11. Int´ egrales ` a param` etres.

(1)

PC, Lyc´ee Joffre, 2022-2023

Feuille d’exercices n

^o

11. Int´ egrales ` a param` etres.

Quelques corrections

Exercice 4 SoitF:x7→

Z +∞

0

e^−xt 1 +tdt.

1. Montrer que le domaine de d´efinition deF estR^∗+. 2. Montrer queF est positive et d´ecroissante.

3. Montrer que, pour x∈R^∗+,F(x)⩽ Z +∞

0

e^−xtdt. En d´eduire la limite deF en +∞.

4. Montrer queF est de classeC¹et que ∀x∈R^∗+, F(x)−F^′(x) = 1

x. En d´eduire queF est de classeC^∞. 5. Montrer ∀x∈R^∗+, F(x) = e^x

Z +∞

x

e^−t

t dt. En d´eduire la limite deF en 0⁺. 6. Montrer queF(x) ∼

x→0⁺−ln(x).

1. Pour toutx∈R, l’applicationf_x: t7→ e^−xt

1 +t est continue positive surR⁺ et son intégrabilité sur R⁺ dépend donc de son comportement en +∞.

— Six⩽0 on a, pour toutt⩾0 : 0< 1

1 +t ⩽f_x(t) et comme l’int´egrale impropre Z +∞

0

1 1 +tdt diverge (puisque ln(1 +x) −→

x→+∞+∞) il en va de mˆeme de l’int´egrale Z +∞

0

e^−xt 1 +tdt.

— Si x >0, alors pour tout t⩾0 on a : 0< fx(t)< e^−xt et l’int´egrale Z +∞

0

e^−xtdt converge, donc aussi

Z +∞

0

e^−xt 1 +tdt.

2. Soient 0 < x < y. On a, pour tout t ⩾ 0 : 0 ⩽ e^−yt

1 +t ⩽ e^−xt

1 +t et puisque les fonctions sont int´egrables : F(y)⩽F(x). Ainsi la fonctionF est d´ecroissante et positive.

3. Pour toutt⩾0, on a 1

1 =t ⩽1. Ainsi, pour toutx >0 on a donc : 0⩽F(x)⩽

Z +∞

0

e^−xtdt= 1

x −→

x→+∞0, donc, par sandwich, limF(x)

x→+∞

= 0.

4. Notonsf: (x, t)7→^e_1+t^−xt de sorte queF(x) = Z +∞

0

f(x, t) dt. On a :

• Pour toutx∈]0,+∞[, f(x,·) :t7→ ^e_1+t^−xt est continue (continue par morceaux suffit) et int´egrable (question 1).

• Pour toutt∈[0,+∞[, f(·, t) :x7→ e^−xt

1 +t est de classeC¹sur ]0,+∞[ avec ∂f

∂x(x, t) =−te^−xt 1 +t.

• Hypoth`ese de domination locale : soit [a, b] ⊂]0,+∞[. Pour tout x∈ [a, b] et pour tout t ∈ [0,+∞[ on a :

∂f

∂x(x, t)

⩽e^−at=ψ(t) o`u ψest int´egrable sur [0,+∞[ puisquea >0.

(2)

Par le théorème de dérivation des intégrales à paramètres,F est de classeC¹sur ]0,+∞[ et :

∀x >0, F^′(x) = Z +∞

0

∂f

∂x(x, t) dt=− Z +∞

0

te^−xt 1 +t dt.

On a alors, pour toutx∈R^∗+ : F(x)−F^′(x) =

Z +∞

0

e^−xt 1 +t dt+

Z +∞

0

te^−xt 1 +t dt=

Z +∞

0

e^−xtdt= 1 x soit aussi F^′(x) = F(x)− 1

x, ce qui permet de montrer par r´ecurrence sur k ∈N que F est de classeC^k sur ]0,+∞[ pour toutk∈N.

5. Soit x > 0. Le changement de variable t 7→ x(1 +t) est C¹ bijectif de ]0,+∞[ sur ]x,+∞[. Il donne, directement, en posantu=x(1 +t)

F(x) = Z +∞

0

e^−xt 1 +t dt=

Z +∞

x

e^x−u u/x

du x = e^x

Z +∞

x

e^−t t dt.

