SMIA 1 ANALYSE 1 PROPRIETES DE L’ENSEMBLE R et SUITES REELLES

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SMIA 1

ANALYSE 1

PROPRIETES DE L’ENSEMBLE R

et

SUITES REELLES

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Table des mati` eres

1 L’ensemble Ret ses propri´et´es 5

1.1 Introduction `a l’analyse r´eelle . . . . 5

1.2 L’ensembleRet ses propri´et´es . . . . 6

1.2.1 D´efinition de l’ensemble R . . . . 7

1.2.2 Théorème Fondamental de l’Analyse Réelle (TFAR) . . . . 7

1.2.3 Propriété de la borne supérieure (qui différencieRdeQ.) . . . . 9

1.2.4 Caract´erisation de la borne SUPERIEURE . . . . 11

1.2.5 Cons´equences du TFAR. . . . 11

1.2.6 Distance et voisinage : n´ecessaires pour d´efinir la notion de limite . . . . 15

2 Les suites r´eelles 19 2.1 Introduction et notions utiles . . . . 19

2.1.1 Quelques d´efinitions . . . . 19

2.1.2 Le Passage `a la limite et le Retour de la limite . . . . 28

2.1.3 Caractérisation séquentielle de la borne supérieure . . . . 30

2.2 Les Th´eor`emes de Base . . . . 31

2.2.1 Th´eor`eme de la limite monotone . . . . 31

2.2.2 Th´eor`eme des Suites adjacentes . . . . 32

2.2.3 Théorème des segments emboˆıtés . . . . 34

2.3 Sous-suite et Suites de Cauchy . . . . 34

2.3.1 Th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass . . . . 35

2.3.2 Compl´etude deR . . . . 36

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Chapitre 1

L’ensemble R et ses propri´ et´ es

1.1 Introduction ` a l’analyse r´ eelle

Faire des mathématiques, c’est parler un langage très précis sans jamais mentir.

En gros, les sciences mathématiques peuvent être divisées en trois parties interdépendantes : l’Analyse, l’Algèbre et la Géométrie.

A son tour, l’Analyse regroupe plusieurs branches : R´eelle, Complexe, Fonctionnelle, Num´erique, Harmonique, ....

Le but ultime de l’Analyse réelle est d’une part la résolution des équations de la forme f(x) = 0 et d’autre part, la résolution des équations différentielles y^′ =f(x, y) . Ces types de problèmes (Equation et Equation différentielle) se rencontrent dans tous les domaines de la recherche scientifique.

Par exemple, en mécanique, il faut résoudre l’équation de mouvement donnée par md−→v

dt =X−→ Fext.

La position d’équilibre (pas de mouvement) correspond à l’équation P−→

Fext=−→0. En électrocinétique (circuit RLC), on a l’équation différentielle

Ld²q

dt² +Rdq dt + q

C =u(t).

La partie concernant les équations différentielles sera traitée au second semestre dans le cadre du module (Analyse II).

L’analyse mathématique offre aussi une occasion pour apprendre à raisonner logiquement, rigoureusement et correctement. Ceci est sans doute d’une grande utilité face aux inévitables problèmes de la vie.

Si Dieu le veut, tout au long de ce semestre, nous allons nous intéresser à l’Analyse Réelle, qui constitue la base des autres types d’Analyse. En particulier, nous énoncerons les théorèmes concernant la résolution des équations :

1) Le théorème des valeurs intermédiaires pour l’existence de la solution.

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2) Le théorème de la bijection pour l’unicité de la solution.

3) Le th´eor`eme de Rolle qui donne une indication sur le nombre de solutions.

Pour démontrer ces théorèmes, nous aurons besoin des notions de ”continuité” et de

”dérivabilité” qui reposent sur la notion de limite qui, à son tour, repose sur la notion de

”suites.”

REMARQUE IMPORTANTE

Il faudrait savoir que pour faire de l’analyse, il y a des MINIMAS à avoir dans la tête : – Le langage de la théorie des ensembles (∀,∃,∈,⊂,∪,∩...)

– La logique d´eductive (ou ∨, et ∧, implique =⇒, ´equivalent ⇐⇒)

– Les axiomes (du corps +,−,:,×, de l’ordre <,≤, >,≥, de la borne supérieure sup, ...) – Les définitions (majorants, minorants, limite, continue, dérivable,....)

– Les Raisonnements DEDUCTIFS (Direct, par l’absurde, par récurrence, par disjonction des cas, par contraposée, par contraposée partielle, par contre exemple, par analyse- synthèse, ...)

1.2 L’ensemble R et ses propri´ et´ es

Insuffisance de l’ensemble N

L’´equation x+ 1 = 0 n’a pas de solution dans N.

Insuffisance de l’ensemble Z

L’´equation 2x+ 1 = 0 n’a pas de solution dans Z.

Insuffisance de l’ensemble Q

L’´equation x² = 2 n’a pas de solution dans Q.

Il n’existe pas de rationnel dont le carré est égal à 2.

Pour d´emontrer cette proposition, raisonnons par l’absurde et supposons que (∃(p, q)∈N×N^∗) : p

q 2

= 2 avec p etq premiers entre eux p² = 2q² =⇒ p est pair =⇒ p= 2p^′ =⇒ 2p^′2 =q² =⇒ q est pair . Ce qui contredit le fait que p etq soient premiers entre eux.

De la même fa¸con, les nombres π etequi jouent un grand rôle en mathématiques ne sont pas rationnels.

Il est donc n´ecessaire de d´efinir un ensemble qui contiendrait, en plus des rationnels, ces nombres dits irrationnels.

La figure 1 illustre les diff´erences entre les ensembles : N, Z, Q, et R.

Insuffisance de l’ensemble R

L’´equation x²+ 1 = 0 n’a pas de solution dans R.

Pour lever cette indétermination, les mathématiciens ont inventé l’ensembleCdes nombres complexes.

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Figure 1.1 – De haut en bas, les ensemblesN,Z,Q,R\Qet la droite r´eelleR.

1.2.1 D´efinition de l’ensemble R

Etant donné que nous faisons de l’analyse, nous n’allons pas rentrer dans les détails de construction de l’ensembleNvia les axiomes de Péano et de l’ensembleRà travers les sections de Dedekind ou les suites de Cauchy. Cela est normalement une affaire d’algébristes. Pour la faire court, nous dirons simplement, que R est l’ensemble de tous les nombres que l’on peut

écrire en utilisant les chiffres (0−9), les signes (+,−) et la virgule représentée par un point..

