L1 - Math´ematiques pour la biologie - S1
Feuille d’exercices 4 - Int´ egration (1)
Quand vous avez trouv´e une primitive F d’une fonction f, v´erifiez toujours votre r´eponse en d´erivant F!
Exercice 1. Trouver des primitives de (a) f(x) = 3x3−4x2+ 2x+ 7 ;
(b) f(x) = (x−2)3; (c) f(x) = (2x−2)3; (d) f(x) =e3x;
(e) f(x) = 2x1 ; (f) f(x) = 5x322 ;
(g) f(x) = 2 cos(4x+ 1) ; (h) f(x) = sin(x) cos(x) ;
(i) f(x) = (−x3x32+5x)−5 2 (indication : v´erifiez que f est de la formef(x) = −uu(x)0(x)2 ) ; (j) f(x) = −x−2x+42+4x (v´erifier que f(x) = uu(x)0(x)) ;
(k) f(x) = 1+(x−5)1 2 (v´erifierf(x) =1+u(x)u0(x)2) ; (l) f(x) = x4−10x−2x+53+25x2.
Exercice 2. Int´egrer par parties : (a) R1
0 xexdx; (b) R12
−12x2exdx; (c) R3
0 2x2ex/3dx; (d) Ry
0(x2−x) ln(x)dx; (e) Ry
0 2x2cos(x)dx.
Exercice 3. D´eterminer une primitive de f(x) = ln(x). On pourra ´ecrire f(x) = 1·ln(x) = u0(x)v(x) puis utiliser l’int´egration par parties. Employer la mˆeme m´ethode pour trouver une primitive de g(x) = arctan(x).
Exercice 4. Employer la m´ethode suivante pour calculer une primitive def(x) = cos(x) sin(x) : int´egrer par parties et remarquer que l’on retrouve l’int´egrale de d´epart avec un facteur diff´erent de 1.
Exercice 5. Trouver une primitive def(x) = cos2(x).
Premi`ere m´ethode :
(a) Int´egrer par parties la fonctionf(x) = cos2(x) = cos(x) cos(x) =u0(x)v(x) ; (b) puis utiliser l’identit´e cos2(x) + sin2(x) = 1 pour conclure.
Deuxi`eme m´ethode :
(a) Exprimer cos2(x) en fonction de cos(2x) ; (b) conclure.
Exercice 6. Etudier la fonction´ F: ]0,+∞[→ R, F(x) = Rx 0
dt
t2 et en particulier d´eterminer limx→+∞F(x). Interpr´etation g´eom´etrique ?
Exercice 7. En s’inspirant de la premi`ere m´ethode de l’exercice 5, trouver une primitive de f(x) = cos3(x).
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