Comme e^−t

t ∼

t→0⁺

1

t, l’int´egrale Z +∞

0

e^−t

t dt diverge, et comme la fonction est positive, on a en fait lim_x→0+

Z +∞

x

e^−t

t dt= +∞. De plus lim

x→0⁺e^x= 1 donc lim

x→0⁺F(x) = +∞..

6. On a d´ej`a F(x) ∼

t→0⁺

Z +∞

x

e^−t

t dt=G(x). Montrons donc queG(x) ∼

t→0⁺−lnx, ce qui prouvera le r´esultat demand´e.

Une int´egration par parties, en utilisant que e^−tlnt =

t→+∞o _t¹2

, donne pour toutx >0 :

G(x) =

e^−tlntt→+∞

t=x +

Z +∞

x

e^−tlntdt= 0−e^−xlnx+ Z +∞

x

e^−tlntdt.

Or comme|e^−tlnt| ∼

0⁺−lnt, l’int´egrale Z +∞

0

e^−tlntdtconverge, donc lim

x→0⁺

Z +∞

x

e^−tlntdtexiste.

Par ailleurs, on a l’´equivalent e^−xlnx∼

0⁺lnx. Finalement, G(x)∼

0⁺

−lnx.

Exercice 5 Soitf :x7→

Z +∞

0

cos(xt) e^−t²dt.

1. D´emontrer quef est correctement d´efinie sur IR et de classeC¹.

2. Trouver une équation différentielle linéaire d’ordre 1 dontf est solution et en déduiref.

Exercice 6

On considère pourxréel l’intégrale impropreI(x) = Z 1

0

t^x−1 lnt dt

1. Par un changement de variable, d´emontrer queI(x) a mˆeme nature que J(x) =

Z +∞

0

e^−u

u (1−e^−ux) du.

2. D´emontrer que six∈]−1,+∞[ alorsI(x) est bien d´efinie.

3. Démontrer queJ est une fonction dérivable sur ]−1,+∞[ et déterminer sa dérivée.

4. En d´eduire que pour toutx >−1 l’expression deI(x).

(3)

1. Le changement de variable (`a justifier)t= e^−u permet de conclure.

2. Pourx∈]−1,+∞[,h:u7→ e^−u

u (1−e^−ux) est continue sur ]0,+∞[. Puis e^−u

u (1−e^−ux) ∼

u→0⁺x, doncJ(x) est une int´egrale faussement impropre en 0.

Enfin, par croissances compar´ees,∃ lim

u→+∞u²h(u) = 0. Il en résulte que hest intégrable sur IR⁺. Ainsi l’intégrale impropreJ(x) converge,I(x) aussi et on aJ(x) =I(x).

3. On va appliquer le théorème de Leibniz pour montrer que J est dérivable sur ]−1,+∞[ avec : J^′(x) =

Z +∞

0

e^−u(x+1)du.

Justifions cela. Pour (x, u)∈]−1,+∞[×]0,+∞[, posons : h(x, u) = e^−u

u (1−e^−ux) =e^−u

u −e^−u(1+x)

u .

— Pour toutx >−1,u7→h(x, u) est int´egrable sur IR⁺.

— La fonction hest de classeC^∞ sur ]−1,+∞[×]0,+∞[. Ainsi, pour toutx >−1, la fonction u7→ ∂h

∂x(x, u) est continue.

— Pour touta⩽b dans ]−1,+∞[, pour toutx∈[a, b] et pour tout u >0, on a :

∂h

∂x(x, u)

= e^−u(x+1)⩽e^−u(a+1)=ψ(u).

Or la fonctionψ est int´egrable sur IR⁺

On peut appliquer le théorème de Leibniz qui affirme queJ est de classeC¹ sur tout segment de ]−1,+∞[ (donc sur ]−1,+∞[ : la dérivation est une notion locale), avec :

J^′(x) = Z +∞

0

e^−u(x+1)du= 1 1 +x.

4. Il existe doncC∈IR tel que, pour toutx >−1, on aJ(x) = ln(1 +x) +C. CommeC=J(0) = 0, il resteI(x) =J(x) = ln(1 +x) pour toutx >−1.

Exercice 7

Pourxr´eel on pose, d`es que cela a un sens :f(x) = Z +∞

−∞

e^−t²e^ixtdt.

1. Quelle est le domaine de d´efinition def? 2. D´emontrer quef est de classeC^∞sur IR.

1. Posons pourt etxréelsg(x, t) = e^−t²eîxt. Fixonsxréel.

— Pour toutt r´eel la fonctionx7→g(x, t) est continue sur IR.