R={2,−3, 5

10⁴,1.333333,−0.25,1 7,√

2, π, e, ...}

R contient ainsi les entiers naturels, les entiers relatifs, les d´ecimaux, les rationnels et les irrationnels.

On a alors la suite d’inclusions suivante

N⊂Z⊂Q⊂R⊂C

Lorsque l’on va définir la notion de limite, on aura besoin de deux éléments −∞et +∞ que l’on rajoute à l’ensemble R, pour obtenir ce qu’on appelle la droite réelle achevée notée R.

R=R∪ {−∞,+∞}

1.2.2 Théorème Fondamental de l’Analyse Réelle (TFAR)

Il fixe les régles de calcul à respecter quand on fait des opérations (+,−, x,:) ainsi que les régles de comparaison qui permettent de manipuler les symboles (<, >,≤,≥).

Pratiquement, toute l’analyse réelle est basée sur ce théorème qui s’énonce ainsi :

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Th´eor`eme 1. ————————————————————————

(R,+,×, <) est un corps commutatif totalement ordonné qui posséde la propriété de la borne supérieure.

————————————————————————

Ce théorème que l’on admettra vu que sa démonstration est excessivement longue, constitue notre point de départ.

les Axiomes du corps qui fixent les r´egles de calcul 1. l’addition est commutative .

(∀(x, y)∈R²) x+y=y+x 2. l’addition est associative .

(∀(x, y, z)∈R³) (x+y) +z =x+ (y+z) 3. l’addition admet un ´el´ement neutre.

(∀x∈R) x+ 0 =x 4. chaque r´eel a un oppos´e.

(∀x∈R) x+ (−x) = 0 5. la multiplication est commutative.

(∀(x, y)∈R²) x×y=y×x 6. la multiplication est associative.

(∀(x, y, z)∈R³) (x×y)×z =x×(y×z) 7. la multiplication admet un ´el´ement neutre.

(∀x∈R) x×1 =x 8. chaque r´eel non nul a un inverse.

(∀x∈R^∗) x× 1 x = 1 9. la multiplication est distributive par rapport `a l’addition.

(∀(x, y, z)∈R³) x×(y+z) =x×y+x×z Cons´equences

1. Simplification additive

(∀(x, y, z)∈R³) x+z =y+z =⇒ x=y

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2. Simplification multiplicative

(∀(x, y, z)∈R²×R^∗) xz =yz =⇒ x=y

Les Axiomes de l’ordre qui d´eterminent les r´egles de Majoration ou de Com- paraison

1. la trichotomie.

(∀(x, y)∈R²) x < y ou y < xou x=y

On utilise aussi la notation ≤ pour inférieure ou égal et ≥ pour supérieure ou égale.

2. la transitivit´e.

(∀(x, y, z)∈R³) x < y et y < z =⇒ x < z 3. la positivit´e.

(∀(x, y)∈R²) x >0 et y >0 =⇒ xy >0 Cons´equences

1. Compatibilit´e avec l’addition

(∀(x, y, z)∈R) x < y =⇒ x+z < y+z.

2. Compatibilit´e avec la multiplication par un r´eel positif

(∀(x, y, z)∈R²×R⁺) x < y =⇒ xz≤yz.

3. Incompatibilité avec la multiplication par un réel négatif

(∀(x, y, z)∈R²×R⁻) x < y =⇒ xz≥yz.

4. Inversion de nombres strictement positifs

(∀(x, y)∈R²) 0< x < y =⇒ 1 y < 1

x.

1.2.3 Propriété de la borne supérieure (qui différencie R de Q.)

On dira qu’un ensembleE possède la propriété de la borne supérieure, si toute partie non vide majorée de E, admet une borne supérieure.

De même, On dira qu’un ensemble E possède la propriété de la borne inférieure, si toute partie non vide minorée de E, admet une borne inférieure.

Remarque

L’ensemble Q des rationnels ne possède pas la propriété de la borne supérieure.

Par exemple, l’ensemble {x∈Q : x² <3} est major´e mais n’a pas de borne sup´erieure car tout simplement √

3 n’est pas rationnel.

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Minorant et Majorant d’un ensemble

Soit A une partie non vide de l’ensemble R.

On dit que le r´eel m est un minorant de l’ensemble A si et seulement si (∀x∈A) m≤x

A est alors minor´ee par m.

Si en plus, m ∈A, on dira quem est le plus petit élément de A et on écritm = minA..

Exemple Toute partie non vide de N admet un plus petit ´el´ement.

De mˆeme, on dit que le r´eel M est un majorant de l’ensemble A si et seulement si (∀x∈A) x≤M

A est alors major´ee par M.

Si M ∈A,on parlera de plus grand élément de A et l’on écriraM = maxA.

Remarque

Si A est à la fois minorée et majorée, on dira qu’elle est bornée.

A et born´ee ⇐⇒ (∃(m, M)∈R) (∀x∈A) m≤x≤M ou

A et born´ee ⇐⇒ (∃M ∈R⁺) (∀x ∈A) |x| ≤M Exemples

]1,+∞[ est minor´e par 1

]− ∞,3[ est non minoré mais il est majoré par 3 ]1,+∞[ est non majoré

]1,7[ est born´e

Borne sup´erieure et inf´erieure

Si A est majorée et que l’ensemble des majorants de A admet un plus petit élément, on l’appelera borne supérieure de A, et on le note supA.

supA = min{M ∈R : (∀x∈A) x≤M}

De la mˆeme fa¸con, siA est minor´ee et que l’ensemble des minorants admet un plus grand

élément, on l’appelera borne inférieure, et on le note infA.

infA= max{m ∈R : (∀x∈A) x≥m} Exemple 1

sup[0,1[= 1

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inf{ 1

n+ 1, n∈N}= 0

Remarque Soit A une partie non vide major´ee de R. Alors, il y a deux cas :

1) supA∈A =⇒ maxA existe et maxA= supA2) supA /∈A =⇒ maxA n’existe pas.

Par exemple, si A = [1,2[ , alors supA = 2 et maxA n’existe pas.

De mˆeme, si B une partie non vide mainor´ee de R.Alors, il y a deux cas : 1) infA∈A =⇒ minA existe et minA= infA

2) infA /∈A =⇒ minA n’existe pas.

Par exemple, si B = [1,2[ , alors infB = 1 et minB = infB.

En conclusion

TOUTE PARTIE NON VIDE MAJOREE DER admet une BORNE SUPERIEURE

TOUTE PARTIE NON VIDE MINOREE DE Radmet une BORNE INFERIEURE 1.2.4 Caract´erisation de la borne SUPERIEURE

Il s’agit de donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’un réel M, soit la borne supérieure d’une partieA non vide et majorée de R.

