2Int´egralesurunsegmentd’unefonctioncontinue. 1Primitives Int´egrales

(1)

Int´egrales

1 Primitives

Prérequis savoir calculer les dérivées des fonctions usuelles (en particulier _x¹n ) et les dérivées des fonctions composée !

D´efinition : F est une primitive de f surI si F est d´erivable sur I et si · · · Comment tester un candidat primitive ?

Méthode : On trouve à peu près une primitive, on la dérive, puis on ajuste les constantes.

Exercice : f(x) = (3x+ 1)³; g(x) = (ln (2x+ 1))³ _2x+1¹ ; h(x) = 2^x

Puissances : f(x) = _x¹n alors F (x) = _xn−1¹ a pour d´eriv´ee F⁰(x) = . . . donc une primitive est : F (x) =. . .

f(x) = ¹_x se primitive en . . . sur ]0,+∞[ et . . .sur ]−∞,0[ (ou bien ln|x| sur chacun de ces deux intervalles)

Une puissance au d´enominateur se primitive en une puissance de moins.

Une puissance au num´erateur se primitive en une puissance de plus.

Usuelles :

Fonction : ()ⁿ 1 ()ⁿ

1

() exp ()

Presque primitive ()ⁿ⁺¹ 1

()ⁿ⁻¹ ln (+) ou ln (−) exp () Exercice : f(x) = ¹

(3x+1)³; g(x) = ¹

(ln(2x+1))³ 1 2x+1

Produit : Un produit ne se primitive pas simplement sauf f(u(x))u⁰(x) :...

Id´ees : changer un produit en puissance ou en somme.

Exercice : primitiver : f(x) = (x+ 1)²x; g(x) = ^1+x+x_x2 ³; h(x) = ^x

(2x+1)²; k(x) = (x+ 1)²(x+ 1)³ u(x) = ¹

(e^2x+1)³e^2x; v(x) = (e^2x+ 1)²e^x; w(x) = ^(2x+2)²

(x+1)⁴

Théoréme : f fonction continue sur un intervalle I.Alors elle a une primitiveF surI (en fait, une infinité).

N.B. En g´en´eral, on ne peux pas exprimer les primitives avec les fonctions usuelles.

Exercice : Montrer que G:x→Rx² x

1

ln(t)dt est d´efinie et d´erivable sur ]0,1[.

2 Int´ egrale sur un segment d’une fonction continue.

D´efinition : f fonction continue sur un intervalle I. a ≷b ∈I etF une primitive de f sur I alors Rb

a f = [F]^b_a=F (b)−F (a).

N.B. L’int´egrale ne se calcule par primitivation que pour les fonctions continues.

D´ecoupages : Chasles (bornes variables et contenu fixe, Pn k=1

Rk+1 k

1

tdt=Rn+1 1

1 tdt ), lin´earit´e (bornes fixes et contenu variable Pn

k=0

R1

0 t^kdt =R1 0

Pn

k=0t^kdt ), constantes en facteur.

(2)

Int´egration par parties On d´erive une partie et on primitive l’autre : Rb

a u⁰(t)·v(t)dt=...

si uet v sont de classe C¹ sur [a, b] ou [b, a]

Exercice Le d´emontrer en d´erivant le produit u·v.

PourquoiC¹ et pas simpelment d´erivable ?

Relation de récurrence : se démontre en général par intégration par parties.

N.B. Bien choisir la partie à dériver et celle à primitiver.

Exercice : I_n=R1

0 (1−x)ⁿe^xdx. Exprimer I_n+1 en fonction deI_n.

Inégalités (positivité) : On encadre le contenu, pour tout x de l’intervalle d’intégration, puis on intègre de part et d’autre par rapport àx, en vérifiant l’ordre des bornes.

Empirique Pour avoir un _n+1¹ dans le majorant de l’int´egrale, on conserve une puissance n dans le majorant du contenu.

Exercice : I_n=R1 0

xe^x

(1+x)ⁿdx. Etudier les variations dex→xe^x sur [0,1] et en d´eduire que 06I_n6

e (n−1)

Int´egrale fonction des bornes : Si f est continue sur I et que a∈ I alors F (x) =Rx

a f(t)dt est une primitive de f.

Si f est continue sur I et que a etb sont des fonctions d´erivables sur J `a valeurs dans I alors G(x) =Rb(x)

a(x) f(t)dt est d´erivable sur J et G⁰(x) =f(b(x))b⁰(x)−f(a(x))a⁰(x) Exercice le d´emontrer (indication : partir d’une primitive formelle de f)

Changement de variable : Rβ

α f(x)dx =Rb

a f(u(t))u⁰(t)dt avec u de classe C¹ sur [a, b], f continue sur u([a, b]).

A utiliser : Pour une égalité d’intégrales avec changements de bornes et de contenu.

Pour exploiter la parit´e d’une fonction : utiliserx=−t

Mode d’emploi : on ´ecrit d’abord le changement de variable, on le justifie ensuite.

