2) Comme ∀ n ∈ IN *;. ni. U n +1 2 = < 1 , la suite est donc strictement décroissante et 5 Un. 2 2 converge vers 0, puisque < 1 ⇒ lim   n → +∞ 5 5  . 3) On a. n → +∞. =0. FP. lim U n = 0. C’est-à-dire. n −1. Te. n −1  2 2  S n = U 1 + U 2 + L + U n = 31 + + L +     5    5 n. n. On a. (puisque. 2 < 1) 5. lim S n = 5. n → +∞. Problème n°3 :. (. f ( x) = Log 1 + e x 1) Df=IR lim f ( x) = lim Log 1 + e x = 0 x → −∞. lim. x → +∞. ( ) f ( x) = lim Log (1 + e ) = +∞ x → −∞. x. x → +∞. 3. ). an. 2 lim   = 0 n → +∞ 5  . 4) Comme. tou. 2 1−     2 n  5 = 3× = 51 −    2   5   1− 5.

(4) www.elmerouani.jimdo.com. 2). f ' ( x) =. x f ‘(x) f. ex. 1+ ex. ; ∀x ∈ IR +∞. ─∞ +. +∞. 0 3) Montrons que la courbe de f admet la droite y=x comme asymptote oblique :. ®E. [ (. ) ]. lim( f (x) − x) = lim Log1+ e x − x. x→+∞. x→+∞. 1 ⇔ x = − LogX X Lorsque x → +∞; e x → +∞ et X → 0 ex =. lM. On pose. .  .  1  + LogX X . ero. ( f (x) − x) = Xlim Log1+ Donc xlim →+∞ →+∞ . ua.   1+ X  = lim  Log   + LogX  = lim [Log (1 + X ) − LogX + LogX ] X →0  X    X →0 = lim Log (1 + X ) = Log1 = 0 X →0. 4) Représentation graphique de la courbe de f :. ni FP an. tou. Te 4.

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