Cette condition doˆıt traduire d’une part que M est un majorant de A et de l’autre que M est le plus petit majorant, c’est à dire qu’un nombre strictement inférieur à M n’est pas un majorant de A.

M = supA ⇐⇒ (∀x∈A x≤M) et (∀ǫ >0 ∃a ∈A : M −ǫ < a≤M)

Caract´erisation de la borne INFERIEURE

Il s’agit de donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’un réel M, soit la borne inférieure d’une partie A non vide et minorée de R.

Cette condition doˆıt traduire d’une part que m est un minorant deA et de l’autre quem est le plus grand minorant, c’est à dire qu’un nombre strictement supérieure à m n’est pas un minorant deA.

m= infA ⇐⇒ (∀x∈A x≥m) et (∀ǫ >0 ∃a∈A : m≤a < m+ǫ) 1.2.5 Cons´equences du TFAR

Rest Archim´edien

Montrons que

(∀x >0) (∀y∈R) (∃n ∈N^∗) : nx > y D´emonstration

Soient x >0 et y∈R. Raisonnons par l’absurde et supposons que

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(∀n >0) nx ≤y ce qui veut dire que l’ensemble

E ={nx, n >0} est major´e pary.

et donc, d’apr`es le TFAR, supE existe.

Posons alors supE =α.

D’après la caractérisation de la borne supérieure,

(∃e∈E) : α−x < e≤α

⇐⇒ (∃n >0) : α−x < nx≤α

=⇒ (∃n >0) : α <(n+ 1)x ce qui contredit le fait que α= supE et (n+ 1)x∈E.

Partie enti`ere d’un r´eel

On appelle partie entière d’un réel x, que l’on note E(x), le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x.

(∀x∈R) E(x)≤x < E(x) + 1 Existence

Soit x∈R. Distinguons trois cas . Si x∈Zalors E(x) =x.

Si x >0, d’après la propriété d’Archiméde,

(∃m ∈N^∗) : m > x Posons A= inf{m∈N^∗ : m > x} etn+ 1 = infA On a donc

n ≤x < n+ 1 et par suite E(x) =n.

Exemple

x= 3.21 A ={4,5, ....}, n+ 1 = 4, E(x) =n = 3 En fin si x <0,

(∃m ∈N^∗) : m >−x Posons B = inf{m∈N^∗ : m >−x} etn+ 1 = infB On a donc

n ≤ −x < n+ 1 c’est `a dire

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−n−1< x <−n et par suite E(x) =−n−1.

Exemple

x=−2.001,−x= 2.001, B ={3,4,5, ...} n+ 1 = 3, E(x) =−n−1 = −3

Encadrements utiles : (∀x∈R) x−1< E(x)≤x et 0≤x−E(x)<1 Remarque

Sachant que

(∀x∈R) (∀n ∈N) E(10ⁿx)

10ⁿ ≤x < E(10ⁿx) 10ⁿ + 1

10ⁿ, On conclut que

x= lim

n→+∞

E(10ⁿx) 10ⁿ

Ce qui veut dire que tout r´eel est limite d’une suite de d´ecimaux.

Par exemple

π ≈3 π ≈3.1 π ≈3.14 π≈3.141 π ≈3.1415 π≈3.14159...

√2≈1

√2≈1.4

√2≈1.41

√2≈1.414

√2≈1.4142...

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Densit´e deQ dansR

Entre deux r´eels quelconques, il y a au moins un rationnel D´emonstration

Soit (x, y)∈R² avec x < y.

R est Archim´edien =⇒ (∃n >0) : n(y−x)>10

=⇒ (∃n > 0) : nx < nx+ 10< ny.

Il est clair qu’entre nx et nx+ 10, on peut choisir un entier m . Ce qui donne nx < m < nx+ 10 < ny

et apr`es division par n qui est non nul, on obtient x < m

n < y, ce qui prouve l’existence du rationnel ^m_n dans ]x, y[.

Cons´equences de la Densit´e deQ dans R

Tout r´eel est limite d’une suite de rationnels D´emonstration

Soit x∈R.

Qest dense dans R =⇒ (∀n ∈N) (∃rn∈Q) : x− 1

n+ 1 < rn< x+ 1 n+ 1

La suite de rationnels (rn) satisfait la condition limn→+∞rn=x.

Exemple

√5 = lim

n→+∞un

o`u (un) est la suite de rationnels d´efinie par

u0 = 1 et (∀n∈N) un+1 = un

2 + 5 2un

. remarques

Ceci offre la possiblité de définir l’ensemble R, comme étant l’ensemble de toutes les limites de toutes les suites de rationnels convergentes.

L’ensemble Q des rationnels, ne possède pas la propriété de la borne supérieure Considérons l’ensemble A défini par

A={x∈Q : x² <2}={x∈Q : −√

2< x <√ 2}

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A est non vide major´e par √

2 mais supA n’existe pas car si supA <√

2, il y aura des rationnels entre supA et √

2, d’apr`es la densit´e deQ dans R.

1.2.6 Distance et voisinage : n´ecessaires pour d´efinir la notion de limite

Valeur Absolue

1. D´efinition

(∀x∈R) |x|= max(x,−x) =x si x≥0 et −x si x≤0 2. Propri´et´es

(∀x∈R) |x| ≥0 et |x|=| −x| (∀x∈R) |x|= 0 ⇐⇒ x= 0 3. Inégalité triangulaire (première forme)

(∀(x, y)∈R²) |x+y| ≤ |x|+|y| La démonstration se fait aisément par disjonction des cas . 4. Inégalité triangulaire (deuxième forme)

(∀(x, y)∈R²)

|x| − |y|

≤ |x−y| D´emonstration

Soit (x, y)∈R². D’après l’inégalité triangulaire, on a

|x|=|x−y+y| ≤ |x−y|+|y| =⇒ |x| − |y| ≤ |x−y| et

|y|=|y−x+x| ≤ |y−x|+|x| =⇒ |y| − |x| ≤ |y−x| donc

−|x−y| ≤ |x| − |y| ≤ |x−y| et finalement

||x| − |y|| ≤ |x−y| Remarque

Cette inégalité sert par exemple à montrer que

n→+∞lim |un|= lim

n→+∞un

ou que

x→alim|f(x)|= lim

x→af(x)

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Intervalle deR

Soient a etb deux r´eels tels que : a < b.

