Universit´e Pierre et Marie Curie Ann´ee 2008-2009 LM 346
Processus et Simulations - Examen du 26 mai 2009
Dur´ee 2 heures. Les documents et les calculatricesne sont pasautoris´es
Exercice I. SoitX une variable al´eatoire de loi de Weibull de param`etreκ >0,de densit´e f(x) =κxκ−1exp (−xκ), x≥0.
1. D´eterminer la fonction de r´epartition deX.
2. En d´eduire un algorithme de simulation de la loi de Weibull de param`etreκ >0.
Exercice II. Soitg : [0,∞[→R une fonction continue telle que 0≤g(x)≤1 pour tout x∈ [0,∞[ . Soient E1,E2 deux v.a. ind´ependantes suivant une mˆeme loi exponentielle de param`etreλ= 1 (densit´e exp (−x)1[0,∞[). PosonsZ=1{E2<−lng(E1)},avec la convention : ln 0 =−∞. D´emontrer que
E(1−Z) = Z ∞
0
g(x) exp (−x)dxd´=efI(g).
On suppose que l’on dispose d’un ordinateur capable de simuler une suite i.i.d. (Ui)i≥1 de variables uniformes sur [0,1]. On se propose de calculer par la m´ethode de Monte-Carlo la valeur de l’int´egraleI(g).A cette fin :
1. Rappeler comment on peut simuler `a partir des Ui une suite de v.a. ind´ependantes E1, E2, .... suivant une mˆeme loi exponentielle de param`etre 1.
2. Comment `a partir deE1, E2, ....peut-on simuler une suiteV1, V2, ...de v.a. ind´ependantes suivant la mˆeme loi queV= 1−Z?
3. D´emontrer pour touta≥0 l’´egalit´e :
n→∞lim P √
n σ
V1+V2+...+Vn
n −I(g)
≤a
= 1
√ 2π
Z a
−a
exp
−x2 2
dx,
o`u σ2=V arV=EV2−(EV)2=I(g)−I2(g).
Quelle estimation raisonnable Σ2n de σ2 peut-on proposer ? La suite Σn converge-t-elle presque-sˆurement versσ?
4. D´eterminer une constante positiveC pour laquelle avec probabilit´e 0,9 I(g)∈
V1+V2+...+Vn
n −Cσ
√n,V1+V2+...+Vn
n +Cσ
√n
d`es que n est assez grand (g est la fonction d´etermin´ee dans la question pr´ec´edente).
Notonsqαle quantile d’ordreαde la loiN(0,1) (c’est-`a-dire que siXsuit une loi normale N(0,1),P(X≤qα) = 1−α). On a alors q0,05≈1,64.
Exercice III.
On rappelle le th´eor`eme de convergence domin´ee pour des s´eries (qui ne sert que pour la question 6.b.) :
Soit(Akn)n,k∈N∈(R)N2, telle que 1)∃(Ak)k∈(R)N,∀k∈N, Akn −→
n→+∞Ak. 2)∃(Mk)∈(R+)N,∀n, k≥0,|Akn| ≤Mk et P
k∈N
Mk <+∞.
1
Alors les s´eriesPAkn etPAk convergent absolument et
X
k∈N
Ak =
+∞
X
k=0
( lim
n→+∞Akn) = lim
n→+∞
+∞
X
k=0
Akn
On consid`ere une chaˆıne de Markov X `a valeurs dans l’espace d’´etats{1,2,3,4}, dont la matrice de transition est :
Q=
1/4 1/4 1/4 1/4
0 1/3 2/3 0
0 1/2 1/2 0
0 0 0 1
.
1. Donner la (ou les) classe(s) de la chaˆıne. Pour chacune, indiquer si elle est transiente ou r´ecurrente. Cette matrice est-elle irr´eductible ?
2. On consid`ere la sous-matriceQ0=
1/3 2/3 1/2 1/2
extraite deQ(attention les lignes et les colonnes de cette matrice sont index´ees par 2 et 3 : par exempleQ02,2=13 etQ02,3=23).
a. Mˆeme question qu’au 1.
b. D´eterminer la (ou les) mesure(s) de probabilit´e invariante(s) associ´ee(s) `aQ0. c. SoitY une chaˆıne de Markov `a valeurs dans{2,3}de matrice de transitionQ0 et de
loi initialeν = (ν2, ν3) (i.e.Pν(Y0= 2) =ν3 etPν(Y0= 3) = 1−ν2=ν3). Calculer, si elle existe, la limite lim
n→+∞Pν(Yn= 2).
d. Montrer que la proportion 1nPn
i=11{Yi=2} du temps pass´e par une trajectoire de Y dans l’´etat 2 converge presque sˆurement lorsquen→+∞et donner sa limite.
3. En d´eduire, si la mesure initialeλde la chaˆıneX est port´ee par{2,3}, quePλ(Xn = 2) converge et la valeur de sa limite.
4. Calculer la (ou les) mesure(s) de probabilit´e invariante(s) de la chaˆıne initiale.
5. On suppose `a pr´esent que la loi initiale de X est port´ee par {1} (λ= (1,0,0,0)) (On note donc la probabilit´eP1). SoitEkml’´ev´enement{X0=...=Xm−1= 1, Xm=k}. (On notera que lesEmk, o`u m≥1 etk≥2, sont disjoints).
a. Que vaut P1( ∪
m≥1 ∪
k≥2Emk) ? CalculerP1(Ekm) pour tousm≥1 et 2≤k≤4.
b. ExprimerP1(Xn = 2 ouXn= 3) etP1(Xn= 4) en fonction des Emk, puis donner les limites lorsque n→+∞deP1(Xn= 1), P1(Xn= 2 ouXn= 3) etP1(Xn= 4).
6. On suppose toujours que la loi initiale deX est port´ee par{1}. SoitN <+∞.
a. Montrer, en utilisant la propri´et´e de Markov, que, pourk= 2 ou 3, etn≥m, P1({Xn= 2} ∩Emk) = 1
4m((Q0)n−m)k,2. En d´eduire lorsquek= 2 ou 3 la limite : lim
n→+∞P1({Xn = 2} ∩(E1k∪...∪ENk)).
b. ( difficile)D´eduire du a. la limite
n→+∞lim P1(Xn= 2)
On pourra utiliser le th´eor`eme de convergence domin´ee pour justifier l’interversion limite-s´erie.
7. On consid`ere enfin une loi initiale quelconque λ = (λ1, λ2, λ3, λ4) : Pλ(X0 =k) = λk. D´eduire des questions 3. et 6. la valeur, en fonction deλ, de limn→+∞Pλ(Xn= 2).
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