Résolution d’une équation homogène

(1)

C4. É

QUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES D

’

ORDRE

2

À COEFFICIENTS CONSTANTS

Julie Scholler - Bureau B246

mars 2021

I. Généralités

Équations différentielles linéaires d’ordre 2 à coefficients constants avec second membre

∀t ∈ I, y⁰⁰(t) +ay⁰(t) + by(t) = d(t) avec a ∈ R, b ∈ R et d une fonction continue sur I.

Équations différentielles linéaires d’ordre 2 à coefficients constants sans second membre

∀t ∈ I, y⁰⁰(t) +ay⁰(t) +by(t) = 0 avec a ∈ R et b ∈ R.

(2)

Exemples

y⁰⁰ − 3y⁰ − 4y = 0 (E₁)

y⁰⁰ − 3y⁰ − 4y = −4 (E₂)

y⁰⁰ −3y⁰ − 4y = 6e^t (E₃)

y⁰⁰ − 3y⁰ −4y = 6e^t −4 (E₄)

Principe de superposition Soient

• d₁ et d₂ deux fonctions continues sur I

• f₁ une solution de y⁰⁰ + ay⁰ + by = d₁

• f₂ une solution de y⁰⁰ + ay⁰ + by = d₂

Alors pour tout réel λ, la fonction λf₁ + f₂ est une solution de l’équation différentielle y⁰⁰ + ay⁰ +by = λd₁ + d₂.

Cas des équation différentielles linéaires d’ordre 1

Ce principe est vérifié à tout ordre, y compris pour les équations différentielles d’ordre 1.

(3)

II. Structure de l’ensemble des solutions

y⁰⁰ +ay⁰ +by = d (E)

Structure de l’ensemble des solutions

Soit f₀ une solution de l’équation différentielle linéaire (E).

Alors l’ensemble S des solutions de l’équation (E) est S = {f₀ +f ; f ∈ S_H},

où S_H désigne l’ensemble des solutions de l’équation différentielle linéaire homogène

y⁰⁰ +ay⁰ +by = 0 (H)

III. Résolution de l’équation homogène

Résolution d’une équation homogène

∀t ∈ I, y⁰⁰(t) +ay⁰(t) +by(t) = 0 (H)

Écriture matricielle

(H) ⇐⇒ ∀t ∈ I, Y⁰(t) = AY(t)

avec Y(t) =





 y⁰(t)

y(t)





 et A =







−a −b

1 0







Équation caractéristique

équation du second degré : x² + ax +b = 0

(4)

Forme des solutions de l’équation homogène

• Si l’équation caractéristique associée possède deux solutions distinctes réelles λ₁ et λ₂, alors

S_H :=







R → R

t 7→ Ae^λ¹^t + Be^λ²^t

; (A,B) ∈ R²







• Si l’équation caractéristique associée possède une unique solution λ₀, alors

S_H :=







R → R

t 7→ (At + B)e^λ⁰^t

; (A,B) ∈ R²







• Si l’équation caractéristique associée possède deux solutions distinctes complexes (non réelles) λ₁ et λ₁, alors

S_H :=







R → R

t 7→ e^Re(λ¹^)t (Acos (Im (λ₁)t) +Bsin (Im (λ₁)t))

;

(A,B) ∈ R² )

(5)

Exemples

y⁰⁰ − 2y⁰ + 2y = 0 (E₋₁)

y⁰⁰ − 4y⁰ + 4y = 0 (E₀)

y⁰⁰ − 3y⁰ − 4y = 0 (E₁)

y⁰⁰ − 3y⁰ − 4y = −4 (E₂)

y⁰⁰ −3y⁰ − 4y = 6e^t (E₃)

y⁰⁰ − 3y⁰ −4y = 6e^t −4 (E₄)

Structure de l’ensemble des solutions de (H)

L’ensemble des solutions de (H) est un espace vectoriel.

Plus précisément c’est un sous-espace vectoriel de dimension 2 de l’espace vectoriel des fonctions deux fois dérivables.

(6)

IV. Cas d’un second membre constant

Cas d’un second membre constant

∀t ∈ I, y⁰⁰(t) +ay⁰(t) +by(t) = d avec a ∈ R, b ∈ R et d ∈ R

Solutions particulières Si b 6= 0, la fonction t 7→ d

b est une solution.

IV. Cas d’un second membre constant

Comportement asymptotique des solutions dans le cas où le second membre est constant (avec b 6= 0)

• pour ∆ > 0 : f (t) = Ae^λ¹^t +Be^λ²^t + d

b avec A et B deux nombres réels

si A 6= 0 et B 6= 0 et

• si λ₁ < 0 et λ₂ < 0, la fonction tend vers d

b en +∞.

• si λ₁ > 0 ou λ₂ > 0, la fonction tend vers ±∞ en +∞.

• pour ∆ = 0 : f (t) = (A+ Bt)e^λ⁰^t + d

b avec A et B deux nombres réels

si A 6= 0 ou B 6= 0

• si λ₀ < 0, la fonction tend vers d

b en +∞.

• si λ₀ > 0, la fonction tend vers ±∞ en +∞.

• pour ∆ < 0 : la fonction oscille.

(7)

V. Problème de Cauchy

Problème de Cauchy

Soient t₀, y₀ et y₁ des réels.

On appelle problème de Cauchy de (E) de conditions y(t₀) = y₀ et y⁰(t₀) = y −1 le système

(P) :











ay⁰⁰(t) +by⁰(t) +cy(t) = d(t) y(t₀) = y₀

y⁰(t₀) = y₁

Le problème de Cauchy (P) admet une unique solution.

VI. Résolution et étude complète

Dynamique d’un taux de change s

Soient c ∈]0; 1[ et α et s des réels strictement positifs.

s⁰⁰(t) + (2 −cα)s⁰(t) +s(t) = s

Dans quelles situations (valeurs de α et c), le taux de change va tendre vers un état d’équilibre ?