1 Les diff´erents types de convergence

INP de Toulouse Pr´epa Semestre 4 sp´ecialit´e M´ecanique

Suites et s´eries de fonctions Travaux dirig´es

1 Les diff´ erents types de convergence

Exercice 1. Etudier la convergence simple des suites de fonctions suivantes :´ 1. f_n:R→R, f_n(x) = x

n, 2. f_n: [0,1]→R, f_n(x) =xⁿ, 3. f_n:R→R, f_n(x) = x

n+|x|, n∈N^∗ 4. f_n:R→R, f_n(x) =nsin(x

n), 5. f_n:R⁺ →R, f_n(x) = n

1 +nx, 6. f_n:R→R, f_n(x) = 1

1 +x² χ_[−n,n](x), o`uχ_[−n,n] est la fonction indicatrice de [−n, n], 7. f_n:R→R, f_n(x) = 1

nχ_[−n,n](x), 8. f_n:R→R, f_n(x) =

n

X

k=0

x^k.

Exercice 2. On consid`ere les fonctions f_n: [a, b]→R, croissantes. On suppose que la suite (fn)nconverge simplement vers f sur [a, b]. Montrer que f est croissante.

On suppose de plus que lesf_n sont strictement croissantes. Est-ce que f est strictement croissante ?

Exercice 3. On pose f_n(x) = sinnx

n . Montrer que la suite (f_n)_n≥1 converge uniform´ement sur R vers la fonction nulle.

Exercice 4. On posef_n(x) = x

n. Montrer que la suite (fn)n converge uniform´ement sur [−R, R] pour tout R >0. Montrer que cette suite ne converge pas uniform´ement surR.

Exercice 5. Pour x∈[0,1[, on pose f_n(x) =xⁿ. Montrer que pour tout a∈[0,1[, la suite (f_n)_n converge uniform´ement sur [0, a] vers la fonction nulle.

Calculer la limite de f_n(1− ¹_n) lorsque n tend vers +∞. La suite (f_n)_n converge-t-elle uniform´ement sur [0,1[ ?

Exercice 6. Soit f :R⁺→R. On posef_n(x) =f(x)χ_[0,n](x).

a. Montrer que la suite (f_n)_n converge simplement versf lorsquentend vers +∞.

b. On suppose que f(x) tend vers z´ero lorsque x tend vers +∞. Montrer que la suite (f_n)_n converge uniform´ement vers f sur R⁺.

Exercice 7. Pour x≥0 et n≥1, on pose f_n(x) = 1− x

n n

χ_[0,n](x).

a. On pose, pourx ∈ R⁺,un(x) = fn(x)−e^−x. Soit a∈ [0, n]. Montrer que si u^′_n(a) = 0, alors un(a) =

−n^ae^−a. Calculerα_n= max

t∈[0,n]

t ne^−t. b. En d´eduire queku_nk∞6 e⁻¹

n .

c. Montrer que la suite (f_n)_n converge uniform´ement sur R⁺ vers la fonction x7→e^−x. Exercice 8. Pour n≥3, on d´efinit f_n: [0,1]→R par :

f_n(x) =















0 si 0≤x≤ ¹₂ −_n¹,

n

2(x− ¹₂+_n¹) si ¹₂− ¹n ≤x≤ ¹₂ +¹_n, 1 si ¹₂ +_n¹ ≤x≤1.

a. Dessiner l’allure du graphe des fonctionsf_n. b. Etudier la convergence simple de la suite (f´ n)n.

c. Montrer que la suite (fn)n converge localement uniform´ement sur [0,1]\ {¹₂}, mais qu’elle ne converge pas uniform´ement sur [0,1].

2 Propri´ et´ es de la fonction limite

Exercice 9. On consid`ere des fonctionsf_n:R⁺ →R. On suppose que pour toutn,f_n(x) tend vers 0 lorsque x tend vers +∞. On suppose de plus que la suite de fonctions (f_n)_n converge vers une fonction f : R⁺ → R uniform´ement sur R⁺.

Montrer quef(x) tend vers z´ero lorsquex tend vers +∞.

Exercice 10. On consid`ere des fonctions f_n : [a, b] → R⁺, d´ecroissantes. On suppose que la suite (f_n)_n converge simplement sur [a, b] vers la fonction nulle. Montrer que la convergence est uniforme. Le r´esultat reste-t-il vrai si on remplace [a, b] parR?