1. Intervalle ouvert

]a, b[={x∈R : a < x < b} ]2,5[={x∈R : 2< x <5} 2. Intervalle semi ouvert

]a, b] ={x∈R : a < x≤b} [a, b[={x∈R : a≤x < b} 3. Intervalle ferm´e born´e ou SEGMENT

[a, b] ={x∈R : a≤x≤b} 4. Intervalle ouvert non born´e

]a,+∞[={x∈R : a < x} ]− ∞, b[={x∈R : x < b} 5. Intervalle ferm´e non born´e

[a,+∞[={x∈R : x≥a} ]− ∞, b] ={x∈R : x≤b} A noter que R=]− ∞,+∞[ et que R= [−∞,+∞].

Caract´erisation d’un intervalle de R Soit A⊂R.

A est un intervalle de R ⇐⇒ (∀(x, y)∈A²) :x < y ]x, y[⊂A

Distance usuelle

La notion de distance est très utile en Analyse. Elle permet d’introduire la notion de voisinage, nécessaire pour définir les limites d’une suite ou d’une fonction. En Topologie, on généralise la notion de distance à des ensembles autres que R, que l’on appelle ”Espaces Métriques.”

1. D´efinition

(∀(x, y)∈R²) distance de x `a y=d(x, y) =|x−y|

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2. Sym´etrie de la distance

(∀(x, y)∈R²) d(x, y) =d(y, x) 3. In´egalit´e triangulaire

(∀(x, y, z)∈R³) d(x, y)≤d(x, z) +d(z, y) Remarque

On dit que R muni de cette distance est un ESPACE METRIQUE.

Voisinage

La notion de voisinage est n´ecessaire pour d´efinir la notion de limite. Elle permet de traduire

l’expression ”tend vers” ou ”proche de .”

1. Voisinage centr´e

]a−ǫ, a+ǫ[={x∈R : |x−a|< ǫ} est un voisinage centr´e dea.

]−1,1[ est un voisinage centr´e de 0.

2. Voisinage centr´e point´e

]a−ǫ, a+ǫ[−{a}={x∈R : 0<|x−a|< ǫ} est un voisinage centr´e point´e de a.

]−2,0[∪]0,2[ est un voisiunage centr´e point´e de 0.

3. Voisinage `a droite point´e

]a, a+ǫ[={x∈R : 0< x−a < ǫ} est un voisinage `a droite point´e de a.

]0,2[ est un voisinage `a droite point´e de 0.

4. Voisinage `a gauche point´e

]a−ǫ, a[={x∈R : 0< a−x < ǫ}est un voisinage `a gauche point´e de a.

]0,1[ est un voisinage `a gauche point´e de 1.

5. Voisinage de +∞

]a,+∞[={x∈R : x > a}est un voisinage ”`a gauche point´e” de +∞. 6. Voisinage de −∞

]− ∞, b[={x∈R : x < b} est un voisinage ”`a droite point´e” de −∞.

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Chapitre 2

Les suites r´ eelles

2.1 Introduction et notions utiles

Pour montrer que la fonction x7→cos(x) n’a pas de limite quand x→+∞,

nous sommes obligés de passer par la caractérisation séquentielle de la limite d’une fonction.

La notion de suite est donc un pr´erequis pour la notion de limite.

2.1.1 Quelques d´efinitions

Suites r´eelles

Soit n0 ∈ N, On appelle suite r´eelle que l’on note (un)n≥n0 une application d´efinie de l’ensemble {n₀, n₀+ 1, n₀+ 2, ....} vers R.

un sans les parenthèses, représentant l’image d’un entier n est appelé terme général de la suite (un).

L’ensemble {un, n ∈N} est appel´e ensemble image de la suite (un).

Remarque Si (un)n≥n0 est une suite réelle définie pour n ≥ n0, alors en posant vn = un+n0, on obtient une suite définie pourn ≥0.Donc quitte à faire un décalage d’indice, nous pouvons toujours supposer que n₀ = 0. On notera alors une suite (un) au lieu de (un)n≥n0.

Lorsque l’on étudie une suite de réels, ce qui nous intéresse, c’est son comportement à l’infini, c’est à dire pour des indices suffisamment grand. Ce qui compte alors, ce sont les termesunoù l’indicen est assez grand. On utilise souvent l’expression, ”à partir d’un certain rang” pour dire ”pourn suffisamment grand.”

Exemples

1. Suite Constante

(∀n∈N) un=C^te. 2. Suite Arithm´etique

(∀n ∈N) un =p+nr.

C’est une suite arithm´etique de premier terme u0 =pet de raison r.

On peut calculer la somme des termes d’une suite arithm´etique si l’on sait que

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1 + 2 + 3 +...+n= n(n+ 1) 2 3. Suite G´eom´etrique

(∀n ∈N) un=pqⁿ.

C’est une suite g´eom´etrique de premier terme u0 =pet de raison q.

On peut calculer la somme des termes d’une suite g´eom´etrique si l’on sait que q 6= 1 =⇒ 1 +q+q²+q²+...+qⁿ = 1−qⁿ⁺¹

1−q

Suite major´ee

On dit que la suite r´eelle (un) est major´ee ⇐⇒

(∃M ∈R) : (∀n ∈N) un≤M

⇐⇒ {un, n∈N} est major´e.

Exemple

La suite (5 + cos(n)) est major´ee par 6.

Suite minor´ee

On dit que la suite r´eelle (un) est minor´ee ⇐⇒

(∃m∈R) : (∀n ∈N) un≥m

⇐⇒ {un, n∈N} est minor´e.

Exemple

La suite (5 + cos(n)) est minor´ee par 4.

Suite born´ee

On dit que la suite r´eelle (un) est born´ee ⇐⇒

(∃(m, M)∈R²) : (∀n∈N) m≤un ≤M

⇐⇒ (∃K ∈R⁺) : (∀n∈N) |un| ≤K

⇐⇒ {un, n∈N} est born´e.

Exemple

La suite (5 + cos(n)) est born´ee.

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Suite croissante

Soit N ∈N.

On dit que la suite (un) est croissante `a partir du rang N ⇐⇒

(∃N ∈N) : (∀n≥N) un+1 ≥un

De mˆeme, on dira que la suite (un) est strictement croissante ⇐⇒

(∃N ∈N) : (∀n≥N) u_n+1 > un

Exemple

la suite (2n+ 3) est strictement croissante.

Suite d´ecroissante

On dit que la suite (un) est d´ecroissante ⇐⇒

(∃N ∈N) : (∀n≥N) un+1 ≤un

De mˆeme, on dira que la suite (un) est strictement d´ecroissante ⇐⇒

(∃N ∈N) : (∀n≥N) un+1 < un

Exemple

la suite (_n+1¹ ) est strictement d´ecroissante.