— On a t²|g(x, t)| = t²e^−t² −→

t→+∞ 0. Ainsi g(x, t) =

t+∞ o(1/t²). Comme t 7→ 1/t² est intégrable en +∞, il en va de même det7→g(x, t). De la même manière cette fonction est intégrable en−∞.

Le domaine de d´efinition def est donc IR.

2. Fixons k∈ IN et montrons que f est de classe C^k sur IR en utilisant le théorème de dérivation versionC^k des intégrales à paramètre.

— Atfix´e dans IR la fonctionx7→g(x, t) est de classeC^∞et pour toutj∈IN on obtient de suite :

∂^jg

∂x^j(x, t) = (it)^kg(x, t).

(4)

— Soit x∈IR etj ∈ {0, . . . , k−1}. La fonctiont7→ ∂^jg

∂x^j(x, t) est int´egrable sur IR. En effet elle est continue sur IR et pour toutt r´eel :

∂^jg

∂x^j(x, t)

⩽|t|^je^−t².

Mais la fonctiont 7→ |t|^je^−t² est int´egrable sur IR car continue sur IR et n´egligeable en−∞et +∞devantt7→ 1

t² qui est int´egrable en−∞et +∞.

— Atr´eel fix´e,x7→ ∂^kg

∂x^k(x, t) est continue sur IR (doncC⁰−P M).

— Pour tout (x, t) ∈ IR² on a :

∂^kg

∂x^k(x, t) ⩽

t^k

e^−t² = φ(t) et la fonction φ est int´egrable sur IR (mˆeme argumet que ci-dessus)

On peut donc conclure quef est de classeC^k sur IR avec : f^(k)(x) =

Z +∞

−∞

(it)^kg(x, t) dt.

Ceci ´etant vrai pour toutk∈IN,f est de classeC^∞ sur IR.

Exercice 8 (La fonctionΓ) Pourx >0, on consid`ere Γ(x) =

Z +∞

0

t^x−1e^−tdt.

1. Justifier que l’on d´efinit ainsi correctement une fonction Γ :]0,+∞[→IR.

2. D´emontrer que Γ est continue sur ]0,+∞[.

3. D´emontrer que pour toutx >0 on a Γ(x+ 1) =xΓ(x).

4. D´emontrer que Γ estC^∞et pr´eciser Γ^(k) pour toutkdans IN.

1. Voir le cours sur les int´egrales impropres.

2. Posonsf(x, t) =t^x−1e^−t pour toutt >0 etx >0. Alors :

— Ax >0 fix´e la fonctiont7→f(x, t) est continue sur ]0,+∞[ doncC⁰−P M.

— At >0 fix´e, la fonctionx7→f(x, t) est continue sur ]0,+inf t[.

— Soienta < bdes r´eels tels que [a, b]⊂]0,+∞[. Pour toutt >0 etx∈[a, b] on a :

|f(x, t)|⩽(t^a−1+t^b−1)e^−t=φ(t).

En effet, à t >0 fixé, x7→ e^{(x−1) ln}^t peut-être décroissante (si t < 1) ou croissante (si t ⩾ 1) sur [a, b] : cette fonction est donc majorée par e^{(a−1) ln}^t ou e^{(b−1) ln}^t, en particulier par la somme des deux. Enfinφest intégrable sur ]0,+∞[ comme somme de fonctions intégrables sur cet intervalle (première question !).

On peut alors appliquer le théorème de continuité des intégrales à paramètre: la fonction Γ est continue sur [a, b]. Ceci étant vrai quelque soit le choix du segment [a, b]⊂]0,+∞[, la fonction Γ est continue sur ]0,+∞[.

3. On fait une IPP (attention, il y a aussi probl`eme en 0 !)

4. Supposons que pour un certaink∈IN fix´e la fonction Γ soit de classeC^k avec : Γ^(k)(x) =

Z +∞

0

(lnt)^kt^x−1e^−tdt.

— Ax >0 fix´e, la fonctiont 7→f_k(x, t) = (lnt)^kt^x−1e^−t est int´egrable sur ]0,+∞[. En effet elle y est continue et on a :

(5)

• t²fk(x, t) −→

t→+∞0 doncf(., t) est int´egrable en +∞.

