On sait que f est indéfiniment dérivable sur IR et on a

Texte intégral

(1)www.elmerouani.jimdo.com. Analyse Mathématique. Développements limités. 1 s’obtiennent en faisant le changement de variable x=-t 1− x. Les D.L de 1 − x et. Développement limité des fonctions trigonométriques : 1) Fonction cosinus : Soit f (x)=cos x. On sait que f est indéfiniment dérivable sur IR et on a :. ®E ∀ n ∈ IN ;. f. (n). π  ( x) = cos  x + n  2 . lM D’où. f. (n). (0) = cos n. π 2. n = 2p ⇒ f. Par suite,. (2 p). (0) = cos pπ = (− 1). p. ero n = 2 p +1 ⇒ f. ( 2 p +1). π  (0) = cos  + pπ  = 0 2 . ua. Par conséquent, ∀p ∈ IN , on a :. ni. cos x = 1 −. 2p x2 x4 x6 p x + − + L + (− 1) + o x 2 p +1 2 4! 6! (2 p )!. (. ). au voisinage de zéro.. FP. 2) Fonction sinus :. Pour f (x)=sin x ; on sait de même que f est indéfiniment dérivable sur IR.. f. ( n). π  ( x) = sin  x + n  2 . Si n=2p+1 alors f. ( n). (0) = sin n. π . 2. an. ( 2 n). f. tou. Par conséquent, pour x=0, on a. Si n=2p alors f. Te. Pour ∀n ∈ IN , on a. (0) = 0. ( 2 p +1). Maintenant, ∀ x ∈ IR ,. π  p (0) = sin  + pπ  = (− 1) 2 . f. ( 2 p + 2). ( x) = sin( x + ( p + 1)π) = (− 1). 9 Prof. Mohamed El Merouani. p +1. sin x.

(2) www.elmerouani.jimdo.com. Analyse Mathématique. Développements limités. Par conséquent, ∀ x ∈ IR , sin x = x −. x3 x5 x7 x 2 p +1 p + − + L + (− 1) + o( x 2 p + 2 ) , au 3! 5! 7! (2 p + 1)!. voisinage de zéro.. Développement limité usuel obtenu par dérivation et par intégration : Du D.L. ®E. 1 = 1 + x + x 2 + ... + x n + 0( x n ) 1− x. au voisinage de 0. on déduit par dérivation. lM. 1 = 1 + 2 x + 3x 2 + ... + nx n−1 + 0( x n−1) 2 (1 − x). au voisinage de 0.. On a appliqué le théorème suivant :. ero. Théorème :. Si une fonction f dérivable sur l’intervalle Ι admet un D.L. d’ordre n au voisinage de 0. ua. f ( x ) = Pn ( x ) + 0( x n ) ⇒ f ' ( x ) = p 'n ( x ) + 0( x n−1 ) et si sa dérivée f ' admet un D.L. d’ordre n-1. au voisinage de 0, alors la partie régulière du D.L. de f ' est la dérivée de la partie régulière du. ni. D.L. de f. On a le D.L. d’ordre n au voisinage de 0. FP. 1 = 1 − x + x 2 + ... + (−1) n x n + 0( x n ) 1+ x. Par intégration et en remarquant que F (0) = Log1=0. x 2 x3 x n+1 + + ... + (−1) n + 0( x n+1 ) 2 3 n +1. Te. Log (1 + x) = x −. tou. On a appliqué le théorème suivant :. au voisinage de zéro.. Théorème :. Si une fonction f admet un D.L. d’ordre n au voisinage de 0 de partie régulière p (x ) et si, en. de 0, un D.L. d’ordre n+1 de partie régulière. ∫. x. 0. ∫. x. 0. an. plus, f est intégrable sur un intervalle formé contenant 0, alors. f (t )dt admet, au voisinage. x. x. 0. 0. pn (t )dt ⇒ ∫ f (t )dt = ∫ pn (t )dt + 0( x n+1 ). Le changement de variable x = −t donne le D.L. de. log(1 − x) = − x −. x2 x3 x n+1 − − .... − + 0( x n+1 ) 2 3 x +1. 10 Prof. Mohamed El Merouani. au voisinage de 0..

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On sait que f est ind&eacute;finiment d&eacute;rivable sur IR et on a

On sait que f est indéfiniment dérivable sur IR et on a