Suite monotone

Une suite est dite monotone si elle est croissante ou d´ecroissante.

Elle est strictement monotone si elle est strictement croissante ou strictement d´ecroissante.

Exemple

les suites (sin(n)) est (−1)ⁿ ne sont pas monotones.

Suite convergente

————————————————————

Dans la définition qui va suivre, les inégalités strictes peuvent être remplacées par des inégalités larges et inversement. ————————————————————-

On dit que la suite (un) converge vers le r´eel Lsi et seulement siundevient aussi proche que l’on veut deL lorsque l’indice n devient suffisamment grand. Ceci se traduit par

(un) tend vers L quand n tend vers +∞ ⇐⇒

(∀ǫ >0) (∃N ∈N) : (∀n >,≥N) |un−L| <,≤ǫ ou bien

(∀ǫ >0) (∃N ∈N) : (∀n ≥N) un∈]L−ǫ, L+ǫ[

On ´ecrit alors

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21

(22)

600 400

200 0

y 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2

0

x

1000 800

Figure2.1 – Suite qui converge vers 1

n→+∞lim un=L

et on dira que la suite (un) converge vers le r´eel L. Une suite qui n’est pas convergente sera divergente.

Cons´equence imm´ediate

Toute suite qui converge vers un réel est bornée La démonstration est laissée à titre d’exercice d’assimilation.

Exemples

1. La suite (sin(n)) n’est pas convergente.

2. La suite (e⁻ⁿ) converge vers 0.

3. Limite de la suite g´eom´etrique

n→+∞lim qⁿ = 0 si |q|<1

n→lim+∞qⁿ= +∞si q >1

n→+∞lim qⁿ= 1 si q = 1

n→+∞lim qⁿ= n’existe pas si q≤ −1

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22

(23)

1

3 0

2 1

0 y

x 5

5 4

3

4 2

Figure 2.2 – La fonctionx7→x^αpour α <0,0< α <1 etα >1

4. Limite de la Suite puissance

n→+∞lim n^α = +∞ si α >0

n→+∞lim n^α = 1 si α = 0

n→+∞lim n^α = 0 si α <0 REMARQUE

Certaines suites réelles (un), comme par exemple (eⁿ), sont croissantes et divergentes. Au lieu de dire qu’elles croissent indéfiniment, on introduit le symbole +∞ (plus l’infini), et on dira que ces suites tendent vers +∞.On écrira alors

n→lim+∞un= +∞.

De la même fa¸con, pour une suite (vn) qui décroˆıt indéfiniment, on écrira

n→+∞lim vn=−∞.

La droite réelle ACHEVEE est un nom donné à l’ensemble R∪ {−∞,∞}

Lorsque l’on effectue des op´erations sur les limites, on respectera les r´egles suivantes :

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23

(24)

14 12 10 8 6 4 2 200

150

100

50

0

Figure2.3 – Suite qui tend vers +∞

+∞+∞= +∞ et − ∞ − ∞=−∞

(+∞).(+∞) = +∞, (+∞).(−∞) =−∞ et (−∞).(−∞) = +∞ (∀a∈R^∗)

a+∞= +∞, a− ∞=−∞ eta.(+∞) =signe(a)∞ a

±∞ = 0 et 0

±∞ = 0

Parfois, on tombe sur l’une des FORMES INDETERMINEES SUIVANTES 0

0,∞

∞, 0.∞, ∞ − ∞ et 1^∞

Suite qui tend vers l’infini

On dit qu’une suite réelle (un) tend vers +∞ lorque n tend vers l’infini si le terme généralun devient plus grand que n’importe quel nombre positif, dès que l’indice n devient suffisamment grand.

En d’autres termes,

n→+∞lim un= +∞ ⇐⇒ (∀A >0) (∃N ∈N) : (∀n ≥N) un > A

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24

(25)

De mˆeme,

n→+∞lim un=−∞ ⇐⇒ (∀B <0) (∃N ∈N) : (∀n ≥N) un< B la suite (eⁿ) est divergente. Elle tend vers +∞

Limites Usuelles Tr`es Utiles

——————————————————-

n→+∞lim

sin(_n¹)

1 n

= lim

n→+∞nsin(1 n) = 1.

n→+∞lim ntg(1 n) = 1.

n→+∞lim

ln(1 + _n¹)

1 n

= lim

n→+∞nln(1 + 1 n) = 1.

n→+∞lim n(eⁿ¹ −1) = 1.

n→+∞lim n²(1−cos(1 n)) = 1

2. (∀α ∈R) lim

x→+∞

(ln(n))^α n = 0.

(∀α∈R) lim

n→+∞n^αe⁻ⁿ= 0.

———————————————————–

Remarque importante

La nature d’une suite (convergente ou divergente) ne change pas si l’on modifie un nombre fini de termes de la suite.

Le comportement d’une suite à l’infini (Sa limite eventuelle) ne dépend que des termes un à partir d’un certain rang.

En d’autres termes, si pour n assez grand, un = vn, alors les deux suites (un) et (vn) auront la mˆeme nature.

l’expression ” pour n assez grand” se traduit par (∃N ∈N) : (∀n≥N).

On peut aussi dire ”`a partir d’un certain rang.”

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25

(26)

Propri´et´es des limites de suites

Les suites considérées ci-dessous sont supposées avoir une limite (fine ou infinie.) 1. Unicité

Une suite r´eelle (un) ne peut pas converger vers deux limites diff´erentes.

Raisonnons par l’absurde et supposons que

n→+∞lim un=L1 et lim

n→+∞un =L2

Pour un ǫ >0 quelconque, on a

(∃N₁ ∈N) : (∀n≥N₁) |un−L₁|< ǫ et

(∃N2 ∈N) : (∀n≥N2) |un−L2|< ǫ Posons N = sup(N1, N2).Il s’en suit que

(∀n≥N) |L₂−L₁|=|(un−L₁)−(un−L₂)|<|un−L₁|+|un−L₂| ≤2ǫ d’o`uL1 =L2 et l’unicit´e de la limite quand elle existe.

2. Somme

n→+∞vn=L2 =⇒ lim

n→+∞(un+vn) =L1 +L2

D´emonstration

Soit ǫ >0 quelconque donn´e.

n→+∞lim un=L1 =⇒ (∃N1 ∈N) : (∀n≥N1) |un−L1|< ǫ 2

n→+∞lim vn=L2 =⇒ (∃N2 ∈N) : (∀n≥N2) |vn−L2|< ǫ 2 Posons N = max(N1, N2).

