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(1)

Université Claude Bernard–Lyon I CAPES de Mathématiques : épreuve 2 Année 2006–2007

CAPES blanc 21/12/2006

Le probl`eme s’articule autour du groupe engendr´e par les matrices U =

1 2 0 1

et V =

1 0 2 1

.

Après une première partie de préliminaires, on montre qu’il est libre, ce qui conduit au premier dessin ; on l’utilise pour énumérer les triplets pythagoriciens, solutions entières de l’équation célèbre : x²+ y²= z², avec l’arbre du deuxième dessin.

On se place “dans” l’ensemble des nombres complexes C. Quand il sera question de géométrie, on considèrera C comme un plan affine euclidien orienté, de la fa¸con usuelle. On identifiera un

“point du plan” et son “affixe”.

On note P¹ = C ∪ {∞} l’ensemble obtenu en ajoutant un élément noté ∞ à l’ensemble des nombres complexes C. On étend partiellement les opérations de C à P¹ par les conventions :

∀a ∈ C, a + ∞ = ∞ + a = −∞ = ∞, a

∞ = 0.

Noter que 0 × ∞, ∞ − ∞ et 0/0 ne sont pas d´efinis.

Soit GL2(C) le groupe des matrices 2×2 complexes inversibles et, pour A = a b c d

∈ GL2(C), hA: P¹ −→ P¹

z 7−→











az + b

cz + d si z ∈ C et cz + d 6= 0,

∞ si z ∈ C et cz + d = 0, a/c si z = ∞ et c 6= 0,

∞ si z = ∞ et c = 0.

Avec les conventions sur le calcul avec ∞, et en ´ecrivant h_A(∞) = a +_∞^b

c +_∞^d = a c,

on r´eunit toutes les formules en une seule : h_A(z) = (az + b)/(cz + d) pour tout z ∈ P¹. Une homographie est une application de P¹ dans P¹ de la forme hA. Par abus, on appellera parfois homographie la restriction d’une telle application `a certaines parties.

(2)

I Généralités sur les homographies I.A Composition d’homographies

I.A.1) Vérifier que si A et A⁰ sont deux éléments de GL2(C), on a : hA◦ h_A0 = h_AA0.

I.A.2) En déduire que l’ensemble des homographies est un sous-groupe du groupe des bijec- tions de P¹. En particulier, on déterminera l’application réciproque d’une homographie.

I.A.3) V´erifier que pour tout A ∈ GL2(C) et tout λ ∈ C^∗, on a : hA= hλA.

I.A.4) Inversement, montrer que si A et A⁰ sont deux ´el´ements de GL2(C) tels que h_A= h_A0, il existe λ ∈ C tel que A⁰ = λA.

I.B Homographies et birapport

Etant donn´e quatre complexes distincts z1, z2, z3 et z4, on d´efinit leur birapport par : [z1, z2, z3, z4] = z1− z3

z1− z4

×z2− z4

z2− z3

.

Cette définition s’étend à quatre éléments de P¹. Par exemple, on a : [∞, 0, 1, z4] = z4. On fixe quatre complexes distincts z1, z2, z3 et z4.

I.B.1) Montrer qu’il existe une unique homographie h telle que h(z1) = ∞, h(z2) = 0, h(z3) = 1.

I.B.2) Que vaut h(z4) ?

I.B.3) Soit g une homographie. Notons, pour i ∈ {1, 2, 3, 4}, z_i⁰ = g(z_i) et h⁰ l’homographie telle que h⁰(z1⁰) = ∞, h⁰(z2⁰) = 0, h⁰(z⁰3) = 1. Montrer sans calculs que h = h⁰◦ g, et en d´eduire que l’on a :

[g(z1), g(z2), g(z3), g(z4)] = [z1, z2, z3, z4].

I.C Homographies et cercles

Rappel : quatre points distincts A, B, C, D sont cocycliques ou align´es si, et seulement si (−→\

AC,−−→

AD) ≡ (−−→\ BC,−−→

BD) [π].

I.C.1) Vérifier que quatre points sont cocycliques ou alignés si, et seulement si leur birapport est réel.

