Contrôle final de Mathématiques I (Durée 2 heures) Exercice : Calculer les intégrales indéfinies suivantes

Texte intégral

(1)Université Abdelmalek Essaâdi Faculté Polydisciplinaire Tétouan. Année Universitaire 2006/2007 Filière : Sc. Éco. & Gestion(S2) Module : Méth. Quantita. 1. Contrôle final de Mathématiques I (Durée 2 heures) Exercice : Calculer les intégrales indéfinies suivantes :. x +1 I =∫ 3 dx x + x2 − 2x. J =. ;. ∫. x6 + x5 + 1 1− x. dx. Problème nº 1: Pour tout entier naturel n, on pose n +1. Un =. ∫ (x + 1)e. −x. dx. n. 1. Montrer l’existence de la suite. (U ). n n∈IN. .. 2. Á l’aide d’une intégration par parties, calculer 3. Étudier la convergence de la suite. (U ). n n∈IN. U n en fonction de n.. .. 4. Pour tout entier naturel n, on pose n. S n = ∑U i i =0. a. Calculer. S n en fonction de n.. b. Déterminer la limite de. S n quand n tend vers +∞.. Problème nº 2: 1. Soit la fonction numérique suivante :. f ( x) = x 2 − 1 + Log x .. Déterminer le tableau de variation de la fonction f et préciser la ou les valeurs de x telle(s) que f(x)=0. 2. Étudier et représenter graphiquement la fonction g définie par : g ( x ) = x − 1. Log x . x.

(2) www.elmerouani.jimdo.com. Correction du contrôle final (2006-2007) Exercice : Intégration des fractions rationnelles : 1). Calcul de. (. x +1. ∫ x(x + 1)(x + 2)dx. ). x( x − 1)( x + 2 ) = x 2 − x ( x + 2). ®E. = x3 − x 2 + 2x 2 − 2x. Q( x) = x 3 + x 2 − 2 x. (. ). lM. Q( x) = x x 2 + x − 2 ∆ = 1+ 8 = 9 −1− 3 x1 = = −2; 2. x2 =. −1+ 3 =1 2. ero. x +1 a b c = + + x( x − 1)( x + 2 ) x x − 1 x + 2 1 Multiplions les deux membres par x et remplaçons ensuite x par 0 ; on obtient a = − 2 2 Multiplions les deux membres par x-1 et remplaçons ensuite x par 1 ; on obtient b = 3 1 Enfin, multiplions les deux membres par x+2 et remplaçons ensuite x par − 2 , on obtient c = − 6 Alors, la décomposition est entièrement déterminée. Passons, donc, au calcul de la primitive : x +1 1 dx 2 dx 1 dx ∫ x(x − 1)(x + 2)dx = − 2 ∫ x + 3 ∫ x − 1 − 6 ∫ x + 2 1 2 1 I = − Log x + Log x − 1 − Log x + 2 + C 2 3 6 La décomposition de la fraction rationnelle proposée est de type. ni. ua. FP. Te. tou. x6 + x5 + 1 2) Calcul de J = ∫ dx 1− x P( x) = x 5 Q( x) + 1 x 6 + x 5 (1 − x ) dx 1− x dx J =∫ + x 5 dx 1− x ∫ x6 J = − Log 1 − x + +C 6 J =∫. an. Problème n°1 : 1). Existence de la suite (U n )n∈IN : 2.

(3) www.elmerouani.jimdo.com. Toute fonction continue sur [a, b] est intégrable. La fonction x a ( x + 1)e − x étant le produit de deux fonctions continues sur [n, n + 1] et intégrable sur cet intervalle. 2) Calcul de Un : n +1. ∫ (x + 1)e. Un =. −x. dx. n. Par parties, on pose : u ( x) = x + 1;. u ' ( x) = 1. −x. v ( x ) = −e − x. v' ( x ) = e ,. ®E [. U n = − ( x + 1)e. [. ]. − x n +1 n. +. ∫e. −x. dx. n. ]. n +1. [ ]. n +1. − e−x. lM. U n = − ( x + 1)e − x. n +1. U n = −(n + 2 )e. n − ( n +1). n. − (n + 1)e − n − e − (n +1) + e − n. [. ]. U n = −(n + 3)e − (n+1) + (n + 2 )e − n = e − n − (n + 3)e −1 + (n + 2). Convergence de (U n )n∈IN :. ua. 3). ero.   1 3 U n = e − n  n 1 −  + 2 −  e   e. → 0 Quand n tend vers +∞ ; e − n tend vers 0 et aussi ne − n n → +∞ Donc lim U n = 0 n → +∞. ni n. 4). ∑ ∫ ( x + 1 )e. Calcul de S n =. i +1. i=0. 0. (x + 1)e − x dx. [ ] = [− (n + 2)e (. Donc : S n = − ( x + 1)e − x. n +1. 0 − n +1). [ ] + 1] − [e ( − e− x. n +1. 0. − n +1). ]. −1. Te. Sn. dx. FP. =∫. n +1. −x. i. Sn = −(n + 3)e − (n +1) + 2. Donc lim Sn = 2 n → +∞. Problème n°2 : 1) f ( x) = x 2 − 1 + Log x f est définie pour x>0 ⇒ D f = ]0, + ∞[ 3. an. tou. 1 1 n 3 =  n + n e e  e e  n 3 Quand n tend vers +∞, n tend vers 0, de même que n e e. On peut écrire (n + 3)e − (n +1) = (n + 3)e − n ×.

(4) www.elmerouani.jimdo.com. lim f ( x) = +∞. x →0 +. et. lim f ( x) = +∞. x → +∞. lM. ®E. f est continue et dérivable sur Df car c’est la somme des fonctions continues et dérivables sur Df. 2 1 2x + 1 Sa dérivée est f ' ( x) = 2 x + = x x x 0 1 +∞ f’ + + f +∞ 0 ─∞ f ( x) = 0 ⇔ x = 1 Log x 2) g ( x) = x − x * Dg = IR+ = ]0, + ∞[ lim g ( x) = +∞ ⇒ Oy asymptote. x→0+. ero. lim g ( x) = +∞ ⇒ étude des branches paraboliques ou des asymptotes obliques.. x → +∞. g ( x) et =1 lim g ( x) − x = 0 ⇒ y = x asymptote oblique x → +∞ x → +∞ x g est continue et dérivable sur Dg car c’est la somme (et le produit) des fonctions continues lim. ua. et dérivables sur Dg .. ─. 1. FP. x 0 g’ g ─∞. 1 − Log x f ( x) = 2 ⇒ g ' ( x) est de signe de f(x). x2 x 1 +∞ 0 + +∞. ni. Sa dérivée g ' ( x) = 1 −. an. tou. Te 4.

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Contr&ocirc;le final de Math&eacute;matiques I (Dur&eacute;e 2 heures) Exercice : Calculer les int&eacute;grales ind&eacute;finies suivantes

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