Il vient alors

(∀n ≥N) |un−L₁|< ǫ

2 et|vn−L₂|< ǫ 2 c’est `a dire

(∀n≥N) |(un+vn)−(L1+L2)| ≤ |un−L1|+|vn−L2|< ǫ

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26

(27)

3. Limite de la valeur absolue

n→lim+∞|un|= lim

n→+∞un

La démonstration est basée sur l’inégalité triangulaire 2î`ême forme.

||un| − |L|| ≤ |un−L|. En particulier

n→+∞lim |un|= 0 ⇐⇒ lim

n→+∞un= 0

n→+∞lim |un−L|= 0 ⇐⇒ lim

n→+∞un =L 4. Comparaison

Soient (un) et (vn) deux suites r´eelles ayant des limites finies ou infinies.

(∃N ∈N) : (∀n ≥N) un< vn =⇒ lim

n→+∞un ≤ lim

n→+∞vn

Lorsque l’on passe à la limite, les inégalités STRICTES deviennent LARGES Exemple

un = _n+2¹ etvn= _n+1¹

On a un < vn pour tout entier n mais lim

n→+∞un = lim

n→+∞vn= 0 5. Encadrement

Si pour n assez grand, on a vn≤un≤wn et lim

n→+∞vn = lim

n→+∞wn=L alors

n→+∞lim un =L En particulier,

(∃N ∈N) : (∀n≥N)|un| < vn avec lim

n→+∞vn= 0 =⇒ lim

n→+∞un = 0

Cette proposition est très pratique pour démontrer les propriétés sur les limites suivantes :

6. Multiplication par un scalaire (∀λ∈R) et lim

n→+∞un =L1 =⇒ lim

n→+∞(λ.un) =λ.L1

7. Produit

n→+∞vn =L2 =⇒ lim

n→+∞(un.vn) =L1.L2

8. Quotient

n→+∞vn=L2 =⇒ lim

n→+∞

un

vn

= L1

L2

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27

(28)

2.1.2 Le Passage `a la limite et le Retour de la limite

Toutes les propositions énoncées dans cette section, se démontrent aisément en utilisant le raisonnement par l’absurde.

Les suites (un),(vn), et (wn) considérées ci-dessous sont supposées avoir une limite dans R=R∪ {−∞,+∞}.

Le Passage `a la limite

Cela consiste à déduire des propriétés sur la limite éventuelle d’une suite connaissant les propriétés de son terme général.

(∃N ∈N) : (∀n ≥N) un>0 =⇒ lim

n→+∞un≥0

D´emonstration Raisonnons par l’absurde et supposons que limn→+∞un=L∈R^−∗

prenons ǫ= ^−L₂ .

n→+∞lim un=L =⇒ (∃N1 ∈N) : (∀n ≥N1)

L−−L

2 < un< L+−L 2

=⇒ (∃N1 ∈N) : (∀n≥N1) un < L 2 <0 ce qui est en contradiction avec l’hypoth`ese

(∃N ∈N) : (∀n≥N) un>0.

Donc limn→+∞un≥0.

La démonstration (proposée comme exercice ) est analogue si limn→+∞un=−∞. Conséquence immédiate

(∃N ∈N) : (∀n ≥N) un> vn =⇒ lim

n→+∞un≥ lim

n→+∞vn

Remarque IMPORTANTE

Lorsque l’on passe à la limite, les inégalités STRICTES deviennent LARGES.

Si (un) est une suite d’éléments d’une partieAdeR, alors, la limite de (un),si elle existait, elle appartiendrait à L’HADERENCE de A notéeA. Le tableau suivant illustre quelques exemples.

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28

(29)

A : Partie de R Son adh´erence : A⊂R

[a, b] [a, b]

[a, b[ [a, b]

]a, b] [a, b]

]a, b[ [a, b]

]a,+∞] [a,+∞]

]− ∞, b[ [−∞, b]

Q R

La R´egle de l’encadrement ou des Gendarmes

(∃N ∈N) : (∀n ≥N) vn < un < wn et lim

n→+∞vn = lim

n→+∞wn

=⇒ lim

n→+∞un= lim

n→+∞vn

Cas particuliers 1.

(∃N ∈N) : (∀n≥N) |un|< vn et lim

n→+∞vn = 0

=⇒ lim

n→+∞un= 0 2.

(∃N ∈N) : (∀n ≥N) vn< un et lim

n→+∞vn = +∞

=⇒ lim

n→+∞un= +∞ 3.

(∃N ∈N) : (∀n≥N) un < wn et lim

n→+∞wn =−∞

=⇒ lim

n→+∞un =−∞

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29

(30)

20 15 3

5 25

2

1,5

10 2,5

1

30

Figure2.4 – La r´egle du Gendarme pour les suites

Le retour de la limite

Connaissant la limite d’une suite, Il s’agit d’en déduire des propriétés sur son terme général.

x→+∞lim un >0 =⇒ (∃N ∈N) : (∀n≥N) un>0

La d´emonstration se fait en utilisant la DEFINITION de la limite et en prenant ǫ =

limx→+∞uⁿ

2 .

2.1.3 Caractérisation séquentielle de la borne supérieure

M = supA ⇐⇒ (∀x∈A x≤M) et (∀n∈N ∃an ∈A : M − 1

n+ 1 < an≤M) En d’autres termes, M = supA si et seulement si M est un majorant de A qui est en même temps limite d’une suite d’éléments de A.

Exemple

Prenons A= [0,1[. Remarquons que 1 est un majorant de A.

d’autre part, la suite (an) définie par an = 1− _n+1¹ est une suite d’éléments de A qui converge vers 1. On en en déduit que

supA= 1

Remarque Cette caratérisation séquentielle est très PRATIQUE, en effet, Pour montrer que m = infA, il suffit de montrer que m est un minorant de A et que, en mêm temps, m est limite d’une suite d’éléments de l’ensemble A.

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30

(31)

15 10

5 0

y 1

0,8

0,6

x 0,4

25 0,2

0

20

Figure 2.5 – Une suite croissante major´ee est convergente.

2.2 Les Th´ eor` emes de Base

2.2.1 Théorème de la limite monotone Théorème 2.

Toute suite r´eelle croissante major´ee (un)n≥n0est convergente de plus,

n→+∞lim un = sup{un, n ≥n0} De mˆeme,

Toute suite réelle décroissante minorée (vn)n≥n0est convergente de plus,

n→+∞lim vn= inf{vn, n ≥n0} D´emonstration

Soit ǫ >0 quelconque et (un)n≥n0 une suite r´eelle croissante major´ee.