I.C.2) En d´eduire que l’image d’un cercle ou d’une droite par une homographie est un cercle ou une droite.

I.C.3) Exemple

On note j l’homographie d´efinie par

∀z ∈ P¹\ {0, ∞}, j(z) = 1

z ; j(0) = ∞ ; j(∞) = 0.

a. Montrer que j envoie la droite {z ∈ C : Re z = 1} sur le cercle de centre ¹₂ et de rayon ¹₂ (priv´e de 0).

b. Montrer que pour s > 1, j envoie la droite D_s= {z ∈ C : Re z = s} sur un cercle contenu dans le disque ouvert Q⁺ délimité par le cercle précédent (privé de 0).

c. En d´eduire que j envoie le demi-plan P⁺= {z ∈ C : Re z > 1} sur le disque ouvert Q⁺. d. Donner sans justification l’image de la droite {Re z = −1} et du demi-plan {Re z < −1}.

(3)

II Le groupe Γ(2) = hu, vi : un groupe libre

On note u = hU et v = hV les homographies d´efinies par :

∀z ∈ P¹, u(z) = z + 2, v(z) = z 2z + 1.

On note Γ(2) le groupe engendr´e par u et v dans le groupe des homographies. On note aussi P⁻= {z ∈ C, Re z < −1}, P⁺ = {z ∈ C, Re z > 1}, P0= {z ∈ C, −1 < Re z < 1},

Q⁻=

z ∈ C,

z +1 2

< 1 2

, Q⁺=

z ∈ C,

z −1 2

< 1 2

, Q0= C \ Q⁺∪ Q⁻. II.A Le groupe Γ(2)

On note Γ⁰ l’ensemble des homographies de la forme w^k₁¹w₂^k²· · · w_n^kⁿ, o`u n ∈ N^∗, (w1, . . . , wn) ∈ {u, v}ⁿ et (k1, . . . , kn) ∈ Zⁿ.

II.A.1) D´emontrer que Γ⁰ est un sous-groupe du groupe des homographies et que Γ⁰= Γ(2).

II.A.2) Soit g ∈ Γ(2)\{Id}. D´emontrer qu’il existe un entier n ∈ N^∗, ainsi que (w1, . . . , wn) ∈ {u, v}ⁿ et (k1, . . . , kn) ∈ Z^∗ⁿ tels que

g = w₁^k¹w^k₂²· · · w_n^kⁿ et ∀i ∈ {1, . . . , n − 1}, wi 6= wi+1. II.B Action de u et v sur certains disques

II.B.1) Repr´esenter sur un dessin P⁺, P⁻, Q⁺, Q⁻ et F = P0∩ Q0.

II.B.2) V´erifier que l’image de P0 par une puissance quelconque non nulle u^k, k 6= 0 de u est contenu soit dans P⁺, soit dans P⁻, selon le signe de k.

II.B.3) On note j l’homographie d´efinie par j(z) = 1/z. V´erifier que juj⁻¹= v.

II.B.4) On a vu en I.C.3) que j(P^±) = Q^±. Qu’en d´eduit-on sur v^k(Q0), pour k ∈ Z, k 6= 0 ? II.B.5) En d´eduire que

∀k ∈ N^∗, ∀ε, η ∈ {+, −}, u^εk(Q^η) ⊂ P^ε et v^εk(P^η) ⊂ Q^ε. II.C Libert´e de Γ(2)

II.C.1) Soit n ∈ N^∗, (w1, . . . , w_n) ∈ {u, v}ⁿ et (k1, . . . , k_n) ∈ Z^∗ⁿ tels que w_i 6= w_i+1 pour 1 ≤ i ≤ n − 1. On pose g = w^k₁¹w₂^k²· · · w^k_nⁿ.

a. Démontrer que g envoie F = P0∩ Q0 dans un des disques P⁺, P⁻, Q⁺, Q⁻. b. En déduire que g n’est pas l’identité.

