est la courbe d’une fonction f dérivable sur ℝ
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Texte intégral
(2) 6 5. C'. 4 3 2 1. -5. -4. -3. -2. -1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. -1 -2 -3 -4 -5. b i s. -6 -7. C. -8 -9 -10. N K. 3) On donne le cube ABCDEFGH , d’arête de longueur 1. On désigne par I le symétrique de E par rapport à A.. a- AC ∧ AD = A. 0 . B. AE . C. AI b- AC.AH = A. 0. B. 1. C. 3 .. H. E. G. F C. D. A. B. I. http://afimath.jimdo.com/. 9. 10.
(3) Exercice 2 : (5.5 points). L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct (o,i, j,k) . On considère les points A(-1, 0, 1) ; B(1, 4, -1) ; C(3, -4, -3) et D(4, 0, 4) 1) Montrer que les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires. 2) Montrer que ABC est un triangle rectangle en A. 3) a- Déterminer AB ∧ AC . b- En déduire une équation cartésienne du plan (ABC). 4) Calculer d(O, (AB)) 5) Calculer le volume V du tétraèdre ABCD. Exercice 3 ( 7 points) Soit f la fonction définie sur ℝ par : f(x) = x² + 2x + 5 , on désigne par C sa courbe représentative dans un repère orthonormé (0,i, j) .. b i s. 1) Montrer que la droite x=-1 est un axe de symétrie de C. 2) Dresser le tableau de variation de f. 3) a- Montrer que la droite ∆ : y = x + 1 est une asymptote à C au voisinage de +∞ .. N K. b- Tracer C. 4) On désigne par g la restriction de f à l’intervalle [ −1, +∞[ .. a- Montrer que g réalise une bijection de [ −1, +∞[ sur [2, +∞[ . b- Montrer que pour tout x ∈ [2, +∞[ on a : g-1(x) = −1 + x² − 4 . c- Tracer la courbe C’ de g-1.. Exercice 4 :(4.5 points) π Soit f la fonction définie sur 0, par : f(x) = tg²(x). 2 π 1) Montrer que f est une bijection de 0, sur [ 0, +∞[ . 2. 2) Montrer que f-1 est dérivable sur ]0, +∞[ et que pour tout x∈ ]0, +∞[ (f-1)’(x) =. 1 ). x² a- Montrer que g est dérivable sur ]0, +∞[ et calculer g’(x).. 3) Pour tout x ∈ ]0, +∞[ on pose g(x) = f−1 (x²) + f−1 (. b- En déduire que pour tout x∈ ]0, +∞[ on a : f−1 (x²) + f−1 (. 1 π )= . x² 2. http://afimath.jimdo.com/. 1 . 2(1 + x) x.
(4)
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