Problème n&ordm

Texte intégral

(1)Université Abdelmalek Essaâdi Faculté polydisciplinaire Tétouan. Année universitaire : 2006-2007 L.F. Sc. Eco & Gestion (S2) Module : Méthodes Quantitatives I. Contrôle Continu de Maths I Durée 1 heure. Problème nº 1 : On considère la fonction f définie par :. x  si x ≠ 0  f(x) = 2 4 + x  f( 0 ) = a  2. 2. Où a est un paramètre réel. 1) Pour quelle(s) valeur(s) de a, f est continue en 0 ? 2) Calculer. lim f ( x ). x →- ∞. Problème nº 2 : Soit (Vn) une suite arithmétique de raison r et de premier terme V1. Soit (Un) une suite numérique définie par : Un=eVn Pour tout n entier naturel non nul Vn (où e désigne l’exponentielle népérienne de Vn). 1) Vérifier que (Un) est une suite géométrique dont il faudra préciser les caractéristiques, c’est-à-dire son premier terme U1 et sa raison q, en fonction de V1 et r. 2) Donner la somme Sn=U1+U2+…+Un en fonction de V1, r et n. 3) Préciser les valeurs de r pour lesquelles la somme Sn admet une limite quand n tend vers +∞.. 1.

(2) www.elmerouani.jimdo.com. Problème n°1 : 1. f continue en 0 ⇔ lim f ( x) = f (0) = a x →0. x2. f ( x) =. 2− 4+ x. =. 2. (. x2 2 + 4 + x2 −x. 2. ) = −(2 +. 4 + x2. ). D’où lim f ( x) = −4 x →0. ®E. Donc f est continue en 0 ⇔ f (0) = −4 ⇔ a = −4 2. lim f ( x) = ? x → −∞. x2. x2. =.  4  2 − x 2  2 + 1 x    ∀x ∈ ]− ∞, 0[; x = − x. 2 − 4 + x2. D’où. x2. =. lM. f ( x) =. 4 +1 x2. 2− x. ero x2. f ( x) =. 4 +1 x2. 2+ x. x → −∞. x. 4 +1 x2. = −∞. 4 +1 x2. ni. 2 + x. 2 + x. ua. et lim. x. =. Problème n°2 : 1) U n = eVn. FP. U n +1 = eVn +1 = eVn + r = eVn ⋅ e r. U n +1 = U n ⋅ e r. ∀n ∈ IN *. U 1 = eV1. S n = eV1. 1− q. ( ). 1 − er. n. 1 − er. si. r≠0. si. q ≠1. r = 0 alors. S n = U 1 + U 2 + L + U n = eV1 + eV1 + L + eV1 = neV1. Limite de S n quand n → +∞ :. lim S n = eV1 lim. n → +∞. n → +∞. ( ). 1 − er. n. 1− er. 2. an. Si. S n = U1. tou. 2) D’après le cours. 1− qn. Te. D’où (U n ) est une suite géométrique de raison q = e r et de premier terme.

(3) www.elmerouani.jimdo.com.  1 si r = 0  n →+ ∞ si r > 0 → +∞  0 si r < 0 . (e ). r n. Or. Alors :. lim S n = lim neV1 = +∞. Si r = 0,. n → +∞. lim S n =. ®E. Si r > 0,. n → +∞. n → +∞. eV1 1 − er. ⋅ (− ∞ ) = +∞ V. lim S n = e. lM. Si r < 0,. V1. n → +∞. e1 1 ⋅ = 1 − er 1 − er. Conclusion : S n admet une limite quand n → +∞ pour r < 0 et dans ce cas on a :. ero. lim S n =. n → +∞. 3) V1 = 0. 1. 1 − er. r = −1. + ( n −1) r. ). ua. Un = e. et. = e (V. Vn. eV1. ( ) ⋅ (e ). ( n −1). = eV1 e r. −1 ( n −1). = e1− n. ni. = e0. Dans ce cas : r = −1 < 0. Donc S n =. n → +∞. 1 − er. 1 − e −n 1 − e −1. 1 1 − e −1. (car. e −n =. Te. lim S n =. n. FP. S n = eV1. ( ). 1 − er. 1 → 0 ). e n n→+∞. an. tou 3.

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