II.C.2) Soit n, n⁰ ∈ N^∗, (w1, . . . , wn) ∈ {u, v}ⁿ, (w⁰1, . . . , w_n⁰0) ∈ {u, v}ⁿ⁰ et (k1, . . . , kn) ∈ Z^∗ⁿ, (k⁰₁, . . . , k⁰_n0) ∈ Z^∗ⁿ⁰ tels que wi 6= wi+1 et w⁰_i6= w⁰_i+1 pour 1 ≤ i ≤ n⁰− 1.

On suppose que w₁^k¹w^k₂²· · · w_n^kⁿ = w^{0 k}₁¹⁰w^{0 k}₂⁰²· · · w^{0 k}_n⁰ⁿ⁰0 .

D´emontrer que n = n⁰, (w1, . . . , wn) = (w₁⁰, . . . , w⁰_n0) et (k1, . . . , kn) = (k₁⁰, . . . , k_n⁰0).

II.D Domaine fondamental Soit

H = {z ∈ C : Im z > 0}.

Dans cette question, on montre que les images de l’adhérence F de F par les éléments de Γ(2) recouvrent H.

On fixe z ∈ H, et on note

Oz = {g(z) : g ∈ Γ(2)} et Iz = {Im z⁰ : z⁰ ∈ Oz}

(4)

II.D.1) Montrer que pour g ∈ Γ(2) et z ∈ H, on a : Im g(z) = Im z

|cz + d|².

II.D.2) Soit ε > 0. Montrer que l’ensemble Iz∩ [ε, +∞[ est fini.

(Indication : |cz + d| ≥ |c Im(z)| et |cz + d| ≥ |d| − |cz|.)

II.D.3) En déduire que l’ensemble I_z possède un élément maximal.

II.D.4) Soit z⁰ ∈ Oz un élément dont la partie imaginaire est maximale. Vérifier qu’il existe g ∈ Γ(2) tel que −1 ≤ Re g(z⁰) ≤ 1 et Im g(z⁰) = Im z⁰.

II.D.5) Soit z⁰⁰ ∈ Q⁺. Montrer que Im v(z⁰⁰) > Im z⁰⁰. Donner sans démonstration un énoncé analogue pour Q⁻.

II.D.6) En d´eduire que g(z⁰) ∈ F .

II.D.7) Montrer enfin que z est l’image d’un élément de F par un élément de Γ(2).

III Le groupe ˜Γ = Ker(P SL2(Z) → P SL2(Z/2Z) On rappelle que

U =

1 2 0 1

et V =

1 0 2 1

. III.A Le groupe ˜Γ, un groupe presque libre

On note M2(Z) l’ensemble des matrices 2 × 2 `a coefficients entiers et Γ =˜

a b c d

∈ M2(Z) : ad − bc = 1, a ≡ d ≡ 1 [2], b ≡ c ≡ 0 [2]

. III.A.1) Montrer que ˜Γ est un sous-groupe de GL2(C) contenant U et V .

III.A.2) Soit a et c deux entiers non nuls tels que |a| 6= |c|. V´erifier que l’un des deux entiers

|a| − 2|c|

et

|c| − 2|a|

est strictement plus petit que max(|a|, |c|).

III.A.3) On d´efinit une fonction δ : ˜Γ → N par : δ(A) = max(|a|, |c|) si A =

a b c d

.

a. V´erifier que pour tout A ∈ ˜Γ, on a : δ(A) ≥ 1.

b. Montrer que pour tout A ∈ ˜Γ, si δ(A) > 1, il existe W ∈ {U, U⁻¹, V, V⁻¹} tel que δ(W A) < δ(A).

III.A.4) Montrer, par r´ecurrence sur δ(A), que pour tout A ∈ ˜Γ \ {Id}, il existe ε ∈ {−1, 1}, r ∈ N^∗, (W1, . . . , Wr) ∈ {U, V }^r et (k1, . . . , kr) ∈ Z^∗^r tels que

A = ε W₁^k¹W₂^k²· · · W_r^k^r et ∀i ∈ {1, . . . , n − 1}, Wi 6= Wi+1.

III.A.5) En utilisant I.A.4) et II.C.2), montrer qu’une telle d´ecomposition est unique.