Simple : quand l’ancienne variable x est fonction de la nouvelle : x=u(t).

On remplace x par u(t) ; dx par u⁰(t)dt; les bornes sur x par les valeurs correspondantes sur t : il faut r´esoudreu(t) = a etu(t) =b.

Compliqu´e : quand la nouvelle x est donn´ee en fonction de l’ancienne

Il faut alors faire apparaˆıtre le blocu⁰(t), puis cachertdans unu(t) avant de pouvoir appliquer la formule de changement de variable.

Exemple : Montrer que si f est impaire et continue, R1

−1f(x)dx = R−1

1 f(t)dt et en d´eduire sa valeur.

On effectue le changement de variablex=−t

R´eponse dx=−dt:x= 1 ⇐⇒ −t = 1⇐⇒t=−1 :x=−1⇐⇒t= 1 R1

−1f(x)dx=R−1

1 f(−t)−dt=R−1

1 f(t)dt car f impaire.

Donc R1

−1f(x)dx=−R−1

1 f(−t)−dt et 2R1

−1f(x)dx= 0.

Justification du changement de variable : u : t → −t est C¹sur [−1,1] et f est continue sur u[−1,1] = [−1,1].

(3)

Exercice : Soit x >0.Montrer que

x

R

1

tⁿ(1 +t)dt =

1

R

1/x

uⁿ⁻¹ 1 +udu

Dérivée : On ne peut dériver le contenu qu’avec l’intégration par parties.

Mais, par changement de variable, on peut se ramener `a un int´egrale fonction des bornes.

Exemple : f(x) = R2 1

1

te^−txdt. Montrer que f est dérivable sur ]0,+∞[ et calculer sa dérivée.

Indication : changement de variable tx = y où l’ancienne est fonction de la nouvelle puis théorème ci-dessous.

R´eponse t = _x^y : dt = ¹_xdy : t = 1 ⇐⇒ y = x : t = 2 ⇐⇒ y = 2x et f(x) = R2x x

x

ye^−y¹_xdy = R2x

x 1

ye^−ydy.

On applique alors le théorème sur les intégrales fonction des bornes.

y→ ¹_ye^−y continue sur ]0,+∞[.

Donc f est d´erivable en x tel que x→x

et et x→2xsont C¹ et appartiennent `a ]0,+∞[.

f est d´erivable sur ]0,+∞[ et f⁰(x) = 2_2x¹ e^−2x− ¹_xe^−x.

Rare : Sommes de Riemann si f est continue sur [0,1] alors _n¹ Pn

k=1f ^k_n

→R1

0 f(t)dt C’est ce théorème qui fait le lien entre intégrale et aire (approchée par _n¹Pn

k=1f ^k_n

), et qui permet de programmer le calcul de la valeur approch´ee d’une int´egrale.

Méthode : Reconnaˆıtre le ”n” (à peu près la borne supérieure de la somme et dans le ^k_n) puis faire apparaˆıtre _n¹ devant la sommet ^k_n partout où il y a k. Reconnaˆıtre alors f est vérifier sa continuité sur [0,1].

Exercice : D´eterminer la limite quandn →+∞ de _n¹ P2n+1

k=1 ln 1 + ^k_n

3 Int´ egrale sur un segment d’une fonction continue par morceaux.

D´efinition : fest continue par morceaux sur un intervalle [a, b] si on peut trouver des sous intervalles (une subdivision) a= a₁ < a₂ < · · ·< a_n = b et des fonctions ˜f_i continues sur [a_i, a_i+1] telles que f = ˜f_i sur ]a_i, a_i+1[.

(si on peut prolongerf par continuit´e aux bornes)

N.B. On l’utilise quand on peut prolonger par continuit´e la ”formule” def(x).

Exemple : f d´efinie par f(x) =







xsi x∈]0,1[

ln (x) si x∈[1,2[

1

x si x >2

est prolongeable par :

N.B. La fonction prolong´ee ne co¨ıncide pas avec f aux bornes.

D´efinition de l’int´egrale : sifest continue par morceaux prolongeable par ˜f_icontinue sur [a_i, a_i+1] alors Rb

a f(x)dx=Pn−1 i=1

Rai+1

ai

f˜_i(x)dx

C’est l’int´egrales des prolongements par continuit´es.

3

(4)

Théorèmes : • La positivité, Chasles et linéarité restent vraies.

• Si elle converge, l’int´egrale fonction des bornes G(x) = Rb(x)

a(x) f(t)dt est continue surJ (a etb sont continues sur J).

Elle est d´erivable en x tel que f continue ena(x) et en b(x).

• Le changement de variable et l’int´egration par parties ne sont plus vraies pour des fonctions continues par morceaux. On doit les faire sur chacun des sous intervalles.

4 Int´ egrale impropre en ±∞.

4.1 D´ efinition et op´ erations

D´efinition : Si f est continue ou continue par morceaux sur [a,+∞[, on dit que R+∞

a f(t)dt est impropre en +∞.

