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Contrôle final de Mathématiques II (Durée 2 heures) Exercice 1 : Déterminer le rang des matrices suivantes

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Academic year: 2021

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(1)Université Abdelmalek Essaâdi Faculté Polydisciplinaire de Tétouan Département de Statistique et Informatique. Année Universitaire 2009/2010 Filière : Sciences Éco. & Gestion Semestre : Troisième (S3) Module : Méthodes Quantitatives II. Contrôle final de Mathématiques II (Durée 2 heures) Exercice 1 : Déterminer le rang des matrices suivantes :  − 1 3  ; A =   2 5. 1 2 1   B = 0 1 1 ;  2 0 2  . 1  1 C = 2  0 . 2 1 0 1. 1  1 1  1. Exercice 2 : Déterminer les valeurs réelles du paramètre λ tels que les vecteurs suivants forment un système libre dans IR3 : 1 1 1   1  1 1  u =  λ, − , −  ; v =  − , λ, −  ; w = − ,− ,λ . 2 2 2   2  2 2  Exercice 3 :  1 4 − 12    Soit la matrice A =  0 3 − 9  . 0 1 − 3    Déterminer les valeurs propres de A et leurs sous-espaces propres associés. La matrice A est-elle diagonalisable ? Exercice 4 : Une matrice A carrée d’ordre n est dite idempotente si et seulement si A ⋅ A = A 2 = A 1) Démontrer que si la matrice A suivante est idempotente,  2 − 2 − 4   A = −1 3 4   1 − 2 − 3   2) Démontrer que si une matrice A est idempotente, alors A n = A; ∀n ∈ IN * . 3) Démontrer que si AB=A et BA=B, alors A et B sont idempotente. 4) Démontrer que les valeurs propres d’une matrice idempotente A sont 1 ou 0. 2 5) Soit A une matrice idempotente. Démontrer que (2 A − I ) = I . Exercice 5 : Soient A et B deux matrices semblables avec P leur matrice de passage. 1) Montrer que pour tout n ∈ IN , on a : A n = P ⋅ B n .P −1 2) Si deux matrices inversibles A et B sont semblables, est-ce que A −1 est semblable à B −1 ? Est-ce que t A est semblable à t B ? (Justifier votre réponse)  2 0  1 − 2  et P =   . 3) Avec les notations précédentes, considérons B =   0 3 − 2 3  Calculer les puissances A3 , A10 et A n ,. n ∈ IN . Bon courage !. www.elmerouani.jimdo.com.

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