Exercice 11. Soit (f_n)_n une suite de fonctions born´ees d´efinies sur R, `a valeurs dans R, qui converge uniform´ement surRversf. Montrer quef est born´ee. Le r´esultat reste-t-il vrai si l’on suppose uniquement que la convergence est simple ?

Exercice 12. On consid`ere les fonctions (f_n)_n:R⁺→R d´efinies parf_n(x) = nx 1 +nx.

a. Montrer que la suite (fn)n converge simplement surR⁺ vers une fonction f que l’on caract´erisera.

b. Etudier la continuit´e des´ f_n et def. Que peut-on en d´eduire concernant la convergence uniforme ?

c. Montrer que pour tout a >0, la suite f_n converge versf uniform´ement sur [a,+∞[.

3 Suite de fonctions et d´ erivation.

Exercice 13. On pose u_n(x) = q

x²+_n¹.

a. Montrer que la suite (un)n converge uniform´ement sur Rvers une fonction u que l’on d´eterminera.

b. Etudier la convergence de la suite des d´eriv´ees (u´ ^′_n)_n. c. Montrer que un’est pas d´erivable en z´ero. Commentaires ?

4 Suites de fonctions et int´ egration : interversion.

Exercice 14. On consid`ere la suite des fonctions f_n: [0,1]→Rd´efinies par : f_n(x) =x(1 +√

ne^−nx).

a. Montrer que la suite (fn)n converge uniform´ement sur [0,1] vers une limite que l’on pr´ecisera.

b. Calculer lim

n→+∞

Z 1 0

x(1 +√

ne^−nx)dx.

Exercice 15. Calculer, en justifiant les calculs, les limites suivantes : 1. lim

n→+∞

Z 2 0

ln (e^x+x n)dx, 2. lim

n→+∞

Z π 0

sinⁿx dx, 3. lim

n→+∞

Z _+∞

0

e^−xn 1 +x²dx,

4. lim

n→+∞

Z _n

0

1 +x n

n

e^−2xdx,

5. lim

n→+∞

Z ₁

0

nx(1−x)ⁿdx,

5 Retour au d´ efinition (est-ce judicieux ? ?)

Exercice 16. On consid`ere les fonctionsf<sub>n</sub>: [a, b]→R, croissantes. On suppose que la suite (f<sub>n</sub>)<sub>n</sub>converge simplement sur [a, b] vers une fonction continuef. On veut montrer que la convergence est uniforme (Th´eor`eme de Dini).

a. On fixe ε >0. Montrer qu’il existe η >0 tel que

∀x∈[a, b], ∀y∈[a, b], |x−y| ≤η=⇒ |f(x)−f(y)| ≤ε.

b. Soit N ∈N^∗ tel que b−a

η ≤N. On notea_k=a+kb−a

N . Montrer que :

∀x∈[a, b], ∃k∈ {0, . . . N −1}, x∈[ak, a_k+1]⊂[a, b]

c. Montrer qu’il existe n₀ tel que

∀n≥n₀, ∀k∈ {0, . . . , N}, |f_n(ak)−f(ak)| ≤ε.

d. Soitk∈ {0, . . . , N−1}. Soit x∈[a_k, a_k+1]. Montrer que

|f(x)−fn(x)| ≤ |f(x)−f(a_k)|+|f(a_k)−fn(a_k)|+|fn(a_k+1)−fn(a_k)|. e. Soitk∈ {0, . . . , N}. Montrer que

|f_n(a_k+1)−f_n(a_k)| ≤ |f_n(a_k+1)−f(a_k+1)|+|f(a_k+1)−f(a_k)|+|f(a_k)−f_n(a_k)|. f. D´eduire de ce qui pr´ec`ede que pour tout n≥n₀, pour toutx∈[a, b],

|fn(x)−f(x)| ≤5ε.

Conclusion ?

g. Le r´esultat est-il vrai si f n’est pas suppos´ee continue ?

Exercice 17. On consid`ere la suite des fonctions f_n: [a, b]→Rtelles que :

∃M, ∀(x, y)∈[a, b]², ∀n, |fn(x)−fn(y)| ≤M|x−y|. On suppose que la suite (fn)n converge simplement vers f.

a. Montrer quef v´erifie :

∀(x, y)∈[a, b]², |f(x)−f(y)| ≤M|x−y|. b. Montrer que la convergence est uniforme.

6 Suites de polynˆ omes et Th´ eor` eme de Weierstrass

Exercice 18. On consid`ere une suite de polynˆomes (Pn)n qui converge uniform´ement sur Rvers f. a. En ´ecrivant le crit`ere de Cauchy, montrer qu’il existe n₀ tel que pourn etm sup´erieurs `a n₀,P_n−P_m est une constante.

b. On note a_n=P_n−P_n0. Montrer que la suite (an)n converge dansR. c. En d´eduire que f est un polynˆome.