• Comme 1−x <1, il existeγ∈]1−x,1[ et alors : t^γfk(x, t) ∼

t→00t^γ(lnt)^kt^x−1−→

t→00

par croissances comparées. Il en résulte quet7→fk(x, t) est intégrable en 0.

— Ax >0 fixé, la fonctionf_k(x, .) est de classeC¹ sur ]0,+∞[ de dérivée donnée par :

∂fk

∂x(x, t) = (lnt)fk(x, t).

— At >0 fix´e, la fonctiont7→ ∂f_k

∂x(x, t) est continue sur ]0,+∞[.

— Soienta < btels que [a, b]⊂]0,+∞[. Pour toutt >0 et tout x∈[a, b] on a :

∂fk

∂x(x, t)

⩽(t^a−1+t^b−1)(lnt)^k+1e^−t=φ(t)

Mais la fonctionφest intégrable sur ]0,+∞[ comme somme de fonctions intégrables sur cet intervalle (c’est le premier tiré ci-dessus !)

On peut alors appliquer le théorème de dérivation des intégrales à paramètre version C¹ qui assure que Γ^(k) est de classe C¹ sur [a, b]. Ceci étant valable quelque soit le choix de l’intervalle [a, b]⊂]0,+∞[, Γ^(k)est de classeC¹ sur ]0,+∞[, et pourx >0 on a :

Γ^(k+1)(x) = Z +∞

0

(lnt)^k+1t^x−1e^−tdt.

Comme Γ est C⁰ sur ]0,+∞[, on peut conclure par r´ecurrence que Γ est de classe C^k pour tout k∈IN donc de classeC^∞ sur ]0,+∞[.

5. Pour trouver Γ(1/2), faire un changement de variable pour se ramener `a l’int´egrale de Gauß.

Exercice 9

Soientaet λ >0 des r´eels. D´emontrer que : Z

IR

e^−λx²cos(2λax) dx= rπ

λe^−λa².

• Pour (a, x) ∈ IR², on pose f(a, x) = e^−λx²cos(2λax). La fonction f ainsi d´efinie est globalement continue sur IR et, pour tout (a, x)∈IR², on a : |f(a, x)|⩽e^−λx² =φ(x).

La fonction φ est intégrable sur IR. Par domination, pour tout a ∈ IR, la fonction x 7→ f(a, x) est intégrable sur IR. Il en résulte que la fonction F: IR→IR définie par

F(a) = Z

IR

e^−λx²cos(2λax) dx, est correctement d´efinie.

• La fonction f st en fait C^∞ sur IR² comme produit de fonctions C^∞ sur IR². En particulier ∂f

∂a : IR²→IR est continue.

De plus, pour tout (a, x)∈IR² on a ∂f

∂a(a, x) =−2λxsin(2λax)e^−λx², donc :

∂f

∂a(a, x)

⩽2λ|x|e^−λx²

| {z }

=ψ(x)

.

Commeψest intégrable sur IR, on peut appliquer le théorème de Leibniz. AinsiF est de classeC¹sur IR et, pouraréel, on a :

F^′(a) =−2λ Z

xsin(2λax)e^−λx²dx.

(6)

• Une int´egration par parties donne, pour toutar´eel : F^′(a) =n

sin(2λax)e^−λx²i+∞

−∞

| {z }

=0

−2λa Z

IR

xcos(2λax)e^−λx²dx,

ce qui donne :F^′(a) =−2λaF(a).

Il en r´esulte qu’il existe une constanteCr´eel telle que, pour touta∈IR : F(a) =C(

− Z a

0

2λtdt

=Ce^−λa². Puis on a :

C=F(0) = Z

IR

e^−λx²dx= 2 Z

IR⁺

e^−λx²dx =

|{z}

t=√ λ x

√2 λ

Z

IR⁺

e^−t²dt= rπ

λ.

Ainsi on a bien : Z

IR

e^−λx²cos(2λax) dx= rπ

λe^−λa². Commentaires.

1. L’idée est classique pour exprimer une intégrale à paramètre : on cherche à montrer qu’elle est solution d’une équation différentielle.

2. Je présente un calcul rapide de l’intégrale de Gauß, sans rédaction, qui utilise le passage en coordonnées polaires.

PosonsI= Z

IR⁺

e^−t²dt. On a :

I² =

|{z}

F ubini

Z +∞

0

Z +∞

0

e^−(x²^+y²⁾dxdy =

|{z}

chgt var

Z +∞

0

Z ^π₂

0

e^−r²rdrdθ

=

Z ^π₂

0

(

−e^−r² 2

#+∞

0

dθ=1 2

Z ^π₂

0

dθ=π 4.