(un)n≥n0 major´ee =⇒ {un, n≥n₀}est major´e

=⇒ sup{un, n ≥n0} existe Posons L= sup{un, n≥n0}.

D’après la caractérisation de la borne supérieure,

(∃N ≥n0) : L−ǫ < uN ≤L

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31

(32)

Or (un) est croissante, donc

(∀n ≥N) L−ǫ < uN ≤un≤L < L+ǫ ou bien

(∀n ≥N) |un−L|< ǫ Ce qui montre que

n→+∞lim un =L= sup{un, n≥n0}. Remarque1

Si (un) est une suite croissante NON majorée, alors limn→+∞ = +∞.Si (un) est une suite décroissante NON minorée, alors limn→+∞=−∞.

Remarque2

Le théorème de la limite monotone est parfois utilisé pour calculer la borne supérieure ou inférieure d’un certain ensemble.

Par exemple, en prenant un = 2 +_n¹, on en d´eduit que inf{2 + 1

n, n >0}= 2

étant donné que (un) est décroissante et que lim_n→+∞un= 2.

2.2.2 Th´eor`eme des Suites adjacentes

Définition 3. On dit que deux suites réelles sont Adjacentes si, l’une est croissante, l’autre est décroissante et leur différence tend vers 0 .

Remarque

Si (un) et (vn) sont adjacentes avec (un) croissante et (vn) d´ecroissante, alors (∀n∈N) un ≤vn

Pour montrer que deux suites sont adjacentes, on commence par chercher celle qui est plus grande que l’autre, c’est elle qui sera alors d´ecoissante. L’autre (la plus petite) sera normalement et automatiquement croissante .

Exemple

un= 1 + 1 1!+ 1

2! +...+ 1

n! etvn=un+ 1 nn!. (vn) est d´ecoissante.

Remarque

(un) et (vn) sont deux suites de RATIONNELS qui convergent verse qui est IRRATION- NEL. Ceci confirme le fait que l’ensemble Q n’est pas complet .

Th´eor`eme 4.

Deux suites adjacentes sont convergentes et convergent vers la mˆeme limite

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32

(33)

2 12 14 2

10 8 6 4 1

1,5

0,5

0

Figure2.6 – Deux suites adjacentes

D´emonstration

Soient (un) et (vn) deux suites adjacentes avec (un) croissante et (vn) d´ecroissante.

On a alors,

(∀n ∈N) un≤vn

Car dans le cas contraire, on aurait

(∃p∈N) vp < up

=⇒ (∀n ≥p) vn≤vp < up ≤un

=⇒ (∀n≥p) un−vn≥up−vp >0

=⇒ lim

n→+∞(un−vn)≥vp−vp >0

Ce qui contradirait l’hypoth`ese lim_n→+∞(un−vn) = 0. Donc forc´ement (∀n ∈N) u0 ≤un ≤vn ≤v0

Ceci entraˆıne que (un) est croissante majorée (par v0) et que (vn) est décroissante minorée (par u0.)

Par cons´equent les deux suites sont convergentes.

Or

n→+∞lim (un−vn) = 0 = lim

n→+∞un− lim

n→+∞vn

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33

(34)

Donc

n→+∞lim un = lim

n→+∞vn

2.2.3 Théorème des segments emboˆıtés

Si (In) avec In = [an, bn] est une suite d´ecoissante (au sens de l’inclusion )de segments emboit´es, dont la largeurδ(In) =bn−an tend vers 0 quand n tend vers +∞,

Alors ∩^n∈^NIn est non vide.

D´emonstration

(In)n≥0 d´ecroissante =⇒ (∀n ∈N) an≤an+1 ≤bn+1 ≤bn

=⇒ (an) est coissante et (bn) d´ecoissante.

Or

n→+∞lim (bn−an) = 0 donc

(an) et (bn) sont adjacentes et par suite convergent vers la mˆeme limite c∈R.

(an) croissante et lim

n→+∞an=c =⇒ (∀n∈N) an ≤c de mˆeme

(bn) d´ecroissante et lim

n→+∞bn=c =⇒ (∀n∈N) c≤bn

Il vient

(∀n∈N) an≤c≤bn

=⇒ (∀n ∈N) c∈In =⇒ c∈ ∩^n∈^NIn

=⇒ ∩^n∈^NIn6=∅

2.3 Sous-suite et Suites de Cauchy

D´efinition 5. On dit qu’une suite (vn) est une sous-suite de la suite (un) s’il existe une injectionφ :N→Nstrictement croissante telle que :

(∀n∈N) vn=uφ(n)

Exemples

(u2n) est la sous-suite des indices pairs.

(u2n+1) est la sous-suite des indices impairs.

(u3−n) n’est pas une sous-suite de la suite (un).

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34

(35)

Lemme 6. Si φ est une application strictement croissante de N vers N, alors (∀n∈N) φ(n)≥n.

D´emonstration

Raisonnons par r´ecurrence.

φ(0)∈N =⇒ φ(0)≥ 0.

Soit n ∈N : φ(n)≥n.

φ strictement croissante =⇒ φ(n+ 1)> φ(n)≥n =⇒ φ(n+ 1)≥n+ 1.

CQFD.

Théorème 7. Toute sous-suite d’une suite convergente est convergente et converge vers la même limite que la suite mère

D´emonstration

Soit (un) une suite r´eelle telle que lim

n→+∞un=L∈R et vn = uφ(n) une suite extraite de (un).

Prenons un voisinage V quelconque de L.

n→+∞lim un=L =⇒ (∃N ∈N) : (∀n ≥N) un∈V Or

(∀n ∈N) φ(n)≥n) donc

(∀n≥N) φ(n)≥N) et vn=uφ(n) ∈V CQFD.

Remarques

– Ce théorème est sûrtout utilisé pour montrer qu’une suite est divergente. Pour cela, il suffit de montrer qu’elle admet une sous suite divergente, ou deux sous-suites qui convergent vers deux limites différentes.

– La limite d’une sous-suiteuφ(n)est aussi appel´ee ”Valeur d’Adh´erence” de la suite (un).

– La plus grande valeur d’adh´erence porte aussi le nom de ”Limite Sup´erieure.”

Exemple

La suite (un) d´efinie par un= (−1)ⁿ est divergente car

n→+∞lim u2n= 1 et lim

n→+∞u2n+1 =−16= 1 1 et −1 sont des valeurs d’adh´erence de la suite (un).