Exercice 19. On rappelle le th´eor`eme de Weierstrass :

Th´eor`eme. Soit f : [a, b]→R, continue. Il existe une suite de fonctions polynomiales (u_n)_n qui converge uniform´ement vers f sur [a, b].

On consid`ere une fonctiong, continue sur [a, b], telle que

∀n∈N, Z b

a

g(t)tⁿdt= 0.

a. Montrer que pour tout polynˆome P, on a Z _b

a

g(t)P(t)dt= 0.

b. En utilisant le th´eor`eme de Weiestrass, montrer que Z b

a |g(t)|²dt = 0.

c. En utilisant la continuit´e et la positivit´e de la fonction t 7→ |g(t)|², montrer queg est la fonction nulle (on raisonnera par l’absurde, en remarquant que si g(t₀)6= 0, alors g est non nulle dans un voisinage de t₀).

Exercice 20. Soit f : [a, b]→R, continue. On peut montrer que

n→+∞lim Z b

a

f(t) sinnt dt= 0.

a. On fixe ε >0. En utilisant le th´eor`eme de Weierstrass, montrer qu’il existe un polynˆome g tel que :

∀t∈[a, b], |f(t)−g(t)| ≤ε.

b. Grˆace `a une int´egration par parties, montrer que Z b

a

g(t) sinnt dt→0 quandn→0.

c. En ´ecrivant que

Z b a

f(t) sinnt dt ≤

Z b a

(f(t)−g(t)) sinnt dt

+

Z b a

g(t) sinnt dt , montrer que pour nassez grand,

Z b a

f(t) sinnt dt

≤(b−a+ 1)ε.

d. Conclure.

Exercice 21. On consid`ere la s´erie de fonctions

+∞

X

n=1

f_n(x), avecf_n(x) = x ne^−nx. a. Montrer que cette s´erie converge normalement sur R⁺.

b. Montrer que la somme de la s´erie, not´eeS est continue surR⁺.

c. Montrer que pour tout a >0, la s´erie de terme g´en´eral f_n^′(x) est normalement convergente sur [a,+∞[.

d. Montrer queS est de classe C¹ sur ]0,+∞[.

7 S´ erie de fonctions

Exercice 22. On consid`ere la s´erie de fonctions

+∞

X

n=1

sin(nx) n³ .

a. Montrer que cette s´erie est normalement convergente sur R. On note S sa somme.

b. Montrer que S est continue surR. c. Montrer que S est d´erivable sur R.

Exercice 23. On consid`ere la s´erie de fonctions

+∞

X

n=1

x n²+x².

a. Montrer qu’il y a convergence simple surR⁺, et convergence uniforme sur [0, A] pour toutA >0.

b. Montrer que

2k

X

n=k

k

n²+k² ≥ 1 5.

c. Montrer que la s´erie n’est pas uniform´ement convergente sur R⁺.

Exercice 24. On consid`ere la s´erie de fonctions

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ 1 +nx. a. Montrer que la s´erie converge simplement surR^∗+. b. Montrer que sa sommex7→S(x) est continue.

c. Calculer lim

x→+∞S(x).

d. Montrer queS est de classe C¹ sur R^∗+.

Exercice 25. (fonction ζ de Riemann). On d´efinit la fonctionζ par ζ(x) =

+∞

X

n=1

1 n^x.

a. Montrer queζ est une fonction C^∞ sur tout intervalle de la forme [a,+∞[, o`u a >1.

b. Montrer que pour toutx >1 et toutk≥1, 1 (k+ 1)^x ≤

Z _k+1

k

dt t^x ≤ 1

k^x. En d´eduire que :

∀x >1, ζ(x)−1≤ 1

x−1 ≤ζ(x).

c. Donner la limite de ζ(x) lorsquex tend vers +∞. d. Donner un ´equivalent de ζ(x) lorsque xtend vers 1⁺.

Exercice 26. a. Montrer que la s´erie de fonctions

+∞

X

n=0

tⁿlntconverge simplement sur ]0,1[ vers la fonction lnt

1−t.

b. Montrer que l’int´egrale Z 1

0

tⁿlnt dt converge et calculer sa valeur pour tout n.

c. Montrer que

Z 1 0

lnt t−1dt=

+∞

X

n=0

1 (n+ 1)² (on montrera la convergence de l’int´egrale impropre).