Exercice 10

Pourxr´eel on posef(x) = Z +∞

0

sin(tx) t(1 +t²)dt.

1. Démontrer que l’on a ainsi défini correctement une fonction de classeC¹sur IR et préciserf^′. 2. Pour n∈IN on poseg_n:x7→

Z n

0

cosxt 1 +t² dt.

a) Justifier que chaquegn est de classeC¹.

b) Justifier que l’on d´efinit correctement une fonctionh: IR→IR en posant pour toutxr´eel : h(x) =−

Z +∞

0

tsin(tx) 1 +t² dt.

c) Soita >0. D´emontrer que la suite (g_n^′) converge uniform´ement sur [a,+∞[ versh.

3. D´eterminer la fonctionf. La fonctionf^′ est-elle d´erivable en 0 ?

1. On a :

• Fixons x r´eel. La fonction t 7→ sin(tx)

t(1 +t²) = f(x, t) est continue sur ]0,+∞[. De plus, pour toutt >0 on a :

sin(tx) t(1 +t²)

⩽ 1 t(1 +t²). Commet7→ 1

t(1 +t²) est int´egrable sur [1,+∞[, par dominationf(x, .) est int´egrable sur [1,+∞[.

(7)

Puis sin(tx) t(1 +t²) ∼

t→0⁺x. Il en r´esulte quef(x, .) est int´egrable sur [0,1].

En résuméf(x, .) est intégrable sur ]0,+∞[.

• Pour (x, t) dans IR×]0,+∞[, ∂f

∂x(x, t) existe et, pour tout xdans IR, t 7→ ∂f

∂x(x, t) = cos(xt)

1 +t² est continue sur ]0,+∞[.

•Pour tout (x, t) dans IR×I, on a

∂f

∂x(x, t)

⩽φ(t) o`uφ:t7→ 1

1 +t² est int´egrable sur ]0,+∞[

Les hypothèses du théorème de dérivation sous le signe Z

version C¹ sont satisfaites. On peut donc conclure que f est de classeC¹ sur IR avec :

f^′(x) = Z +∞

0

cos(xt) 1 +t² dt.

On peut noter que la fonction f est impaire.

2. a. Fixons n∈IN et posons pour touttr´eel etxr´eel :g(x, t) =cos(tx) 1 +t² .

— Pour toutx∈IR la fonctiont7→cos(tx)

1 +t² est continue sur [0, n].

— Pour toutt∈[0, n] la fonction x7→ cos(tx)

1 +t² est de classeC¹ sur [0,1] de dérivée donnée par : ∂g

∂x(x, t) =−tsin(tx) 1 +t² .

— Pour toutxr´eel, la fonctiont7→ ∂g

∂x(x, t) est continue sur [0, n].

— Pour touttdans [0, n] etxr´eel on a :

∂g

∂x(x, t) ⩽n estt7→nest int´egrable sur le segment [0, n].

Le théorème de dérivation des intégrales à paramètres version C¹ permet d’affirmer queg_n est de classeC¹ sur IR, avec :

g^′_n(x) =− Z n

0

t sin(xt) 1 +t² dt.

b. Une IPP permet de montrer que hest correctement d´efinie.

c. Pourn∈IN etx >0 on a :

g^′_n(x)−h(x) = Z +∞

n

t sin(xt)

1 +t² dt=In(x).

Une IPP donne :

I_n(x) =−1 x

n

n²+ 1cos(nx) +1 x

Z +∞

n

1−t²

(1 +t²)² costxdt.

De l`a, pour tout n∈IN etx >0, on a :

|I_n(x)| ⩽ 1 x

n n²+ 1 +1

x Z +∞

n

1 +t² (1 +t²)² dt

⩽ 1 x

n n²+ 1 +1

x Z +∞

n

1 1 +t²dt

⩽ 1 x

n n²+ 1+π

2 −arctann

⩽ 1 a

n

n²+ 1+ arctan 1 n

d`es quex⩾a

(8)

Mais lim

n→+∞

n

n²+ 1 + arctan1 n

= 0 doncIn

−→CU [a,+∞[0.