2.3.1 Théorème de Bolzano-Weierstrass Théorème 8.

Toute suite born´ee admet une sous suite convergente

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35

(36)

D´emonstration

Soit (un) une suite r´eelle born´ee.

(un) born´ee =⇒ (∃I0 = [a0, b0]⊂R) : (∀n ∈N) un∈I0

Le segment I0 est alors atteint par une infinit´e d’indices n ∈ N. Soit p0 un indice parmi ceux-la.

On a alors a0 ≤up0 ≤b0. Posons c0 = ^a⁰^+b₂ ⁰.

On a alors I0 = [a0, c0]∪[c0, b0].

Soit I1 = [a1, b1] = [a0, c0] ou [c0, b0] la moiti´e deI0 atteinte par une infinit´e d’indices.

Parmi ces indices, prenons p1 tel que

p1 > p0 etup1 ∈I1.

La largeur du segment I1 est donnée par δ(I1) =b1−a1 = ^b⁰^−a₂ ⁰. De la même fa¸con, posons c₁ = â¹^+b₂ ¹.

On définit alors le segment I2 comme étant la moitié de I1 atteinte par une infinité d’indices.

Parmi ces indices, prenons p₂ tel que

p2 > p1 etup2 ∈I2. De plus, δ(I2) = ^b¹^−a₂ ¹ = ^b⁰₂^−a2 ⁰.

On construit ainsi une suite (In) de segments emboˆıt´es et une sous-suite (upn) de (un) telle que

(∀n∈N) an ≤upn ≤bn

Or (an) et (bn) sont adjacentes donc la sous -suite (upn) est convergente.

2.3.2 Compl´etude de R

D´efinition 9. On dit qu’une suite r´eelle (un) est de Cauchy si lorsque l’indice devient suffisamment grand, les termes de la suite se rapprochent les uns des autres. Ceci se traduit par

(un) de Cauchy ⇐⇒ (∀ǫ >0) (∃N ∈N) : (∀p, q≥N) |up−uq|< ǫ Ou de fa¸con ´equivalente

(un) de Cauchy ⇐⇒ (∀ǫ >0) (∃N ∈N) : (∀n≥N)(∀p >0) |un+p−un|< ǫ Remarques

–

Toute suite r´eelle convergente est une suite de Cauchy.

D´emonstration

Soit ǫ >0 quelconque donn´e et (un) une suite qui converge vers L∈R.

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36

(37)

n→+∞lim un =L =⇒ (∃N ∈N) : (∀n≥N) |un−L|< ǫ 2

=⇒ (∀p, q≥ N) |up−L|< ǫ

2 et |uq−L|< ǫ 2

=⇒ (∀p, q≥N) |up−uq|=|(up−L)−(uq−L)|< ǫ

=⇒ (un) est de Cauchy –

Toute suite r´eelle de Cauchy est born´ee.

D´emonstration

Soit (un) une suite de Cauchy. Prenons pour simplifier ǫ= 1.

(un) de Cauchy =⇒ (∃N ∈N) : (∀n≥N) |un−uN|<1

=⇒ (∃N ∈N) : (∀n≥N) uN −1< un< uN + 1

=⇒ (un) est born´ee.

Lemme 10. Si (un) est une suite de Cauchy et φ est une application strictement croissante de N vers N,

alors

n→+∞lim (un−uφ(n)) = 0 D´emonstration

Soit (un) est une suite de Cauchy etφest une application strctement croissante deNvers N, Soit ǫ >0 quelconque donn´e.

(un) est de Cauchy =⇒ (∃N ∈N) : (∀n, p ≥N) |un−up|< ǫ Prenons en particulier p=φ(n)≥n. on aura alors

(∃N ∈N) : (∀n≥N) |un−uφ(n)|< ǫ Ce qui prouve que

n→+∞lim (un−uφ(n)) = 0.

Exemple Classique

Consid´erons la suite (un)n>0 d´efinie par (∀n ∈N) un= 1 + 1

2+ 1

3+...+ 1 n. On a alors

u2n−un = 1

n+ 1 + 1

n+ 2 +...+ 1

2n > n 1 2n = 1

2

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37

(38)

=⇒ lim

n→+∞(u2n−n)≥ 1

2 n’existe pas

=⇒ lim

n→+∞(u2n−n)6= 0

=⇒ (un) n’est pas de Cauchy

=⇒ (un) n’est pas Convergente.

Corollaire 11.

Toute suite r´eelle de Cauchy qui admet une sous-suite convergente est convergente ou bien

Une suite r´eelle de Cauchy admet au plus une valeur d’adh´erence.

Soit (un) est une suite de Cauchy et (uφ(n)) une sous suite convergente.

D’après le lemme précédent,

n→+∞lim (un−u_φ(n)) = 0 =⇒ lim

n→+∞un = lim

n→+∞u_φ(n). Th´eor`eme 12.

Toute suite r´eelle de Cauchy est convergente

On dit alors que l’ensemble R est complet, ce qui n’est pas la cas pour l’ensemble Q.

D´emonstration

Soit (un) une suite de Cauchy dans R.

(un) de Cauchy =⇒ (un) est born´ee

=⇒ (un) admet une sous suite convergente (uφ(n)).

Or

(∀n ∈N) un=uφ(n)+ (un−uφ(n)) et

n→+∞lim (un−uφ(n)) = 0.

Donc

(un) est convergente et lim

n→+∞un= lim

n→+∞uφ(n). Remarque

La complétude de l’ensemble R, est une propriété essentielle en analyse réelle. Elle est à la base

des fameux critères de Cauchy : convergence d’une suite, existence de la limite d’une fonction, convergence d’une série, convergence d’une intégrale généralisée, convergence uniforme d’une suite de fonctions ...

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38

(39)

Ces critères sont purement théoriques, ils assurent l’existence d’une limite sans forcément connaˆıtre cette limite.

Pour terminer cette partie sur les suites de Cauchy, on donnera une CONDITION SUF- FISANTE pour qu’une suite r´eelle soit de Cauchy.

(∀(n, p)∈N×N^∗) |un+p−un|< vn et lim

n→+∞vn= 0 =⇒ (un) est de Cauchy.

D´emonstration

Soit ǫ >0 quelconque donn´e. Remarquons que (∀n∈N)vn ≥0.

n→+∞lim vn= 0 =⇒ (∃N ∈N) : (∀n > N) vn< ǫ

=⇒ (∃N ∈N) : (∀n > N)(∀p∈N^∗) |u_n+p−un|< vn < ǫ

=⇒ (un) est de Cauchy.

HEUREUSEMENT QUE DIEU EST LA.

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