Elle converge si RM

a f(t)dt a une limite finie quandM →+∞

On note alors lim_M→+∞RM

a f(t)dt=R+∞

a f(t)dt. (Elle diverge sinon.) De mˆeme en−∞.

Exemple : Montrer que R+∞

0 e^−xdx (impropre en +∞) converge et calculer sa valeur.

Exercice : Int´egrales de Riemann. Montrer que si α > 1 alors R+∞

0 1

x^αdx converge et diverge si α61.

Opérations : Le plus simple est de revenir à l’intégrale partielle pour laquelle il n’y a pas de problème de convergence.

Sinon, il faut d’abord prouver la convergence de chaque morceau avant d’op´erer.

Chasles : Si R+∞

b f(t)dt converge alors R+∞

a f(t)dt=Rb

a f(t)dt+R+∞

b f(t)dt Lin´earit´e : SiR+∞

a f(t)dt etR+∞

a g(t)dt convergent alors R+∞

a αf(t) +βg(t)dt=αR+∞

a f(t)dt+βR+∞

a g(t)dt Positivit´e : SiR+∞

a f(t)dtetR+∞

a g(t)dtconvergent et quef(t)6g(t) sur [a,+∞[ alorsR+∞

a f(t)dt6 R+∞

a g(t)dt

Int´egrale fonction des bornes : Si Ra

−∞f(t)dt converge alors G(x) = Rx

−∞f(t)dt est dérivable là où f est continue et G⁰(x) = f(x)

Exemple : Soit F (x) =Rx

−∞

e^t

t²dt. Montrer que F est dérivable sur ]−∞,0[ et calculer sa dérivée Intégration par parties et changement de variables : on revient à l’intégrale partielle.

Exercice Calculer R+∞

1 ln(t)

t² dt

4.2 Comparaison pour les fonctions positives

Th´eor`emes : Si f etg sont positives et que f 6g sur [a,+∞[ (ou que f =o(g) ) alors si R+∞

a f diverge alors R+∞

a g diverge ”par minoration de fonctions positives”.

si R+∞

a g converge alors R+∞

a f converge ”par majoration de fonctions positives”.

(5)

D´emonstration : Sif est positive alorsF (x) =Rx

a f(t)dtest croissante, en revenant `a la d´efinition du sens de variation.

Six6y alors F (y) = F(x) +Ry

x f(t)dt qui est positive par positivit´e de l’int´egration.. Donc F (x)6F (y)

Il n’y a alors que deux possibilit´es : F a une limite finie en +∞ ou F tend vers +∞. Donc si R+∞

a f diverge c’est que Rx

a f →+∞.

Th´eor`emes : Si f et g sont positives et que f ∼ g en +∞ alors R+∞

a f et R+∞

a g sont de mˆeme nature ”par ´equivalence de fonctions positives”.

Références : Intégrales de RiemannR+∞

1 1

x^αdxconverge siα >1 et diverge siα61. Exponentielles : R+∞

1 e^αxdx converge siα <0 et diverge si α≥0 Exemple : Prouver la convergence de R+∞

1

x²+e^−x

x⁴+x dx impropre en +∞.

Définition et théorème : si R+∞

a |f| converge on dit que R+∞

a f converge absolument. Elle est alors convergente.

Ce théorème permet d’appliquer les critères de comparaison précédents à des fonctions au signe changeant.

Le retour de la série : Sifest positive continue ou CPM et décroissante, alors la série : P

k≥0f(k) et l’int´egrale impropre en +∞:R+∞

0 f(t)dt sont de mˆeme nature.

L’avantage d’étudier la convergence de l’intégrale plutôt que celle de la série est que l’on a plus de primitives et que l’on peut y faire des intégrations par parties.

5 Int´ egrale impropre en un point fini

D´efinition : f continue ou continue par morceaux sur ]a, b]. On dit que Rb

af est impropre en a.

SiRb

x f a une limite finie quand x→a, on dit que Rb

a f converge et Rb

a f = limx→a

Ra x f Exemple : Montrer la convergence et calculer R1

0 ln (t)dt.

R´ef´erence : Riemann si α ≥ 1 alors R1 0

1

x^αdx diverge et converge si α < 1. (c’est l’inverse du comportement en +∞ )

Théorèmes : Les théorèmes de comparaison, minoration, majoration de fonctions positives restent valables.

Opérations : Chasles et linérarité, positivité ne peuvent se faire qu’après vérification de la convergence de chaque morceau.

IPP et changement de variable se font en revenant `a l’int´egrale partielle.

Multi-impropriété : si une intégrale est impropre en plusieurs points, on isole chacun des points d’impropreté.

Elle convergera si elle converge en chacun des points d’impropret´e et elle sera la somme des sous int´egrales impropres.

Exemple : f(x) = _x¹2 six <1 :f(x) = ^√¹_−x si x∈[0,1] et f(x) =e^−x si x >0.

Calculer R+∞

−∞ f(t)dt