III.B Compl´etions d’une colonne

III.B.1) Soit m, n ∈ Z avec m ∧ n = 1. Montrer qu’il existe p, q ∈ Z tel que mq − np = 1.

III.B.2) On suppose que m est impair et n est pair. Montrer qu’il existe (p, q) ∈ Z² tel que

m p n q

∈ ˜Γ.

(5)

III.B.3) Plus pr´ecis´ement, soit (p, q), (p⁰, q⁰) ∈ Z². Montrer que les matrices A =

m p n q

et A⁰ =

m p⁰ n q⁰

appartiennent `a ˜Γ, si, et seulement s’il existe k ∈ Z tel que A⁰ = AU^k. III.C La bijection Φ

On note Φ : ˜Γ → ˜Γ, A 7→ DAD⁻¹, o`u D =

−1 0

0 1

. Calculer Φ(A) en fonction de A.

IV Enum´eration des triplets pythagoriciens

On appelle triplet pythagoricien (TP) un triplet (x, y, z) ∈ Z³ d’entiers tel que x²+ y²= z².

On dira qu’un TP est primitif (x, y, z) si x, y et z sont premiers entre eux dans leur ensemble, positif si x, y et z sont strictement positifs.

IV.A R´eduction aux TP primitifs

IV.A.1) Vérifier que tout TP différent de (0, 0, 0) est de la forme (dx⁰, dy⁰, dz⁰), où d ∈ N^∗ et (x⁰, y⁰, z⁰) est un TP primitif.

IV.A.2) Montrer que si (x, y, z) est un TP primitif, alors x, y et z sont premiers entre eux deux à deux, et que x et y sont de parité différente. (En particulier, z est impair.)

IV.B Param´etrage des TP primitifs

Soit t ∈ R et 1 + 2it un point de la tangente en 1 au cercle unit´e. On note Z l’intersection du cercle unit´e et de la droite contenant −1 et 1 + 2it.

IV.B.1) Faire un dessin.

IV.B.2) Quelle relation y a-t-il entre t et l’argument de Z ? En d´eduire que l’on a : Z = 1 − t²

1 + t² + 2t 1 + t² i.

IV.B.3) Montrer que t est rationnel si, et seulement si les parties r´eelle et imaginaire de Z sont rationnelles.

IV.B.4) En déduire que (x, y, z) est un TP primitif si, et seulement s’il existe m, n ∈ Z, premiers entre eux et de parités différentes, tels que







x = m²− n² y = 2mn z = m²+ n²

ou







x = 2mn y = m²− n² z = m²+ n². IV.C Enum´eration des TP primitifs positifs

On note T l’ensemble des TP primitifs positifs (x, y, z) dont le premier élément x est impair, et on considère l’application

f : Γ˜ −→ T

m p n q

7−→ |m²− n²|, 2|mn|, m²+ n² . IV.C.1) V´erifier que f est surjective.

IV.C.2) V´erifier que, pour A, A⁰ ∈ ˜Γ, on a :

f (A) = f (A⁰) ⇐⇒ ∃ε ∈ {−1, 1}, ∃k ∈ Z, A⁰ = εAU^k ou A⁰ = εΦ(A)U^k. IV.C.3) Montrer que tout ´el´ement de T est l’image par f d’un unique

U^k¹V^`¹U^k²V^k²· · · U^k^sV^`^s, o`u s ≥ 1, k1 ∈ Z, k2, · · · , ks∈ Z^∗, `1, . . . , `s−1∈ Z^∗, `s∈ N^∗.

(6)

Commentaires picturaux : Le premier dessin de l’introduction représente F et ses images par les éléments de Γ(2), vus après application de l’homographie h : z 7→ (z − i)/(z + i).

Quant `a l’arbre pour param´etrer T , il commence ainsi :

f (V )

-

@@

@@@R

f (V²)

1 PPPPP-q

f (U⁻¹V )

1 PPPPP-q f (U V )

1 PPPPP-q

f (V⁻¹U V ) f (U²V ) f (V U V ) f (U V²) f (V³) f (U⁻¹V²) f (V U⁻¹V ) f (U⁻²V ) f (V⁻¹U⁻¹V )