Universit´e Pierre et Marie Curie Ann´ee 2008-2009 LM 346
Processus et Simulations - Examen du 19 juin 2009
Dur´ee 2 heures. Les documents et les calculatricesne sont pasautoris´es Bar`eme indicatif : 18/12/30.
Exercice1. SoitX une variable al´eatoire de loi de Pareto de param`etresa >0, b >0 de densit´e f(x) = aba
xa+11]b,∞[(x).
1. Discuter suivant la valeur des param`etresaet b l’existence de la moyenne et la variance deX. Calculer la moyenne et la variance deX quand elles existent.
2. D´eterminer la fonction de r´epartition deX.
3. En d´eduire un algorithme de simulation de la loi de Pareto de param`etresa >0,b >0.
Exercice 2. Soit U1, Y1, U2, Y2, . . . , Un, Yn, . . . une suite de v.a. r´eelles ind´ependantes. On suppose que les Ui, i ≥ 1 suivent une mˆeme loi uniforme sur [0,1] et que les Yi, i ≥ 1 suivent une mˆeme loi de densit´e g > 0. Soit f : R→ [0,+∞[ une fonction continue d’int´egrale 1 et c > 1 une constante telle que pour tout x∈R, f(x)≤cg(x). On d´efinit
ρ(x) = f(x)
cg(x), N = inf{n≥1 : Un≤ρ(Yn)}, X=YN. 1. Donner la densit´e jointe du couple (U1, Y1).
2. Montrer queN suit la loi g´eom´etrique de param`etreα= 1c. 3. D´emontrer queX suit une loi de densit´ef.
Exercice 3. Soient p et q deux nombres r´eels dans l’intervalle [0,1], et (Xn)n≥0 une chaˆıne de Markov `a 4
´
etats, dont la matrice de transitionQest
Q=
1 3
2
3 0 0
1 3
2
3 0 0
0 0 1−p p
0 q 0 1−q
.
1. Rappeler la signification du coefficientQi,jde la matrice de transition. Donner la d´efinition d’une mesure de probabilit´e invariante pour la chaˆıne de Markov (Xn).
2. Discuter suivant les valeurs de pet q le nombre de classes de communication de la chaˆıne (Xn), ainsi que leur type (r´ecurrent outransient). En d´eduire dans chaque cas s’il y a existence et/ou unicit´e d’une mesure de probabilit´e invariante. (On ne demande pas de les calculer).
On suppose d´esormais queq >0 etp >0.
3. Soit (Yn) la chaˆıne de Markov restreinte aux ´etats 1 et 2. On note ˜Qsa matrice de transition.
(a) Montrer que la chaˆıne de Markov (Yn) est irr´eductible et ap´eriodique.
(b) Calculer ˜µ= µ1 µ2
, la mesure de probabilit´e invariante de (Yn). On justifiera son unicit´e.
1
(c) Montrer que le temps (al´eatoire) moyen T2(n) pass´e par la chaˆıne (Yn) au site 2 pendant les n premiers pas :
T2(n) = 1 n
n−1
X
k=0
1{Yk=2},
converge presque-sˆurement versµ2 lorsquentend vers +∞.
4. On revient `a l’´etude de la chaˆıne (Xn). On d´efinit pourj∈ {1,2,3,4} la quantit´e
Uj(n) = 1 n
n−1
X
k=0
1{Xn=j},
repr´esentant le temps moyen pass´e par la chaˆıne (Xn) au site j pendant les n premiers pas. Montrer en utilisant la question pr´ec´edente que si X0 = 1 ou X0 = 2, la suite de variables al´eatoires U2(n)
n
converge presque-sˆurement versµ2.
5. Pourj∈ {1,2,3,4}, on noteτj= inf{n≥0 : Xn=j}le temps d’atteinte de l’´etatj. SiX0= 4, montrer queτ2suit une loi g´eom´etrique dont on pr´ecisera le param`etre, et est donc fini presque-sˆurement.
6. SiX0= 3, montrer de mˆeme queτ4 est fini presque-sˆurement, puis queτ2est fini presque-sˆurement.
7. En utilisant les deux questions pr´ec´edentes, montrer que si X0 = 3 ou X0 = 4, le temps moyen U2(n) pass´e en 2 converge presque-sˆurement vers µ2. On pourra utiliser le fait que dans ces deux situations τ2<+∞presque-sˆurement, ´ecrire
n−1
X
k=0
1{Xk=2}=
τ2−1
X
k=0
1{Xk=2}+
n−1
X
k=τ2
1{Xk=2},
et utiliser le fait que siτ2=k, alors (Xk, Xk+1, . . . , Xn−1) a la mˆeme loi que (X0, . . . , Xn−k−1) conditionn´e au fait queX0= 2 (propri´et´e de Markov).
8. D´eduire des questions pr´ec´edentes que siX0 est distribu´e selon une mesure de probabilit´eν, alorsU2(n) converge presque-sˆurement versµ2 quandntend vers +∞.
9. On remarque que pour toute fonctionf :{1,2,3,4} →R, 1
n
n−1
X
k=0
f(Xk) =
4
X
j=1
f(j)Uj(n).
On note encore ν la distribution deX0. D´eduire de ce qui pr´ec`ede que pour toute fonctionf, la quantit´e 1
n
n−1
X
k=0
f(Xk)
converge presque-sˆurement lorsquentend vers +∞, vers Z
fdµ=
4
X
j=1
f(j)µj, avecµ= µ1 µ2 0 0 . Pour cela, on d´ecrira bri`evement ce qui se passe pourU1(n) par analogie avecU2(n), puis pour U3(n) et U4(n), on utilisera la transience.
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