Conclusion.La suite (g_n^′) converge uniform´ement sur les segments de ]0,+∞[ versh.

d. Commeg_n −→^CS

]0,+∞[f^′, on peut conclure quef^′ est de classeC¹sur ]0,+∞[ avecf^′′=h.

3. • On a 1

t(t+ 1)² =1 t − t

1 +t² pour toutt >0. Il en r´esulte, pourx >0, que : f(x) =

Z +∞

0

sintx

t dt+h(x) = π

2 +f(x).

On a donc, pour x >0, f(x) = αe^x+βe^−x+ π

2 o`u αet β sont des constantes r´eelles. Comme

|f(x)|⩽π

2 |x|, il vientα= 0. Maisf est continue en 0, avecf(0) = 0, doncβ =−π

2. Il vient donc f(x) =π

2(1−e^−x) six⩾0. Par imparité on obtient alors l’expression def. Sa dérivée estf^′(x) =π

2e^−|x|, et n’est pas d´erivable en 0.

Exercice 11 SoitF:x7→

Z +∞

0

e^−t x+tdt.

1. Montrer queF est définie et de classeC^∞ surR^∗+. 2. Déterminer un équivalent deF en 0⁺et en +∞.

On posef: (x, t)∈(R^∗+)²7→ e^−t x+t.

1. Soit a ∈ R^∗+. La fonction f est de classe C^∞ sur (R^∗+)² et v´erifie les hypoth`eses de domination locale

∀k∈N, ∀(x, t)∈[a,+∞[×R^∗+,

∂^kf

∂x^k(x, t)

=

(−1)^kk! e^−t (x+t)^k+1

⩽φk(t) :=k! e^−t (a+t)^k+1, oùφk est continue et intégrable surR^∗+. Le théorème de dérivation des intégrales à paramètre dit alors queF est définie et de classeC^∞surR^∗+.

2. • Le changement de variables affinet=xuconduit, suivi d’une int´egration par parties consistant

`

a int´egrer e^−xu, conduisent `a : F(x) =

Z +∞

0

e^−xu 1 +udu=

− e^−xu x(1 +u)

+∞

u=0

− 1 x

Z +∞

0

e^−xu

(1 +u)² du= 1 x−1

x Z +∞

0

e^−xu (1 +u)² du.

On va montrer que le second terme du membre de droite est n´egligeable devant le premier quand xtend vers l’infini, ce qui prouvera que

F(x) ∼

x→+∞

1 x· On a pour toutx >0 :

1 x

Z +∞

0

e^−xu (1 +u)²du

⩽ 1

x Z +∞

0

e^−xudu= 1 x².

Cela prouve que 1 x

Z +∞

0

e^−xu

(1 +u)² du =

x→+∞o 1

x

.

• L’intégration par parties consistant à dériver e^−t sur l’expression initiale deF conduit à F(x) =

ln(x+t)e^−t+∞

t=0 + Z +∞

0

e^−tln(x+t) dt=−lnx+ Z +∞

0

e^−tln(x+t) dt.

On va montrer que le second terme du membre de droite est n´egligeable devant le premier quand xtend vers z´ero, ce qui prouvera que

F(x) ∼

x→0⁺−lnx.

On a :

(9)

— Pour toutt >0, e^−tln(x+t) −→

x→0⁺λ(u) = e^−tlnt.

— Ax >0 fix´e,t7→e^−tln(x+t) et la fonctionλsont continues sur ]0,+∞[.

— Pour toutx >0 ett >0 on a :

e^−tln(x+t) ⩽φ(t)

(|lnt| sit⩽1 te^−t sit >1, et la fonctionφest continue par morceaux et int´egrable sur ]0,+∞[.

Le théorème de convergence dominée à paramètre continue s’applique. La fonctionλest intégrable sur ]0,+∞[ et :

Z +∞

0

e^−tln(x+t) dt −→

x→0⁺

Z +∞

0

λ(t) dt.

Cela prouve que Z +∞

0

e^−tln(x+t) dt =

x→0⁺o (−lnx).

Remarques. — 1) L’int´egrale Z +∞

0

e^−tlntdt est égale à −γ, l’opposé de la constante d’Euler, mais c’est anecdotique pour cet exercice.

2) Pourx >0 que l’on ´ecrity²avecy >0, le changement de variablet=xudonnef(x) = Z+∞

0

e^−xu 1 +udu, qui ram`ene `a la fonctionF de l’exercice 4.